04第四章_无约束问题直接法01

则 V 0 , V 1 , , V n的 凸 组 合 称 为 由 V 0 , V 1 , , V n 构 成 的 单 纯 形, 记 为 S [V 0 , V 1 , , V n ] ,即
S [ V 0 , V 1 , , V n ]
{x | x jV , 其中 j 1 , j 0}
j V 1 , , V n为该单纯形的顶点。
对于给定的点x 0和正数，有两种方式构造单纯 形：
(1) V 0 x 0 V 1 V 0 e1 V 2 V 1 e 2 V n V n1 en V 1 V 0 e1 V 2 V 0 ( e1 e2 ) V n V 0 ( e1 e2 en )
step 5.( 收缩步) (1) 如果存在 i h 使得 f ( V r ) f ( V i ), 则
V h : V r , S k 1 [V 0 ,V 1 , ,V n ], 转 step 7.
(2) 如果 i h 有 f (V i ) f (V r ) f (V h )， 则 令 V c V (V r V ) ， 1 (V c : 收缩点， ：收缩系数，一般取 。 ) 2
r h
V r : 反射点， : 反射系数， 一般取 1。
如果 f (V r ) f (V l ) :
延伸步：
则令V e V (V r V ) ，
V e : 延伸点，β : 延伸系数 ，一般取 β 2。
则 V e 2V r V
，
若 f (V e ) f (V l ), 则用V e 代替V h , 构成新的单纯形 , 否则用V r 代替V h , 构成新的单纯形。
2. 问 题:
min f(x) n
x R
f ( x )是R 上连续函数
n
即f ( x ) C ( R )
n
3.算法思想
(1) 集合迭代的思想。
S 0 S 1 S k S k 1 这 里 S i ( i 1 ,2 , )为 单 纯 形
(2) 下降迭代的思想。
设 f (V h ) max { f (V 0 ) , f (V 1 ) ,, f (V n ) } , f (V l ) min { f (V 0 ) , f (V 1 ) ,, f (V n ) }。
1 令 V V i 。 n ih
反射步: V V (V V )
f ( X1 ) f ( X 2 ) f ( X 3 )
这说明点 X 1 最差，点 X 3 最好，点 X 2 次差．为了寻找极 小点，一般来说应向最差点的反对称方向进行搜索．以 X 4 记 为 X 2 X 3的中点（如图4.1所示），在 X 1 X 4 的延长线上取 点 X 5 ，使 X 5 X 4 ( X 4 X1 ) 2X 4 X1 X 5 称为 X 1 关于 X 4 的反射点．
V0
V
V2
Vc
Vr
V1
收缩步（情形一） :
i h 有 f (V i ) f (V r ) f (V h ) 则令 V c V (V r V )， V c : 收缩点，：收缩系数，一般取 1 。 2
若 f (V c ) f (V h ), 则用V c 代替V h , 构成新的单纯形。
V0
Vc
V2
V
V
1
Vr
收 缩 步 （ 情 形 二: ） i h 有 f (V i ) f (V r )
若 f (V r ) f (V h )， 则令 V c V (V h V )， 1 V c : 收缩点， ：收缩系数，一般取 。 2
若 f (V c ) f (V h ), 则用V c 代替V h , 构成新的单纯形。
如 果 f ( V e ) f ( V l ) ( f ( V e ) f ( V r ))， 则 V h : V e , S k 1 [V 0 ,V 1 , ,V n ], 转 step （ 7 判断步） .
如 果 f ( V e ) f ( V l ) ( f ( V e ) f ( V r ))， 则 V h : V r , S k 1 [V 0 ,V 1 , ,V n ], 转 step （ 7 判断步） .
