第十一章 三角形小结与复习

典型例题
变式2 小明用一条长20 cm的细绳围成了一个等腰 三角形，他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍， 那么这个三角形的各边的长分别是多少？
典型例题
例2 如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平 分线BD，CE 交于点O． 若∠ABC =40°，∠ACB =60°，则： 130° ． ∠BOC = A E D C
E
O
D
B
C
课堂小结
（1）本章的核心知识有哪些？这些知识间有什么样 的联系？ （2）通过本节课的复习，你能说说三角形内角和定 理的由来及作用吗？
第十一章
《三角形》回顾与小结
1.创设情境 问题 1 根据所学知识，回答下列问题：
（1）你还记得三角形的三条边之间有什么大小关系吗？ 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两 边之差小于第三边. （2）你还记得三角形的三个内角之间有什么数量关系 吗？直角三角形的两个锐角之间有什么数量关系吗？ 三角形三个内角的和等于180°； 直角三角形两个锐角互余.
E C
4.经典例题 例 2 如图，△ABC的两条内角平分线BD、CE交于点O. （1）若∠A=80°， 那么∠BOC = 130° ； A （2）你现在能够猜想出 ∠BOC与∠A之间的数量关系 吗？你能证明吗？
E
O
D
1 ∠BOC=90°+ 2 ∠A
B
C
4.经典例题 变式1：若改成是两条外 角平分线相交于点O. 你 现在能够猜想出∠BOC 与∠A之间的数量关系 吗？你能证明吗？
1 2
E
C
D
3.实战练习 4.已知一个等腰三角形中，如果它的周长为 16 cm，且其 中一边长为 4 cm，求其余两边的长. 解：(1)设等腰三角形的腰为 x cm，得 2x+4 = 16 解得 x=6 (2)设等腰三角形的底边为 x cm，得 2×4+x = 16 解得 x=8 ∵4+4=8，不符合三角形任意两边之和大 于第三边 ∴不能围成腰为 4 cm 的等腰三角形 答：其余两边的长为 6 cm，6 cm.
3.实战练习 2. 如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，∠C=40°. （1）∠BAC= 80° ；
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E O
（2）若AD是角平分线，则 ∠ADC= 100° ；
B （3）若AD是角平分线，BE是 130° . 高，则∠DOE= D C
3.实战练习 3.如图，在△ABC中，外角∠ACD的平分线CE与边BA 的延长线相交于点E. （1）若∠B=50°，∠E=20°， 那么∠ACD= 140° ； A （2）∠BAC= 90° ； B C D
A
C
B
O F
1 E ∠BOC=90°－2 ∠A
4.经典例题 变式2：若改成是一条内角 平分线与一条外角平分线相 交于点O. 你现在能够猜想 出∠BOC与∠A之间的数量 关系吗？你能证明吗？
A
O
1 ∠BOC= ∠A 2
B C D
4.经典例题 例 3 如图是一个五角星，其中五个角∠A、∠B 、∠C、∠D、∠E的和是180° .你能证明吗？
A
D
C
B
1 ∠BOC = 90°- ∠A 2
O
典型例题
变式4 如图，若换成一内角与一外角平分线相交 于点O，则∠BOC与∠A 又有怎样的数量关系？
1 ∠BOC = ∠A 2
A O D
B
C
E
典型例题
变式5 如图，若换成两条高相交于点O， ∠A 与 ∠BOC 又有怎样的数量关系？ A
∠BOC = 180° -∠A
C D
4.经典例题 变式2：如果把图中的点A向下移动到BE上、把图中 的点C向下移动到BD上，其中五个角∠CAD、 ∠B、∠ACE、∠D、∠E的和是 180° .你能证 明吗？ 证明：∵∠1=∠ACE+∠E， ∠2=∠B+∠D B A E ∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E 2 1 =∠CAD+(∠B+∠D)+(∠ACE+∠E) =∠CAD+∠1+∠2 C =180°
A B
1
2
证明：∵∠1=∠C+∠E， ∠2=∠B+∠D E ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =∠A+(∠B+∠D)+(∠C+∠E) =∠A+∠1+∠2 =180°
C
D
4.经典例题 变式1：如果把图中的点A向下移动到BE上，其中五 个角∠CAD、∠B、∠C、∠D、∠E的和是 180° .你能证明吗？ 证明：∵∠1=∠C+∠E， A ∠2=∠B+∠D E B 2 1 ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E =∠CAD+(∠B+∠D)+(∠C+∠E) =∠CAD+∠1+∠2 =180°
