用空间向量求点到面的距离.
点到面的距离公式空间向量方法
点到面的距离公式空间向量方法嘿，你有没有想过，在空间中，一个点到一个平面的距离该怎么求呢？这就像是在一个超级复杂的立体迷宫里，要找到一个小球到一堵奇怪形状的墙的最短距离一样。
今天呀，我就来给你讲讲这个超酷的空间向量方法来求点到面的距离公式。
我有个朋友叫小明，他就对这个问题特别头疼。
有一次我们一起做数学题，就碰到了这样的题目。
小明看着那题目，眼睛都瞪大了，直挠头说：“这可咋整啊？这空间里的点和面，感觉就像两个世界的东西，怎么去找它们之间的距离呢？”我就笑他，我说：“别慌呀，这就像我们要从你家到山顶上那个神秘的小亭子，肯定有办法的。
”那我们就先来了解一下空间向量是啥吧。
空间向量就像是空间里的小箭头，它有方向，有长度。
想象一下，你在一个大的空屋子里，你从一个角落走到另一个角落，你走的路线就可以看成是一个向量。
那这个和点到面的距离有啥关系呢？这关系可大着呢！我们先假设有一个点P，还有一个平面α。
平面α呢，可以用一个法向量n来表示。
这个法向量就像是这个平面的守护神，它垂直于这个平面。
就好比在一个平坦的操场上，有一个高高的旗杆，旗杆就是垂直于操场地面的，这个旗杆就像是平面的法向量。
现在我们要找点P到平面α的距离d了。
我们可以在平面α上任取一点Q，这样就构成了向量PQ。
那这个距离d呢，就和向量PQ以及法向量n有关。
怎么个有关法呢？这就像是一场有趣的拔河比赛。
我给小明解释的时候，他眼睛里还带着疑惑。
我就继续说：“你看啊，向量PQ在法向量n方向上的投影的长度，就是点P到平面α的距离d。
”小明还是有点懵，他说：“啥叫投影啊？”我就打了个比方，我说：“你在大太阳底下，你站在地上，你的影子的长度就有点像投影的长度。
只不过这里是在空间里，向量的投影。
”那具体的公式呢？这个距离d就等于向量PQ和法向量n的点积的绝对值除以法向量n的模。
写成公式就是d = |PQ·n| / |n|。
这公式看起来有点复杂，但是只要我们理解了前面说的投影的概念，就会觉得很合理了。
用空间向量求点到面的距离 PPT
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
点到平面的距离公式向量
点到平面的距离公式向量点到平面的距离公式是由向量表示的，这个公式被称为点到平面的距离公式。
在三维几何中，平面可以由一个位置向量和垂直于平面的法向量来表示。
给定一个平面上的点P（x,y,z）和平面的法向量n（a,b,c），我们可以通过点P到平面的距离公式来计算其到平面的垂直距离d。
proj_u(v) = (v · u) / ，u，^2 * u其中，v·u表示向量v和u的点积，而，u，表示向量u的模长。
假设平面上的点P投影到法向量n上的向量为v，则v可以由点P和平面上的一个固定点P0（x0,y0,z0）之间的向量差表示，即：v=P-P0然后，将向量v投影到法向量n上，得到它在法向量n上的投影向量proj_n(v)。
由点到平面的距离定义，点P到平面的距离d等于投影向量proj_n(v)的长度：d = ，proj_n(v)将投影向量proj_n(v)的计算公式代入其中，可得：d=，(P-P0)·n，/，n这就是点到平面的距离公式。
它可以通过点P和平面上的一个固定点P0以及法向量n来计算点P到平面的距离。
需要注意的是，如果直接使用二维平面上的点到直线的距离公式来计算点到平面的距离，会得到一个错误的结果。
因为在三维空间中，平面的法向量与平面上的点到平面的距离有着复杂的关系。
因此，我们必须使用向量的投影和模长来计算点到平面的距离。
总结起来，点到平面的距离公式是由点P和平面上的一个固定点P0以及平面的法向量n来计算点P到平面的距离的。
公式为：d=，(P-P0)·n，/，n其中，P表示点的位置向量（x,y,z），P0表示平面上的一个固定点的位置向量（x0,y0,z0），n表示平面的法向量（a,b,c），·，表示向量的模长，·表示向量的点积运算。
这就是点到平面的距离公式的向量表示法。
它在几何推导和计算中具有重要的应用价值，能够方便地计算点到平面的距离，从而解决一些与平面相关的几何问题。
空间几何向量法之点到平面的距离-向量点到面
空间几何向量法之点到平面的距离1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量； (2) 求出该平面的法向量；(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是该店到平面的距离。
uuuur r AB ?n例子： 点 A 到面的距离 dr （注： AB 为点 A 的斜向量， n 是 面的法向量，n点 B 是面内任意一点。
