4.1导数的加法与减法法则
高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则
4.1 导数的加法与减法法则1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有[ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x )2．导数的基本公式（1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。
这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。
（2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。
（3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。
（4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。
（5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。
3．对求导公式作如下两点说明:(1) 求导公式})]([{'x f ϕ表示函数)]([x f ϕ对自变量x 的导数，即})]([{'x f ϕ=xx f d )]([d ϕ, (2) 求导公式)]([x f ϕ'表示函数)]([x f ϕ对函数)(x ϕ的导数，即)]([x f ϕ'=)(d )]([d x x f ϕϕ.1．已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意x k x x f )1()(2+-='………………因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，……即2,1>≤+x x k 又恒成立所以1,21≤≤+k k 故……当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.所以k 的取值范围为k ≤1.………（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令10)(==='x k x x h 或得………由（1）知k ≤1，①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意…②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：……………………11分由于)()(,021x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f =也即0)(=x h 有三个不同的实根故需0312623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,02212⎩⎨⎧>--<k k k 解得31-<k 综上，所求k 的范围为31-<k .……………………14分2．已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 【解析】2()32s t t bt c '=++由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值则(1)0,(3)0s s ''==即320627609b c b b c c ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩ 2()31293(1)(3)1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--⎡⎫'∈⎪⎢⎣⎭'∈'∈⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当t 时,s (t)>0当t (1,3)时,s (t)<0当t (3,4)时,s (t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d又s(4)=4+d故t 时的最大值为4+d. 221()3,423413s t d d dd d ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦∴+<><-2max 已知在上恒成立s(t)<3d 即4解得或。
4.1导数的加法与减法法则
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0， 又该方程对一切x∈R恒成立，
a－b＝0，
所以b－2c＝0，
c－1＝0，
a＝2，
解得b＝2，
c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要 解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而 将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已 知具有某些特征的函数.
规律方法 导数的几何意义是曲线的切线的斜率， 对较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则.
跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y＝51x5－34x3＋3x＋ 2； 解 y′＝15x5－43x3＋3x＋ 2′ ＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3.
(2)y＝sin44x＋cos44x.
①[f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x. ) ②[f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x. )
(2)文字语言
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的 和(差. )
3.两个函数和差的求导法则的推广 (1)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x) (a，b为常数). (2)[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f ′1(x)±f ′2(x)±f ′3(x)±…±f ′n(x).
＝1－12sin22x＝1－12·1－2cos x＝34＋14cos x， ∴y′＝－14sin x.
跟踪演练2 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等 的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式. 解 ∵f′(x)＝2x＋1， ∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)， 又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个 相等的实根， Δ＝12－4c＝0，即 c＝14，∴f(x)的表达式为 f(x)＝x2＋x＋14.
微分运算法则范文
微分运算法则范文微分运算法则是微积分中的重要内容，它们是求导的基本规则，能够帮助我们方便地计算各种函数的导数。
在下面的文章中，我将详细介绍微分运算法则，包括导数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。
1.导数的加法法则：设函数y=f(x)和g(x)都在特定点x0处可导，则它们的和函数y=f(x)+g(x)在该点可导，且有导数f'(x0)+g'(x0)。
2.导数的减法法则：设函数y=f(x)和g(x)都在特定点x0处可导，则它们的差函数y=f(x)-g(x)在该点可导，且有导数f'(x0)-g'(x0)。
3.导数的乘法法则：设函数y=f(x)和g(x)都在特定点x0处可导，则它们的乘积函数y=f(x)g(x)在该点可导，且有导数(f(x0)g'(x0)+g(x0)f'(x0))。
4.导数的除法法则：设函数y=f(x)和g(x)都在特定点x0处可导，且g(x0)≠0，则它们的商函数y=f(x)/g(x)在该点可导，且有导数(f'(x0)g(x0)-g'(x0)f(x0))/[g(x0)]^25.导数的乘幂法则：对于任意正整数n和任意实数a，导数的乘幂法则可以描述为：(a^n)'=n*a^(n-1)*a'特殊地，(x^n)'=n*x^(n-1)。
6.导数的常数法则：设函数 y = c 是一个常数，则它的导数为零，即 d/dx c = 0，其中c 是一个常数。
7.导数的复合函数法则：设 y = f(g(x)) 是由两个函数组合而成的复合函数，其中 f(u) 和g(x) 分别是两个函数，且 f(u) 在 u 处可导，g(x) 在 x 处可导。
