【步步高】高中数学 第三章 3.2.2复数代数形式的乘除运算同步检测 新人教A版选修2-2
3.2.2复数代数形式的乘除运算
对应的点为Z，若点Z位于第一象限，求实
数m的取值范围.
课堂小结
1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结 果中把i2 换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.共轭复数的相关概念. 4.复数代数形式的除法实质：分母实数化. 5.体会类比的方法.
1.理解复数代数形式的乘除运算法则. 2.会进行复数代数形式的乘除运算. 3.了解互为共轭复数的概念.
类比(a+b)×(c+d)
=ac+ad+bc+bd
计算：(1+3i)(2-3i)
=1×2+1×(-3i)+2×3i+3i×(-3i) =2-3i+6i-9i2 =11+3i
合作探究
探究1： 复数代数形式的乘法运算 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们 乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.
探究2：复数的乘法是否满足交换律，结 合律以及乘法对加法的分配律？
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
例2 计算: (1)(1+i)2; (2)(3+4i)(3-4i)；
这与作根式除法时的处理是很类似的.
高二数学人教选修1-2第3单元3-2-2复数代数形式的乘除运算课后练习及解析
a=-2. 答案:-2 4.(2016·青岛高二检测)若复数 z 满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=________. 【解题指南】由已知利用复数代数形式的除法运算化简求得 z,然后直接利用复数模的公式 求解. 【解析】因为(3-4i)z=4+3i,
所以 z= =
= =i.
则|z|=1.
答案:1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
2.若 f(z)=2z+ -3i，f( +i)=6-3i，试求 f(-z). 【解题指南】设出 z=a+bi(a，b∈R)，根据复数相等的充要条件，列关于 a，b 的关系式求 出 a，b，即可求出 z，根据函数解析式可求 f(-z). 【解析】因为 f(z)=2z+ -3i，
所以 f( +i)=2( +i)+
7.(2015·重庆高考)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 ,则(a+bi)(a-bi)=
.
【解题指南】本题直接利用复数的模的概念及乘法运算求解即可.
【解析】因为复数 a+bi(a,b∈R)的模为 ,即 所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.
=,
答案:3
8.(2015 · 石 家 庄 高 二 检 测 ) 已 知 a,b ∈ R,i 是 虚 数 单 位 . 若 (a+i)(1+i)=bi, 则
A.-15 C.3
B.-3 D.15
【解析】选 B. =
=-1+3i=a+bi,所以 a=-1,b=3, 所以 ab=-3.
8.(2016·济南高二检测)设 x,y 为实数,且 + = ,则 x+y=________.
高中数学第三章2.2复数代数形式的乘除运算含解析新人教A版选修2
课时作业22 复数代数形式的乘除运算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( A )A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析：z ＝1i＝－i. 2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i解析：1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0. 3．复数1＋2i 2－i＝( A ) A ．i B ．1＋i C ．－i D ．1－i解析：1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i 5＝i. 4．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( D )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3＋4iD ．3－4i解析：方法1：由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法2：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. 5．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( D )A ．－4B ．－45C ．4 D.45解析：由复数模的定义可得|4＋3i|＝5，从而(3－4i)z ＝5，则z ＝53－4i＝3＋4i 5，即z 的虚部为45.6．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( D )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.7．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i(2＋i )2，则z 1z 2等于( D )A ．－4＋3iB ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i解析：z 1z 2＝(2－3i )(2＋i )23＋2i ＝(2－3i )(3－2i )(2＋i )2(3＋2i )(3－2i )＝－13i (3＋4i )13＝4－3i.8．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( A )A.14 B.12 C ．1 D ．2解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i 1＋(3i )2－23i ＝3＋i－2－23i＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝－3＋i 4.∴z ＝－3－i 4，∴z ·z ＝3－i 216＝416＝14，故选A.二、填空题9．已知a ＝－3－i1＋2i ，那么a 4＝－4.解析：∵a ＝－3－i 1＋2i ＝(－3－i)(1－2i )5＝－1＋i ，∴a 4＝[(－1＋i)2]2＝(－2i)2＝－4.10．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝2＋i. 解析：∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝10－5i5＝2－i ，∴z ＝2＋i.11．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝1＋2i.解析：(a ＋i)(1＋i)＝b i ，即a ＋a i ＋i ＋i 2＝b i ，(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，由复数相等的充要条件可得a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i.三、解答题12．计算：(1)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ；(2)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 解：(1)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i＝(1＋4)＋(－4＋1)i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝(21＋4)＋(3－28)i 25＝25－25i 25＝1－i.(2)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝(－2－3)＋(6－1)i 5 ＝－5＋5i 5＝－1＋i. 13．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i. (2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝12＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4.——能力提升类——14．对于z ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 000，下列结论成立的是( C ) A ．z 是零 B ．z 是纯虚数C ．z 是正实数D ．z 是负实数 解析：由已知：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝(1＋i )22＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24＝i 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 000＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24]500＝1，同理⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 000＝1.15．已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.。