）2.求立体几何体积（向量法） 体积公式：1、柱体体积公式： V Sh.2、椎体体积公式： V1S.h33、球体体积公式： V4 R 33课后练习题例题：在三棱锥 B — ACD 中，平面 ABD ⊥平面 ACD ，若棱长 AC=CD=AD=AB=1，且∠ BAD=300，求点 D 到平面 ABC 的距离。
要求平面 外一点 P 到平面 的距离，可以在平面 内任取一点 A ，则点 P 到平面 的距离即为 d=| PA | |PA n ||PA n ||PA | |n ||n |建立如图空间直角坐标系，则A （21,0,0 ），B （321,0, 21 ）， C （ 0, 23 ,0 ）， D （ 21 ,0,0)∴ AC (21, 23,0), AB ( 23 ,0,12), DC ( 21 , 23,0)设 n =(x,y,z) 为平面n AB23 x21z的一个法向量，则21 x 23 yn AC∴ y 33 x, z3x ，可取 n ( 3,1,3)代入d|DC n |得， d33 39|n|2 2，即点 D 到平面 ABC 的距离是39 。
13 13131. 已知 A(2,3,1) 、 B(4,1,2) 、 C(6,3,7) 、 D( -5,-4,8)是空间不共面的四点 ,求点 D 到平面ABC 的距离 .解：设 n(x, y, z) 是平面 ABC 的一个法向量，则由ngAB 0 及 ngBC 1 0 ,得2x 2y z 0 y2 x3得 n (3,2,2) ,于是点 D 到平面 ABC 的距离为2x 2y 5z,取 x=3,z2 x3uuur r DA gn d= r =n4949 17 =.17172. 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E 、 F 分别是 AB 和 AD 的中点， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC=2 ，求点 B 到平面 EFG 的距离 .解： 建立如图 2 所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0) ，∴ GE =(2,4, -2),GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为n(x, y, z) ，则由ngGE 0 及 ngGF 2x+4y 2z 0 0 ，得2y 2z4xuuur rx=yg2 2 11(1,1,3) ,于是点BE nz ,取 y=1,得 nB 到平面 EFG 的距离为 d= r =.3yn11113.在棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中，求点 C 1 到平面 A 1 BD 的距离。
点面距离的向量公式推导
点面距离的向量公式推导
点面距离是空间中一个点到一个平面的最短距离。
在几何学中，我们可以使用向量的方法来推导点到平面的距离。
设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。
点P(x0, y0, z0)为空间中的一个点。
我们可以先求出点P到平面上的投影点Q(xq, yq, zq)，投影点是平面上与点P所在的垂直线相交的点。
因为垂直线上的向量与平面的法向量垂直，所以平面上的向量与法向量的点积为0：
(A, B, C) · (xq - x0, yq - y0, zq - z0) = 0
展开上式得到：
A(xq - x0) + B(yq - y0) + C(zq - z0) = 0
由于投影点Q在平面上，所以满足平面的方程：
Axq + Byq + Czq + D = 0
我们可以通过联立以上两个方程，求解出投影点Q的坐标(xq, yq, zq)。
然后，我们可以计算点P到投影点Q的距离。
利用向量公式可以得到：PQ = (xq - x0, yq - y0, zq - z0)
点P到平面的距离等于向量PQ的模长，即：
d = |PQ| = √((xq - x0)^2 + (yq - y0)^2 + (zq - z0)^2)
利用以上的推导，我们可以得到点到平面的距离的向量公式。
需要注意的是，以上的推导是在假设平面的方程已知的情况下进行的。
如果平面的方程未知，我们需要先求解出平面的方程，然后再进行计算。
点到面距离空间向量公式
点到面距离空间向量公式- 设平面α的法向量为→n，平面α内一点A，平面α外一点P。
- 向量→PA在法向量→n方向上的投影的绝对值就是点P到平面α的距离d。
- 根据向量投影公式，向量→a在向量→b上的投影为frac{→a·→b}{|→b|}。