则复合函数 y = f(g(x)) 在 x 处可导，且有导数 dy/dx = f'(g(x)) *g'(x)。
这些是微分运算法则的基本内容，它们能够帮助我们方便地求解各种函数的导数。
导数运算法则加减乘除
导数运算法则加减乘除一、导数的定义导数是微积分中重要的概念，它主要用于表达函数在某一点处的变化速度。
可以用来研究函数运动规律，反映函数曲线的变化趋势。
二、导数的运算1、加法运算规则：设函数f（x）=f1（x）+f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）+f2'（x）2、减法运算规则：设函数f（x）=f1（x）-f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）-f2'（x）3、乘法运算规则：设函数f（x）=f1（x）*f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）*f2（x）+f2'（x）*f1（x）4、除法运算规则：设函数f（x）=f1（x）/f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=（f1'（x）*f2（x）-f2'（x）*f1（x））/（f2（x）*f2（x））三、导数运算法则的应用导数运算法则广泛应用于几何、物理学、经济学、管理学等多学科，其应用范围非常广泛。
例如，在几何学中，用来描述曲线的凹凸性，在物理学中，可以用来解析运动物体的位移关系，也可以用来研究二者之间的力学原理。
在经济学中，导数法则可以用来研究经济中的边际效应，以及经济变量之间的关系。
在管理学中，可以应用导数法则进行管理绩效的诊断，以便更好地进行企业管理。
四、总结导数具有重要的概念价值和重要的应用价值，可以用来描述函数的变化，反映曲线的变化趋势。
导数运算法则几乎可以应用于各学科领域，可以使解决问题的过程更有效率。
导数的四则运算法则PPT学习教案
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(2)方法一：y′＝xx－ ＋11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212 方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′＝－2′x＋1x＋－122x＋1′ ＝x＋212.
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝
；
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1 cos2x
(5)若f(x)＝tan x，－则sin12fx′(x)＝
axln a
；
ex
(6)若f(x)＝cot x，x则ln1 af′(x)＝ 1 x
(7)若f(x)＝ax，第8则页/共4f5′页(x)＝
导数的运算法则 f′(x)±g′(x)
又 y′＝2ax＋b，曲线过点 P(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b
＝1.
曲线过点(2，－1)，所以有 4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， 联立4a＋b＝1，
4a＋2b＋c＝－1，
a＝3， 解之，得b＝－11，
c＝9，
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
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1．可导函数的和、差、积、商的可导性
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(2)方法一：∵y＝2·x－2＋3·x－3， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4＝－x34＋－x49＝－x43－x94. 方法二：y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′ ＝2′x2－x4x2′·2＋3′·x3－x6x3′·3＝－x43－x94.
第二章4.1导数的加法与减法法则
§4 导数的四则运算法则 4．1 导数的加法与减法法则[学习目标]1．理解导数的加法与减法法则的推导方法． 2．掌握导数的加法与减法法则．3．会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算． [知识链接]利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么答 应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式；②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出．[预习导引]1．导数的加法与减法法则 (1)符号语言①[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )． ②[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )． (2)文字语言两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)． 2．两个函数和差的求导法则的推广(1)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )(a ，b 为常数)． (2)[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x )．要点一 直接利用法则求导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ＋2x 2；(2)y ＝1＋sin x 2cos x2；(3)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(4)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1. 解 观察式子的特点，可以先化简再求导． (1)∵y ＝x ＋2＋2x ，∴y ′＝1－2x2.(2)∵y ＝1＋sin x2cos x2＝1＋12sin x ，∴y ′＝12cos x .(3)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(4)∵y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝－x ＋1x ，∴y ′＝(－x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－12－12＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x . 规律方法 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3. (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .要点二 求导法则的逆向应用例2 已知f ′(x )是一次函数，x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立，求f (x )的解析式．解 由f ′(x )为一次函数可知，f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又该方程对一切x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a －b ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．跟踪演练2 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1.求y ＝f (x )的函数表达式．解 ∵f ′(x )＝2x ＋1， ∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c ＝0，即c ＝14，∴f (x )的表达式为f (x )＝x 2＋x ＋14.要点三 导数的应用例3 已知函数f (x )＝x 3＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程． 解 f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. ∴f ′(2)＝3×22＋1＝13. ∴所求切线的斜率是13.∴切线方程为y －10＝13(x －2)， 即13x －y －16＝0.∴所求切线的方程是13x －y －16＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．