(新)高中数学第三章3_2复数代数形式的四则运算3_2_2复数代数形式的乘除运算教学案新人教A版选修2-2
3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i 5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i.法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0， 所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0， 由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0， 由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x， 即x ＝0时等号成立． 所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一 学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________． 解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1， 所以a b＝2. 答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i2－3i＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i ＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二 应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z＜0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。
高中数学 第三章导数及其应用 3.2 复数代数形式的四则运算同步检测(含解析)新人教A版选修1-1(
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3.2复数代数形式的四则运算1。
复数1+2ii(i 是虚数单位)的实部是（ ） A ．25- B ．25C ．15-D ．15答案：B解析：解答：因为22(12i)211+21+255i i i i -==+，所以其实部为25,选B 。
分析:本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，解决问题的关键是解根据复数复数代数形式的乘除运算进行化简判断即可.2。
若复数1z i =+，则(1)z z +⋅=（ )．A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3 答案：A解析:解答：(1)z z +⋅=()()11113i i i ++⋅+=+。
故选A 。
分析：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,解决问题的关键是根据复数代数形式的乘除运算进行计算即可.3. 已知复数12312z bi z i =-=-，，若是实数，则实数b 的值为（ ) A ．0 B．6 D ．6- 答案：C 解析：解答所以606b b -=⇒=. 故C 正确。
分析：本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算;，解决问题的关键是根据所给复数进行计算然后结合条件解方程即可. 4。
高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课后知能检测
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课后知能检测 新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2013·郑州高二检测)复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12i D.12＋12i 【解析】 ∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1， ∴i 2＋i 3＋i 41－i ＝－i 1－i ＝－i 1＋i 2＝12－12i.【答案】 C2．(2013·四川高考)如图3－2－2，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图3－2－2A ．AB ．BC ．CD ．D【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．【答案】 B3．(2013·大连高二检测)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii|＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 【解析】 ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴|a ＋ii|＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a＝－3(舍)．【答案】 B4．(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为( )A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解析】∵z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝－12＋－12＝2，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题共有2个：p2，p4.【答案】 C5．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是( )A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，真命题；B，z1＝z2⇒z1＝z2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·z1＝z2·z2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z21＝1，z22＝－1，即z21≠z22，假命题．【答案】 D二、填空题6．(2012·江苏高考)设a ，b ，∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．【解析】 因为a ＋b i ＝11－7i1－2i＝11－7i1＋2i5＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，∴a ＋b ＝8. 【答案】 87．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________.【解析】 因为x 1－i ＝x 1＋i1－i 1＋i＝x 2＋x2i ，y 1－2i ＝y 1＋2i1－2i1＋2i ＝y 5＋2y 5i ，51－3i ＝12＋32i ，又x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 5＝12，x 2＋2y 5＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.