习题2：弧形和扇形面积
弧长与扇形面积经典习题(有难度)
弧长与扇形面积练习题1. 一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5πB. 4πC.3πD.2π2. 如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A．6cmB．35cm C．8cm D．53cm3．如图，是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．180°12cm 6cm7.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π8.如图,圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC= 6cm，点P是母线BC上一点,且PC=23 BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．（64π+）cm B．5cm C．35cm D．7cm9.如图，半径为1的小圆在半径为 9 的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（）A . 17πB . 32πC . 49πD . 80π10. 如图，AB切⊙O于点B，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧⌒BC的弧长为（）．A．33πB．32πC．πD．32π11. 在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于．12. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m。
（结果用π表示）13.如图，圆锥的底面半径OB为10cm，它的展开图扇形的半径AB为30cm，则这个扇形的圆心角a的度数为____________．14. 如图,点A、B、C在直径为32的⊙O上,∠BAC=45º,则图中阴影的面积等于______________,(结果中保留π).2、如果一条弧长等于l，它的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1o，则它的弧长增加（）Ａ．lnＢ．180RπＣ．180lRπＤ．360l3、已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的面积为（）A、18πcm2B、36πcm2C、12πcm2D、9πcm24、圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加到（）A、1倍B、2倍C、3倍D、4倍5、一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A、1.5cmB、7.5cmC、1.5cm或7.5cmD、3cm或15cm8、扇形的周长为16，圆心角为360πo，则扇形的面积是（）Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．16π10、如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB交⊙O于E，则图中与12∠BOC相等的角共有（）A、2个B、3个C、4个D、5个15、如图，将三角尺ABC（其中∠B=60°，∠C=90°，AB=6）绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，点A所经过的路程是（）A、2πB、4πC、8πD、12π16、如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长为（ ）13、如图，扇形OAB 的圆心角为90o，且半径为R ，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（）Ａ．P Q = Ｂ．P Q > Ｃ．P Q <Ｄ．无法确定17、如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点。
部编数学九年级上册24.4弧长和扇形面积(13大题型)2023考点题型精讲(解析版)含答案
24.4弧长和扇形面积弧长公式 半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)题型1：运用公式计算弧长1.已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（ ）A．B．C．D．【分析】利用弧长公式直接计算即可．【解答】解：这个扇形的弧长＝＝π，故选：A．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．【变式1-1】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（ ）A．πB．4πC．2πD．45π【分析】求出圆心角∠BOD的度数，再根据弧长的计算公式进行计算即可．【解答】解：∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°，由弧长公式得，弧BD的长为＝π，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的前提，求出圆心角的度数是解决问题的关键．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧长为（ ）A．B．C．D．【分析】连结CO，根据AO＝CO，得到∠A＝∠C＝20°，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，根据直径的长求出半径，根据弧长公式l＝即可得出答案．【解答】解：如图，连结CO，∵AO＝CO，∴∠A＝∠C＝20°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝140°，∵直径AB＝6，∴半径r＝3，∴长＝＝，故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l＝是解题的关键．题型2：列方程求圆心角或半径2.已知一段弧长为9.42cm，该段弧所在的圆的半径为6cm，求这段弧所对的圆心角度数．【分析】根据弧长公式，即可求出弧所对的圆心角的度数．【解答】解：设圆心角的度数为n，根据题意得，＝9.42＝3π，∴n＝3π×180°÷6π＝90°．故这段弧所对的圆心角度数为：90°．【点评】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式是解题的关键．【变式2-1】如图，劣弧AB的长为6π，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径．【分析】根据弧长公式l＝，代入求出r的值即可．【解答】解：由题意得，6π＝，∴r＝12．答：此弧所在圆的半径为12．【点评】本题考查了弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．【变式2-2】已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径．【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得．【解答】解：设该圆的半径为Rcm，根据题意，得：＝4π，解得：R＝，答：该圆的半径为cm．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）．题型3：弧长计算中的最值问题（提升）3.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2，点D为弦AB上一动点（不与A，B两点重合），连接OD并延长交于点C，当CD为最大值时，的长为（ ）A．B．C．D．π【分析】根据垂线段最短得出当OC⊥AB时，OD最短，此时CD最大，求出∠BOC的度数，再根据弧长公式求出即可．【解答】解：当OC⊥AB时，OD最短（垂线段最短），此时CD最大，∵∠AOB＝120°，OD⊥AB，OD过圆心O，∴＝，且弧的度数是60°，∴∠BOC＝60°，∴的长为＝，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，垂线段最短等知识点，能求出∠BOC的度数是解此题的关键【变式3-1】如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．故选：C．