则 S [V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ]构成一个单纯形 。
(2)正规单纯形
V 0 x0 V i V 0 zi
i
zi (q,...,q, p, q,...,q) i 1,2,...,n
z1 ( p, q,...,q)
T
zn (q,...,q, p)
T
则 S [V 0 , V 1 , , V n ]构成一个单纯形 。
第四章 无约束问题
——直接法
第一节 单纯形替换法 第二节 步长加速法（轴向、模式搜索法) 第三节 方向加速法（Powell）
无约束最优化问题 min f ( x);
不用计算导数，只需计 算函数值的方法。 直接方法：
第一节 单纯形替换法
1.单纯形替换法: Spendley(斯彭德莱) 、Hext(赫克斯特) 和Himsworth(希姆斯沃思 )于1962年提出; Nelder(尼尔德 ) 和Mead(米德)1965年改进
i 0 1 i n
） , 则算法结束，
得到 x * V
n
i 0
V
n
i
n1
。
如 果 V i V （ max V i V
使 S i 中顶点的目标函数值下 降。
4. 单纯形概念
(1) 例 ：
V0 V1
R : 线段
1
V2
R 2 : 三角形
V0
V1
R3 :
四面体
V0
V3 V2
V1
（2）单纯形的定义
设V 0 , V 1 , , V n R n , 如果 V j V 0 ( j 1 , 2 ,, n) 线性无关 ,
如 果 f (V r ) f (V l ) ， 则 转 step 4. 如 果 f (V r ) f (V l ) ， 则 转 step 5.
step 4.( 延 伸 步) V e V ( V V h ) V ( V r V ) ( V e : 延 伸 点， : 延伸系数 ，一 般 取 2 )
如果 f (V c ) f (V r ) ， 则 V h : V c , S k 1 [V 0 ,V 1 ,,V n ], 转 step 7(判断步).
如果 f (V c ) f (V r ) ， 则 转 step 6 (棱长减半步 ).
(3) 如果 f (V r ) f (V h )， 则

图4.1 返 回
(2) f ( X 2 ) f ( X 5 ) f ( X 1 ) 这表示 X 5 点走得太远，应缩回一些．若以 表示压缩因 子，则有 （4.1） X 7 X 4 (X5 X 4 ) 常取为0.5． (3) f ( X 5 ) f ( X 1 ) 这时应压缩更多一些，将新点压缩至X 1至X 4 之间，有 X 8 X 4 ( X 4 X 1 ) X 4 ( X 1 X 4 ) （4.2） 注意，将式（4.1）中的 X 5 代之以 X 1 ，即可得式（4.2）． (4) 若X 1 X 4 方向上所有点的函数值 f ( X ) 都大于 f ( X 1 ) ，则 不能沿此方向搜索．这时，可以以 X 3 为中心进行缩边，若 使顶点 X 1 和 X 2 向 X 3 移近一半距离（如图4.2所示），得新 单纯形 {X 3 , X 9 , X 10 } ．以此单纯形为基础再进行寻优．
i l V V step 6.(棱长减半步 )V i ( i 0,1,, n) 2 S k 1 [V o ,V 1 ,,V n ], 转 Step 7(判断步)。
step 7.( 判 断 步) 计 算V
n
i 0
V
n
i
n1
,
j
如果 V i V （或者max V i V
算出 X 5 的函数值 f ( X 5 ) ，可能出现以下几种情形： (1) f ( X 5 ) f ( X 3 ) 这说明搜索方向正确，可进一步扩大效果，继续沿 X 1 X 5 向 前搜索，也就是向前扩张．这时取 X 6 X 4 ( X 4 X 1 ) 其中 为扩张因子，一般取 1.2 ~ 2.0 ． 如果 f ( X 6 ) f ( X 5 )，说明扩张有利，就可以点 X 6 代替点 X 1 构成新的单纯形 { X 2 , X 3 , X 6 } ．如果 f ( X 6 ) f ( X 5 ) ，说明扩 张不利，舍去 X 6 ，仍以 X 5 代替 X 1构成新的单纯形 { X 2 , X 3 , X 5 }
如果 f (V c ) f (V r ) ， 则 V h : V c , S k 1 [V 0 ,V 1 ,,V n ], 转 step 7(判断步).
V c V (V h V )。
如果 f (V c ) f (V r ) ， 则 转 step 6 (棱长减半步 ).
如果 f (V ) f (V ) 则
c h
i l V V i 棱长减半步：V (i 0,1,, n) 2 S k 1 [V o ,V 1 ,,V n ]。
7.单纯形替换法的步骤
Step 1.( 初 始 步) 给 定 初 始 点 x0 ,构造初始单纯形 S 0 [V o ,V 1 , ,V n ], 精 度 0，k : 0
Step 2 （准备步） . 计算 f (V h ) max f (V i )，
0 i n