【答案】 4 8．已知复数z ＝3＋i 1－3i2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. 【解析】 ∵z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－2＋23i 16＝－43＋4i16＝－3＋i 4，∴z ＝－34－i 4，∴z ·z ＝(－34)2＋(14)2＝14. 【答案】 14三、解答题 9．计算(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i)(12－32i)(12＋32i)．【解】 (1)原式＝－1＋i ＋i －i 2－1＋i ＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.11．已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)若w ＝z2＋i，求复数w 的模|w |.【解】 (1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i. ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3b ＝0，且9＋b ≠0， ∴b ＝1，∴z ＝3＋i.(2)w ＝3＋i 2＋i ＝3＋i ·2－i 2＋i ·2－i ＝7－i 5＝75－15i ，∴|w |＝752＋152＝ 2.。
高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业(含解析)新人教A版选修1_2
课时作业11 复数代数形式的乘除运算知识点一 复数的乘除运算 1.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i 答案 D解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B 解析i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12i ＋12＋1－3＋23i ＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋23i ，对应点在第二象限. 知识点二 共轭复数3.已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 由条件知：z ＝1－2i ，其在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限，选D. 4．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B．3±i C．3＋i D ．3－i 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.知识点三 虚数单位i 的幂的周期性 5.计算：i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2014.解 解法一：原式＝－i 20141－i ＝i[1－21007]1－i＝＋1－i＝＋2＝－1＋i.解法二：∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝i －1－i ＋1＝0， ∴i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．∴原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2009＋i2010＋i2011＋i2012)＋i2013＋i2014＝0＋i －1＝－1＋i.易错点 误用判别式求解复数方程6.已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，则实数k 的值为________． 易错分析 (1)求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k ＋2i)2－4(2＋k i)≥0，解得k ≥23或k ≤－2 3.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．(2)复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．答案 ±2 2解析 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝22，所以k 的值为－22或2 2.一、选择题1．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 答案 A 解析 由10i3＋i ＝－＋－＝＋10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．2．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案 A解析 解法一：z ＝3＋i －32＝3＋i1－3－23i＝ 3＋i －＋3＝3＋－3－2×4＝－34＋14i ， ∴z ＝－34－14i. ∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.解法二：∵z ＝3＋i －32，∴|z |＝|3＋i||1－3i|2＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14.3．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i 答案 C解析 由题意可得2－z z ＝2－－1＋－1－i＝－－1＋－1－－1＋＝－1＋2i ，故选C.4．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4 答案 C解析 z ＝2－1＋i ＝－1－－1＋－1－＝－1－i ，所以|z |＝2，p 1为假命题；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2为真命题；z ＝－1＋i ，p 3为假命题；p 4为真命题．故选C.二、填空题5．计算：3－i1＋i ＝______(i 为虚数单位)．答案 1－2i 解析3－i1＋i＝－－＋－＝2－4i2＝1－2i. 6．若z ＝－1－i 2时，求z 2012＋z 102＝________.答案 －1＋i解析 z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i.z 2012＋z 102＝(－i)1006＋(－i)51＝(－i)1004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3＝－1＋i.7．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．答案 1解析 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝z 1－i z 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i ，因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.故填1.三、解答题8．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. 9．复数z ＝＋2＋－2＋i，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .解 由 z 2＋a z <0可知z 2＋a z是实数且为负数．z ＝＋2＋－2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.。
高中数学人教A版选修2-2同步辅导与检测3.2.2复数代数形式的乘除运算
3 3 3 1 － ＋4－4i(1＋i) 4 4 3 1 3 1 3 1 ＋ i(1＋i)＝－ － ＋ － i 2 2 2 2 2 2
1＋ 3 1－ 3 ＝－ ＋ i. 2 2
－2＋3i －2＋3i1－2i (3)原式＝ ＝ 1＋2i 1＋2i1－2i －2＋6＋3＋4i 4 7 ＝ ＝ ＋ i. 5 5 12＋22 5－29 5 i 5－29 5 i7＋3 5 i (4)原式＝ ＝ 7－ 3 5 i 7－3 5 i7＋3 5 i 35＋29×15＋15 5－29×7 5i 470－188 5 i ＝ ＝ 2 2 94 7 ＋3 5 ＝5－2 5 i.