【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．【变式3-2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且∠AOC＝60°，点P是线段OB上一动点，若OA＝2，则图中阴影部分周长的最小值是 ．【分析】延长AO到D，使OD＝AO，得到点A与点D关于OB对称，连接CD交OB于P′，当点P 与点P′重合时，图中阴影部分周长的值最小，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠OCD＝30°，过C 作CE⊥AO于E，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：延长AO到D，使OD＝AO，∵∠AOB＝90°，∴点A与点D关于OB对称，连接CD交OB于P′，当点P与点P′重合时，图中阴影部分周长的值最小，∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴∠DOC＝120°，∵OD＝OA＝OC，∴∠D＝∠OCD＝30°，过C作CE⊥AO于E，∴∠CEO＝90°，∴∠OCE＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OE＝OC＝1，∴DE＝OE+OD＝3，CE＝＝＝，∴CD＝＝＝2，∴AP′+CP′＝2，∵的长＝＝π，∴图中阴影部分周长的最小值是2+π，故答案为：2+π．【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．题型4：弧长计算与实际应用问题4.有一段圆弧形公路，弯道半径为45米，请你计算，圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精确到0.1米）【分析】根据弧长公式计算即可得．【解答】解：圆心角等于60°的圆弧形公路长为＝15π≈47.1米，答：圆心角等于60°的圆弧形公路长47.1米．【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【变式4-1】如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm，两直管道的长度都为2000mm，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度，精确到1mm）【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度即可．【解答】解：图中管道的展直长度＝2×+4000＝2000π+4000≈10280（mm）．【点评】主要考查了扇形的弧长公式，这个公式要牢记．弧长公式为：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．扇形面积公式 半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式：题型5：应用公式计算扇形面积5.一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）A．30πcm2B．60πcm2C．120πcm2D．180πcm2【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，设扇形的半径为rcm，则l＝，即10π＝，解得：r＝12，∴S＝＝＝60π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．【变式5-1】已知一个扇形的圆心角的度数为120°，半径长为3，则这个扇形的面积为多少？（结果保留π）【分析】根据扇形的面积公式S＝πR2直接计算即可．扇形＝πR2＝×π×32＝3π，【解答】解：S扇形答：这个扇形的面积为3π．【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记公式和准确计算是解题的关键．【变式5-2】如图、A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求扇形OAC的面积．【分析】连接OB，证明△AOB，△BOC都是等边三角形，得∠AOC＝120°，利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图，连接OB，∵四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝BC＝OB，∴△AOB，△BOC都是等边三角形，∴∠AOC＝120°，∴S＝＝．扇形OAC【点评】本题考查扇形面积公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型6：列方程求圆心角或半径6.已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则扇形的半径为（ ）A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm【分析】设扇形的半径为r，再根据扇形的面积公式求出r的值即可．【解答】解：设扇形的半径为r，∵扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，∴＝3π，解得r＝6（cm）．故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．【变式6-1】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）A．180°B．120°C．90°D．60°【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：根据题意得，＝（）2π，解得：n＝90，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．【变式6-2】已知⊙O的半径为2cm，扇形AOB的面积为πcm2，圆心角∠AOB是多少度？【分析】根据扇形的面积公式S＝，得n＝，代入数据计算即可．【解答】解：设∠AOB＝n，∵⊙O的半径为2cm，扇形AOB的面积为πcm2，∴S＝＝＝π，解得：n＝90°，∴∠AOB是90°．【点评】本题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键．题型7：扇形计算与实际应用问题7.如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．【分析】先求出AD的长度，再根据扇形的面积公式分别求出扇形DAE和扇形BAC的面积即可．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝18cm，∴AD＝AB﹣BD＝30﹣18＝12（cm），∴纸扇上贴纸部分的面积S＝S扇形BAC ﹣S扇形DAE＝﹣＝300π﹣48π＝252π（cm2）．【点评】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的扇形的面积为．【变式7-1】某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA＝24cm，OC ＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留π）（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．【分析】（1）主要是求阴影部分扇形环的外环和内环的弧长之和，即求优弧AB+优弧CD；直接利用弧长公式求解即可．（2）求扇环的面积，即S侧＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）．【解答】解：（1）优弧的长为（cm），优弧的长为（cm），至少需要花边的长度为30π+15π＝45π（cm）；（2）灯罩的侧面积＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）＝．【点评】主要考查了利用弧长公式和扇形的面积公式，通过面积差求扇形的面积．【变式7-2】如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地．（1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）（2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）【分析】（1）先根据题意和扇形面积公式列出算式，再求出即可；（2）先根据题意和扇形面积公式列出算式，再求出即可．