D
C
4.经典例题 变式：如图，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的 和是 360° ，你能说明吗？ 解：连接CF A ∵∠D+∠E=180°-∠DGE， F D ∠GFC+∠GCF=180°-∠CGF 又∵∠DGE=∠CGF ∴∠D+∠E=∠GFC+∠GCF B G ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F I =∠A+∠B+∠C+∠GFC+∠GCF+∠F =360°
B D E
F
C
课堂练习
B 组 巩固与三角形有关的角： 如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，∠ABC =60°. A 40° ； （1）∠C = F （2）若AE 是△ABC 的 O 角平分线，则： ∠AEC = 100° ； （3）若BF 是△ABC 的 C B E 高，与角平分线 AE 相交于点O，则∠EOF = 130° ．
2.构建体系
边 与三角形有 关的线段 高
中线
三 角 形 角平分线 三角形的内角 三角形的外角 多边形的内角 多边形的外角
3.实战练习 1.已知三角形的其中两边的长分别是 3 cm 和 5 cm， 第三边的长为 x，那么第三边 x 的取值范围是 2 cm＜x＜8 cm . 变式：已知三角形的三边长为 8、3、a，且 a 是奇 数，求 a 的值. 解：∵8-3＜a＜8+3 ∴5＜a＜11 又∵a 取奇数 ∴a 的值为 7 或 9
3.实战练习 变式2：已知一个等腰三角形中，如果它的周长是 20cm ，且其中一边是另一边的一半，求三边的长. 解：设较短的一边为 x cm，较长的一边为 2x cm. (1)若较短的一边为腰，得 x+x+2x = 20 解得 x = 5，2x = 10 ∵5+5=10，不符合三角形任意两边之和大 于第三边 ∴不能围成腰为 5 cm 的等腰三角形 (2)若较长的一边为腰，得 2x+2x+x = 20 解得 x = 4，2x = 8 答：等腰三角形的三边的长为 8 cm，8 cm，4 cm.
B D E C BD ， ∵S△ABD = AE· 2 CD S△ACD = AE· 2
∴S△ABD = S△ACD 又∵S△ABD+S△ACD = S△ABC ∴S△ABD= S△ABC = 60
2 2
= 30（cm2）
3.实战练习 8.如图，在△ABC中，∠A=∠ABD， ∠C=∠BDC=∠ABC. 求∠DBC的度数. 解：∵∠A+∠ABD=∠BDC A 又∵∠A=∠ABD ∴2∠A=∠C=∠BDC=∠ABC 设∠A=x，则∠ABC=∠C=2x，得 ∵∠A+∠ABC+∠C=180° D ∴x+2x+2x = 180° 解得 x=36° 即∠A=∠ABD=36°， B C ∠ABC=72° ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD =72°-36°=36°
F
C
课堂练习
A 组 复习与三角形有关的线段： 2．如图： A （2）若∠BAE =∠CAE， AE 与BC 相交于点 E，则： 线段AE 是△ABC 角平分线 ； 的_________ B D E
F
C
课堂练习
A 组 复习与三角形有关的线段： 2．如图： A （3）若AF =CF，BF 与 AC 相交于点F， 则：△ABC 的中 线是 BF ．
O
B
典型例题
例2 如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平 分线BD，CE 交于点O． 变式1 若∠A =80°，则∠BOC = 130° ． 变式2 你能猜想出∠BOC A 与∠A 之间的数量关系吗？
1 ∠BOC = 90°+ ∠A 2
B
E
O
D C
典型例题
变式3 如图，若换成两 外角平分线相交于O，则 ∠BOC 与∠A 又有怎样的数 量关系？ E
3.实战练习 5.如图，△ABC是（ C ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
360 °F
.
E B 2a 3a C a A A D
B
C
3.实战练习 7.如图，在△ABC中，AD是它的中线，且△ABC的面积 是 60 cm2. 求△ABD的面积. 解：作△ ABC 的高 AE A ∵AD是△ABC的中线 ∴BD = CD
E
（3）你能猜想一下∠BAC和 ∠B、∠E之间有什么数量关系？ ∠BAC=∠B+2∠E 你能证明吗？
3.实战练习 3.如图，在△ABC中，外角∠ACD的平分线CE与边BA 的延长线相交于点E.
（3）你能猜想一下∠BAC和∠B、∠E之 间有什么数量关系？你能证明吗？