- 那么点P到平面α的距离d = |frac{→PA·→n}{|→n|}|。
2. 公式应用示例。
- 例如，已知平面α的方程为2x - y+z = 0，求点P(1,1,1)到平面α的距离。
- 平面α的法向量→n=(2, - 1,1)。
- 在平面α内任取一点A，不妨令x = 0,y = 0，则z = 0，即A(0,0,0)。
- 向量→PA=(0 - 1,0 - 1,0 - 1)=(-1,-1,-1)。
- 根据距离公式d=|frac{→PA·→n}{|→n|}|，→PA·→n=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×1=-2 + 1-1=-2，|→n|=√(2^2)+(-1)^{2+1^2}=√(4 + 1+1)=√(6)。
- 所以d=|(-2)/(√(6))|=(√(6))/(3)。
3. 相关知识点补充（人教版教材关联）- 在人教版教材中，这一知识点是在空间向量章节中。
- 学习这一公式之前，需要熟练掌握空间向量的基本运算，如向量的加减法、向量的数量积等。
- 同时，要理解法向量的概念，平面的法向量垂直于平面内的所有向量。
在求平面法向量时，通常根据平面方程的系数来确定，对于平面Ax + By + Cz+D = 0，其法向量为→n=(A,B,C)。
- 在应用公式计算点到面距离时，准确找出平面内一点和平面的法向量是关键。
如果平面方程没有直接给出，可能需要通过已知条件先求出平面方程，再求法向量进行距离计算。
利用空间向量解决空间距离问题
2x, 3x,
D A
x
得A1E与BD1的距离
d D1A1 n n
14 14
Cy
B
B1到面A1BE的距离
2)A1E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)设n
(
x,
y,
z
)为面A1BE的法向量，
则
n
A1E
0,
n A1B 0,
x 1 y 0, 2 y z 0,
则D1
(0,
Hale Waihona Puke 0,1),B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E(0,
1 2
,1)
z
A1E
1,
1 2
,
0
,
D1B 1,1, 1
D1
E
C1
n
A1E
0,
x 1 y 0, 2
A1
B1
n D1B 0, x y z 0,
即zy
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
即zy
2x, 2x,
z
D1 A1
向量法求点到面的距离
向量法求点到面的距离介绍在三维空间中，向量法是一种常用的方法来求解点到面的距离。
点到面的距离是指从一个点到一个平面的最短距离。
该方法通过定义向量来计算点到面的距离，通过求解向量的垂直分量实现。
基本原理点到面的距离的基本原理是利用一个向量，从点出发到达平面上的任意一点，然后通过计算该向量在平面法向量上的投影来求解距离。
步骤Step 1: 确定平面的法向量首先，我们需要明确平面的法向量，法向量对于描述平面的方向非常重要。
如果平面已经被定义，法向量通常是已知的；否则，我们需要根据平面上的三个非共线点来计算出法向量。
Step 2: 确定点到平面上的一点我们需要选择一个点，该点将成为我们到平面上距离的参考点。
可以选择平面上的任意一点作为参考点，这取决于具体情况。
Step 3: 计算点到平面的向量通过使用参考点和平面上的一点，我们可以计算出从点到平面的向量。
这个向量的起点是点，终点是平面上的任意一点。
Step 4: 计算向量在法向量上的投影通过计算点到平面向量在法向量上的投影，我们可以得到点到平面的距离。
投影的计算方法是将向量与法向量进行点乘。
Step 5: 求解距离最后，通过计算得到的投影长度，我们可以得到点到平面的最短距离。
这就是点到面的距离。
示例示例平面方程我们假设有一个平面，方程为：x + y + z = 1。
示例点坐标我们选择一个点的坐标为：(2, -1, 3)。
示例步骤1.确定法向量：根据平面方程，法向量为 (1, 1, 1)。
2.确定参考点：我们选择 (0, 0, 1) 作为参考点，但可以选择其他任意点。
3.计算点到平面的向量：从点 (2, -1, 3) 到参考点 (0, 0, 1) 的向量为 (-2, 1, 2)。
4.计算向量在法向量上的投影：将向量 (-2, 1, 2) 与法向量 (1, 1, 1) 进行点乘得到投影长度 1。
5.求解距离：由于投影长度为 1，点 (2, -1, 3) 到平面的距离为 1。
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