【解答】（1）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝+＝13π（平方米），答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是13π平方米；（2）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝++＝（平方米），答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米．【点评】本题考查了矩形的性质和扇形的面积计算，能根据扇形公式列出算式是解此题的关键．题型8：求阴影部分面积-规则图形8（S阴=S扇-S△）.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，则图中阴影部分面积为（ ）A．B．C．D．【分析】根据S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴cos A＝＝，∴∠A＝60°，∵BA＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD＝﹣×22＝π﹣，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式8-1】（S阴=S大扇-S小扇）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）A．14πB．7πC．D．2π【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π，故选：B．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．【变式8-2】（化零为整）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则图中阴影部分面积之和为（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积．【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2，∴S 阴影＝＝4πcm 2，故选：D ．【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和与外角和，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．【变式8-3】（S 阴=S △-S 扇）如图，正三角形ABC 的边长为8，点D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 16﹣8π ．（结果保留π）【分析】连接AD ，根据等边三角形的性质得出AB ＝AC ＝BC ＝8，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，求出圆的半径为4，再分别求出△ABC 的面积和三个扇形的面积即可．【解答】解：连接AD ，则BD ＝CD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ＝8，∴BD ＝CD ＝4，即三个圆的半径都是4，由勾股定理得：AD ＝＝＝4，∴阴影部分的面积S ＝S △ABC ﹣3S 扇形BFD ＝﹣3×＝16﹣8π，故答案为：16﹣8π．【点评】本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积公式等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．题型9：求阴影部分面积-不规则图形9（割补法）.如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．【分析】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP＝BE，∠ABP＝∠EBC；以B为圆心，BP 画弧叫AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ，则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，于是S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形BFQ，然后根据扇形的面积公式计算即可；（2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP＝45°，PE＝4，则∠PEC＝135°﹣45°＝90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长．【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，∴△APB≌△CEB，∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，以B为圆心，BP画弧叫AB于F点，如图，∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ，∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形BFQ＝﹣＝12π；（2）连PE，∴△APB≌△CEB，∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴∠BEP＝45°，PE＝4，∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°，∴PC＝＝＝9．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝（其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质．【变式9-1】（等面积法）如图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连接AC．则图中阴影部分面积等于（ ）A．B．C．D．【分析】△OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．在Rt△ABO中，根据OB、OA 的长，即可求得∠BOA的度数；由于OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．【解答】解：OB是半径，AB是切线，∵OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴sin A＝＝，∴∠A＝30°，∵OC＝OB，BC∥OA，∴∠OBC＝∠BOA＝60°，∴△OBC是等边三角形，因此S阴影＝S扇形CBO＝＝．故选：A．【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．【变式9-2】（构造法）求阴影部分面积．【分析】构造图2，得到图1中的S1、S2、S3、S4，与图2中的S1、S2、S3、S4相等，易求得图2中S1+S2+S3+S4的值，得到图1中的阴影为﹣（S1+S2+S3+S4）．【解答】解：如图：图1中的S1、S2、S3、S4，与图2中的S1、S2、S3、S4相等，由图2可知：S1+S2+S3+S4＝（2a）2﹣πa2＝4a2﹣πa2，图1中的阴影为﹣（S1+S2+S3+S4）＝πa2﹣（4a2﹣πa2）＝2πa2﹣4a2．【点评】本题考查了图形面积的计算，利用图形的等面积变换可以简化计算．圆锥的侧面积和全面积 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积2360l S rl p p =扇n =，圆锥的全面积.注意： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型10：求圆锥的侧面积（全面积）10.已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）A ．24B ．48C ．12πD ．24π【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．【解答】解：它的侧面展开图的面积＝×2π×4×6＝24π．故选：D ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式10-1】一个圆锥的底面直径是8cm ，母线长为9cm ，则圆锥的全面积为（ ）A ．36πcm 2B ．52πcm 2C ．72πcm 2D ．