1 (2) －2＋ 3 3 1 i ＋ i(1＋i)； 2 2 2
(3)(－2＋3i)÷ (1＋2i)； (4)(5－29 5i)÷ (7－3 5i)．
解析：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
1 (2) －2＋ ＝ － ＝ － 3 3 1 i ＋ i(1＋i) 2 2 2
解法二
∵z＋ z ＝4，设 z＝2＋bi(b∈R)．
∵z· z ＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8. ∴b＝± 2.∴z＝2± 2i， z ＝2∓2i. z ∴ ＝± i. z
复数范围内解方程问题 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实 数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
由 z＋ z ＝4，z· z ＝8 得，
x＋yi＋x－yi＝4， x＋yix－yi＝8 x＝2， ⇒ 2 2 x ＋y ＝8 x＝2， ⇒ 2. y＝±
2020高二数学人教选修1-2同步练习：3.2.2 复数的乘法和除法 Word版含解析
7．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
8．复数 的虚部是________．
9．已知z是纯虚数， 是实数，那么z＝________.
10．计算：(1) ＋( )2 010；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
11．解(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
12．解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝a－bi.
又z· －3iz＝ ，
12பைடு நூலகம்已知复数z的共轭复数为 ，且z· －3iz＝ ，求z.
答案
1．A2．A3．D4．B5．A6．D
7．1
8．－
9．－2i
10．解(1) ＋( )2 010
＝ ＋( )1 005＝i(1＋i)＋( )1 005
＝－1＋i＋(－i)1 005＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝ ，
∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
∴
∴ 或 .
∴z＝－1，或z＝－1－3i.
3.2.2复数的乘法和除法
一、基础过关
1．复数－i＋ 等于()
A．－2iB. iC．0D．2i
2．i为虚数单位， ＋ ＋ ＋ 等于()
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》评估训练 新人教A版选修1-2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算双基达标 限时20分钟1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15iC ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C 3.－1＋3i 31＋i 6＋－2＋i 1＋2i的值是 ( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i解析 原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i 3＋－2＋i i－2＋i＝－1i＋i＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案 －35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 836．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i ＝i 2＋2＋3i i 2＋3i＝－1＋i.(2)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i.法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高 限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1 解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1， 所以1x 2－x＝－1，故选B. 答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确． 答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝________.解析 令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i ＝22＝1.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i.答案 －i11．复数z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .解 由z 2＋a z <0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2<0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．(创新拓展)复数z ＝1＋i 3a ＋b i 1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解 z ＝1＋i 2·1＋i 1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
一、基础过关
1． 复数－i ＋1i
等于 ( ) A ．－2i
B.12i C ．0 D ．2i
2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于 ( )
A ．0
B ．2i
C ．－2i
D ．4i 3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则
( )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝－1，b ＝－1
D ．a ＝1，b ＝－1 4． 在复平面内，复数i 1＋i
＋(1＋3i)2对应的点位于 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于
( )
A.34
B.43 C ．－43 D ．－34
6． 若z ＝1＋2i i
，则复数z 等于 ( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
二、能力提升 7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．
8．复数2i －1＋3i
的虚部是________． 9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i
是实数，那么z 等于________． 10．计算：(1)
2＋2i －2＋(21＋i )2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．
11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2
是实数，求z 2.
12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝10
1－3i ，求z .
三、探究与拓展
13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．
(1)求b ，c 的值；
(2)试说明1－i 也是方程的根吗？
答案
1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D
7．1
8．－12
9．－2i
10．解 (1)2＋2i －2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i ＋(22i
) 1 005 ＝i(1＋i)＋(1i
)1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.
11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.
设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.
12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.
又z ·z －3i z ＝101－3i
， ∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝
＋10， ∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－3.
∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.
13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，
∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，
即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋
c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2c ＝2. ∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.
把1－i 代入方程左边得(1－i)2
－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的
一个根．。