用向量法求空间角与距离

用向量法求空间角与距离1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos |||| b 叫做与的数量积（或内积），记作b a ，即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则①212121z z y y x x b a；②222222212121||,||z y x b z y x a ；③212121z z y y x x b a④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a1.2. 异面直线n m ,所成的角分别在直线n m ,上取定向量,,b a则异面直线n m ,所成的角等于向量b a,所成的角或其补角（如图1所示），则.||||||cos b a b a（例如2004年高考数学广东卷第18题第（2）问）1.3. 异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即||n d.图1证明：设CD 为公垂线段，取b a,（如图1所示），则||||)( ||||n d设直线n m ,所成的角为 ，显然.||||||cos b a b a1.4. 直线L 与平面 所成的角在L 上取定，求平面 的法向量2所示），再求||||cos n AB2为所求的角.1.5． 二面角方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ①若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n （例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n （例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示），则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即图3乙图3图4图2||||cos 2121n n1.6. 平面外一点p 到平面 的距离先求出平面 的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面 的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即d （例如2004年广州一模第18题第（Ⅱ）问）.1．7． 法向量2.1. 基向量法由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来. 再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的. 一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.[例 1] 如图6，已知正三棱柱111C B A ABC 的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点.（1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ； （2）当1AB MN 时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角.分析1 （1）的 问题显然是求使异面直线MN 与1AB 所成的角为直角的点N .依据向量数量积的概念，必须由条件011 AB MN AB MN ，求出CN 的长度，而MN 与1AB 都不是已知向量，且和CN 没有直接联系，因此必须选择一组基向量来表示MN 与1AB .（1）解法一：取共点于B 的三个不共面的已知向量1BB BC BA 、、为基向量，A BCMN1A 1B 1C 图6图021210)21()(21,,01111111111CN BB BC BB CN AB BC AB BB BB AB AB AB C B A ABC 及正三棱柱由00cos ||290cos 122190cos ||1120cos 1121 CN CN 81||0||20041 CN CN分析 2 本小题还可以取共点于A 的三个不共面的已知向量1,,为基向量，从而得 （1）解法二：,111BB ABAA AA AA AA AA AA AB 11121111)(21)()()(21])(21[)(.)(21)(21)(a a a 20021410cos 290cos 1)90cos 1290cos 12160cos 11(212.81||81,020014101 CN a a AB MN ，比较方法一与方法二，方法一比方法二运算简便. 因为用方法一选择的一组基向量表示MN 时式子较为简单. 这告诉我们可选择的基向量并不唯一，我们应选择使得运算简便的那一组向量作为基向量. 当几何体中能够找到（或构造出）三个共点且两两垂直的基向量时，我们就可以用下面的方法解决问题.2.2. 坐标法所谓坐标法，就是建立适当的空间直角坐标系(本文所建立的都是右手直角坐标系)，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，以达到解决问题的目的.运用坐标法时，也必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直,由此建立空间直角坐标系. 因而坐标法是基向量法的特殊情形，但坐标法用于求长度、角度或解决垂直问题时，比较简单. 在坐标法下，例1几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法：（1）解法三：以1AA 、分别为y 轴、z 轴，垂直于1AA 、的Ax 为x 轴建立空间直角坐标系xyz A ，设a ||，则有、)0,0,0(A ),1,0()0,43,43()2,21,23(1a N M B 、、. 于是得由AB AB a11),2,21,23(),,41,43(810281830)2,21,23(),41,43(01a a a AB 由上面的解法三可知，通过建立空间直角坐标系，找出了相关点的坐标，从而把几何图形的性质代数化，通过向量的计算解决问题，显得快捷简便.