跟踪演练3 已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线方程．解 ∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0.∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4处的切线斜率为0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，∴所求切线方程为y ＝ 2.1．函数f (x )＝sin x ＋x 的导数是( ) A ．f ′(x )＝cos x ＋1B ．f ′(x )＝cos x －1C ．f ′(x )＝－cos x ＋1D ．f ′(x )＝－cos x ＋x 答案 A2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5答案 B解析 ∵y ′＝3x 2－6x ，∴曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－3. ∴切线方程为y ＝－3x ＋2.3．已知f ′(1)＝13，则函数g (x )＝f (x )＋x 在x ＝1处的导数为________． 答案 14解析 g ′(x )＝f ′(x )＋1， ∴g ′(1)＝f ′(1)＋1＝14.4．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点坐标为________． 答案 (1，e)解析 ∵(e x )′＝e x .设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的切线斜率为e x 0，令＝e x 0e x 0－0x 0－0.即x 0·e x 0＝e x 0 ∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)．1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具．2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是否是切点．一、基础达标1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cosx ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( ) A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8x D ．5－8x 答案 D解析 y ＝x －(4x 2－4x ＋1)＝－4x 2＋5x －1，y ′＝－8x ＋5.3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)答案 C解析 ∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.4．曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )答案 C解析 因为曲线过点(1,2)， 所以b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ， ∴b ＝－1，c ＝2.所以所求的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0，故两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0的距离为d ＝|1＋2|2＝322.5．过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是______________________________． 答案 2x －y ＋4＝0解析 易求f ′(x )＝6x －4，f ′(1)＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2. 则直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________________________． 答案 71316m/s解析 ∵s ′＝2t －3t2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝71316(m/s)．7．已知函数f (x )＝2x ＋x 2－x ，求f ′(1)，f ′(4)． 解 f ′(x )＝(2x ＋x 2－x )′＝(2x )′＋(x 2)′－x ′ ＝2x ln 2＋2x －1， ∴f ′(1)＝2ln 2＋1，f ′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7. 二、能力提升8．函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x的导数为( )⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2－1答案 D 解析 ∵y ＝－x ＋3－，＝3x ＋1x x －1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2－1.9．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值． 解 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.12．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x＋2y ＋5＝0.求函数y ＝f (x )的解析式． 解 由M (－1，f (－1))在x ＋2y ＋5＝0上得 －1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2. 即－a －61＋b＝－2，① 又f ′(x )＝a ?x 2＋b ?－2x ?ax －6??x 2＋b ?2.由f ′(－1)＝－12得 a ?1＋b ?＋2?－a －6??1＋b ?2＝－12.② 由①②得a ＝2，b ＝3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点， 由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
北师大版选修1《导数的加法与减法法则》教案及教学反思
北师大版选修1《导数的加法与减法法则》教案及教学反思一、教学目标1.理解导数与函数的概念；2.掌握导数的加法和减法法则；3.能够应用导数的加法和减法法则解决相关问题。
二、教学内容1. 复习本节课的内容是导数的加法和减法法则，属于高一数学选修1的内容。
在进行本节课的学习之前，需要先复习前面所学的导数基本概念、导数的定义及其计算方法等。
2. 导数的加法法则处可导，导数的加法法则是指：若函数f(x)和g(x)都在一点x则它们的和函数(f+g)(x)在x处也可导，并且有(f+g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0)在讲解导数的加法法则的时候，我们可以先通过几个例子，让学生感性理解这个法则。
例如：例1.求函数f(x)=x2和g(x)=2x在x=1处的导数。
解：由导数的加法法则可知，(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)因此，(x2+2x)′=2x+2=4所以f(x)=x2和g(x)=2x在x=1处的导数为4。
3. 导数的减法法则处可导，导数的减法法则是指：若函数f(x)和g(x)都在一点x处也可导，并且有则它们的差函数(f−g)(x)在x(f−g)′(x0)=f′(x0)−g′(x0)同样地，我们也可以通过几个例子，让学生感性理解这个法则。
例如：例2.求函数ℎ(x)=x2−2x和i(x)=2x−1在x=1处的导数。
解：由导数的减法法则可知，(ℎ(x)−i(x))′=ℎ′(x)−i′(x)因此，(x2−2x)−(2x−1)′=(2x−2)−(2)=0所以ℎ(x)=x2−2x和i(x)=2x−1在x=1处的导数为0。
4. 课堂练习为了让学生更好地掌握导数的加法和减法法则，我们需要在课堂上进行相关的练习。
这些练习可以是教师布置的作业，也可以是课堂上解题的演示。
例如：练习1.求函数$f(x)=\\sqrt{x}+2$和$g(x)=\\frac{1}{x}$在x=4处的导数。
练习2.求函数ℎ(x)=x3+2x−1和i(x)=3x2−2x+1的公切线方程。
4.1 导数的加法与减法法则
【变式训练】
若曲线变为
方程. 解：
求它在点（1,0）处的切线
将x=1代入导函数得 1+1=2， 即曲线 在（1,0）点处的切线斜率为2，
从而其切线方程为y=2(x-1).