在空间直角坐标系下，例1的第（2）、（3）问便迎刃而解了. 下面给出解答.(2)解：当1AB MN 时，由（1）解法三知，、)0,0,0(A )81,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、 )2,0,0(1A ，则)2,0,0(),0,43,43(),81,41,43(1AA AM MN ，设向量),,(z y x 与平面AMN 垂直，则有)0()1,1,3(8),81,83(81830434********z zz z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0 n向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是5521)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||||||,cos |||22201011011n AA AA n AA AA d （3）根据上面“1.4. 直线L 与平面 所成的角”中所提到的方法，须求出平面11A ACC 的一个法向量n ，进而求1AB 与n 所在直线的夹角。

设平面11A ACC 的一个法向量为n ，则有);0()0,0,1()0,0,(,00021x x x z y y z AA 取)0,0,1(0 n ，则 10151)2()21()23()0,0,1()2,21,23(|,cos |22220101n AB 故1AB 与侧面11A ACC 所成的角为：1015arcsin 1015cos2arc. 本题的解题过程告诉我们，用坐标法求空间角与距离，就是用空间向量将空间元素的位置关系转化为坐标表示的数量关系，解题的关键是根据几何体的特点，选取恰当的坐标原点和坐标轴，一般来说，长方体、正方体中较为容易建立坐标系．高考对空间向量的考查是以立体几何为载体，利用空间向量求有向线段的长度，求两条有向线段的夹角（或其余弦、正弦、正切），二面角、点到平面的距离、异面直线的距离、证明线线、线面、面面垂直等.下面是今年广东高考数学及广州一模，体现了高考对空间向量的考查要求.CD1A 1C 1D EF图8AB1B[例2]（2004年全国普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷第18题） 如右图8,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值.解题分析：本题主要考查了二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、思维能力、运算能力.高考试卷给出的参考答案分别用了传统方法及向量法. 在传统解法中，运用三垂线定理作出二面角的平面角并正明，通过延长和平移线段作出异面直线所成的角,进而通过解直角三角形和斜三角形解决问题. 在用向量法的解答上，选择A 为空间直角坐标系的原点，1,,AA 分别为x 轴，y 轴, z 轴的正向，这不是右手直角坐标系，虽然与右手直角坐标系没有本质上的区别，但教科书中所建立及提倡的是右手直角坐标系，所以考生习惯用右手直角坐标系. 用向量法解决第（1）问时只是用了本文所提到的“1.5． 二面角”之“方法一”.下面本人以自己的习惯，通过建立右手直角坐标系来解答，并用本文所提到的“1.5． 二面角”之“方法二”补充第（Ⅰ）问的解法二.解：（I ）解法一：以D 为原点，1,,DD 分别为x 轴，y 轴, z 轴的正向 建立空间直角坐标系，则有)2,4,0(),0,4,0(),2,0,0(),0,0,0(11C C D D ,)2,4,0(),0,4,2(),0,3,3(1C F E 于是，)2,4,2(,)2,1,3(),0,3,3(11 FD EC DE ,设向量),,(z y x 与平面DE C 1垂直，则有z y x z y x y x EC 210230331),2,1,1(2),21,21( zz z z 其中0 z取)2,1,1(0 n ，则0n 是一个与平面DE C 1垂直的向量， 向量)2,0,0(1 DD 与平面CDE 垂直，0n 与1DD 所成的角 为二面角1C DE C 的平面角.22tan ,362002)1(1220)1(01||||cos 2222221010DD n （Ⅰ）解法二：令M 点在DE 上，且 ，可设M 点的坐标为)0,3,3( M ，则)0,43,3(01218)0,3,3()0,43,3(, ).0,2,2().0,2,2(,32MC CM 再令N 点在DE 上，且DE N C 1，设N 点的坐标为)0,3,3( N ，则22tan .3622)2(02)2()2,2,2()0,2,2(||||cos )2,2,2(),2,2,2(,3201218)0,3,3()2,43,3(,)2,43,3(2222221111111NC MC NC C DE N C DE N C C（II ）设1EC 与1FD 所成角为 ，则14212)4()2(21)3(22)4(1)2(3||||cos 2222221111FD EC 因为本题的已知条件和结论具有一定的解题方向性，它明确告诉我们用向量的方法解决问题. 在高考结束后，本人询问了自己所任教班级的部分学生，他们大多数能用向量法解这道题. 如果不用向量法，对于中等（或以下）水平的学生，他们连二面角的平面角或异面直线所成的角都作不出来. 可见，用空间向量处理立体几何中的角与距离问题，可以降低立体几何的论证、推理难度，使中等（或以下）水平的学生也能很好的掌握，提高得分的能力.对此问题，我们在高考备考上就有意识地引导学生．英德市在三月份组织了一次全市统考，采用2004年广州一模试卷，下面的［例３］是其中一道考题．[例3]（2004年广州一模第18题）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD 中，已知2 AB ，,51 AA E 、F 分别为图9ABCDFE1A 1B 1C 1D。