【提升总结】
运用导数的运算法则解决曲线切线问题的方法: 求曲线在某点处的切线方程，则切线的斜率 就是该点处的导数值,利用导数运算法则求出在 该点处切线的斜率即得切线方程.
(0，b)在切线x－y＋1＝0上，所以b＝1，
又f′(x) ＝2x＋a，f′(0)＝a＝1.
3.设f(x)=ax3-3x2+2,若
，则a的值为（ D ）
4.函数
的导数为______________.
【解析】由导数公式及减法法则知
5.函数 ______________.
的导数为
【解析】
6.已知曲线
A. f (x) 1与f (x) x B. f (x) sin x与f (x) cos x C. f (x) 1 cos x与f（x） sin x D. f (x) 1 x 与f (x) x 3
2 2
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是 1 1 x－y＋1＝0，则a＝________ ，b＝________ 【解析】
3.运用导数的几何意义，结合导数的加、减法则求
过曲线上一点的切线.
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝ f′(x0)·(x－x0)．
导数即斜率
例2
求曲线
在点（1,0）处的切线方程.
在x=1处的导数.
解：首先求出函数 函数 是函数
由导数公式表分别得出
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4.1 导数的加法与减法法则
藤县第二中学 梁中南 2019.04.25
复习
求函数的导数的方法是:
说明:上面的方法 中把x换x0即为求 函数在点x0处的 导数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
作业： P76页 2（1）、（4）；3.
解： ∵y'=cosx ∴曲线在点（0,1）处的
切线的斜率k=cos0=1 故切线方程为 y-1=1（x-0） 即x-y+1=0
[方法、规律、小结]
• 1.熟记导数公式表，必要时先化简 再求导
• 2.计算f'(x0)时,可先求f'(x),再将x=x0 代入
• 3.直线与曲线相切时，切点就是直 线与曲线的公共点，切线的斜率就 是曲线对应的函数在切点处的导数.
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
导数的加法与减法法则: [f(x) +g(x)] ′= f'(x) + g'(x);
切线方程.
•
解：
y' (x3 1)' x
( x 3 )'
(1 )' x
3x2
(
1 x2
)
3x2
1 x2
设点（1，0）处的切线斜率为k，则
k=f'(1)=3×1+ 1 =4.
1
∴点（1，0）处的切线方程为：
y 0 4(x 1)
即 y 4x 4
练习
1.求曲线y=sinx 在点（0，1）处的切线方程
[f(x) －g(x)] ′= f'(x) － g'(x)
数学语言表述：
两个函数和（差）的导数等于 这两个函数导数的和（差）。
例1:求下列函数的导数:
(1) y x2 2x
(2)y x ln x
(1) y x2 2x (2)y x ln x
• 解：
（1）y'=(x2+2x)' (2)y'= ( x ln x)'
=(x2)'+(2x)' = x ' ln x'
=2x+2xln2
= 1 1
2x x
牛刀小试
求下列函数的导数:
(1) y ex cos x
(2)y=x3+sinx
(3) y
1 x3
Hale Waihona Puke log 3x(4)y=x4-x2-x+3
例2 求曲线
y x3 1 x
在点（1，0）处的