136πcm 2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和．【解答】解：圆锥的全面积＝π×42+×2π×4×9＝52π（cm 2）．故选：B ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式10-2】如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为 120°，求这个扇形的面积．【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．【解答】解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则＝20π，解得：r＝30，∴扇形的面积为πrl＝π×10×30＝300π，【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．题型11：计算底面半径或展开图圆心角11.圆锥的轴截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ）A．60°B．90°C．120°D．180°【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，∵它的轴截面是正三角形，∴R＝2r，∴2πr＝，解得n＝180°，故选：D．【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．【变式11-1】一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【分析】设圆锥底面半径为rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，根据题意得2πr＝，解得r＝10，即圆锥底面半径为10 cm．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式11-2】如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．【分析】设出母线长与底面半径，根据题意和圆的面积，扇形的面积公式求解．【解答】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面积＝×2πr×R＝πRr＝2×πr2，∴R＝2r，∴＝2πr＝πR，∴n＝180°．【点评】本题利用了扇形的面积公式，圆的面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．注意圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．题型12：圆锥计算与实际应用问题12.用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．（1）求圆锥的高；（2）求所需铁皮的面积S（结果保留π）．【分析】（1）根据勾股定理即可求出高；（2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△AOB中，根据勾股定理，AO＝＝＝30（cm），∴圆锥的高为30cm；（2）80π×50＝2000π（cm2），答：所需铁皮的面积为2000πcm2．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【变式12-1】一个圆锥形沙堆，底面半径是5米，高是2.5米．（π取3）（1）求这堆沙子有多少立方米？（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？（3）在（2）的条件下，一台压路机的前轮直径是1m，前轮宽度是2m．如果前轮每分钟转动6周，这台压路机压一遍这段路面大约需要多少分钟？（得数保留整数．）【分析】（1）根据圆锥的体积公式求出这堆沙子的立方米数；（2）根据体积相等列式计算；（3）根据压路机一分钟压的面积，进而求出需要的分钟数．【解答】解：（1）圆锥的体积＝×π×52×2.5＝π≈62.5（立方米），答：这堆沙子约有62.5立方米；（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺的米数为：62.5÷（10×0.02）＝312.5（米），答：用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺312.5米；（3）压路机一分钟压的面积＝π×1×2×6≈36（平方米），则这台压路机压一遍这段路面大约需要的时间＝312.5×10÷36≈87（分）．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的体积公式、圆的面积公式是解题的关键．【变式12-2】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，其外形可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面半径为4m，总高为4.5m，外围（圆柱）高为1.5m的蒙古包（不包含底面圆），至少需要多少m2的毛毡？【分析】由底面圆的半径＝4米，由勾股定理求得母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．【解答】解：∵底面半径＝4米，高为4.5m，外围（圆柱）高1.5m，∴圆锥高为：4.5﹣1.5＝3（m），∴圆锥的母线长＝＝5（m），∴圆锥的侧面积＝π×4×5＝20π（平方米）；圆锥的周长为：2π×4＝8π（m），圆柱的侧面积＝8π×1.5＝12π（平方米）．∴故需要毛毡：20×（20π+12π）＝640π（平方米）．【点评】此题主要考查了勾股定理，圆面积公式，扇形的面积公式，矩形的面积公式等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．题型13：圆锥与最短距离13.如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为 ．【分析】先把圆锥侧面展开得到扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，利用弧长公式得到2π×3＝，解得n＝180，则∠CAB′＝90°，利用勾股定理计算出B′D，然后根据两点之间线段最短求解．【解答】解：圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，根据题意得2π×3＝，解得n＝180，∴∠CAB′＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝3，在Rt△ADB′中，B′D＝＝3，∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为3．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式13-1】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．【解答】解：圆锥的底面周长是8π，则8π＝，∴n＝120°，即圆锥侧面展开图的圆心角是120度．∴∠APB＝60°，∵PA＝PB，∴△PAB是等边三角形，∵C是PB中点，∴AC⊥PB，∴∠ACP＝90度．∵在圆锥侧面展开图中AP＝12，PC＝6，∴在圆锥侧面展开图中AC＝＝6cm．最短距离是6cm．【点评】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．【变式13-2】圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．【解答】解：将圆锥侧面沿AB剪开展平，连BB′，则BB′就是所求绳子长．由2π×3＝得n＝120，作AC⊥BB'，则∠2＝60°BB'＝2BC，∴∠3＝30°∴AC＝，BC＝，∴BB′＝9．【点评】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，OM⊥BC于点M，若OM=2，则BC的长为（ ）A ．4πB ．43πC ．83πD ．163π【答案】C 【解析】【解答】解：如图示，链接OC ，OB ，∵∠A =60°∴∠COB =120° ,∵OM ⊥BC ， OM =2∴∠COM =60° ， OC =OM cos60∘=212=4 ，∴BC =120∘×2×π×4360∘=83π ，故答案为：C【分析】链接OC ，OB ，利用圆周角定理可得 ∠COB =120° ，根据 OM ⊥BC ， OM =2 ，可求出 OC =4 ，利用弧长公式即可求出 BC 的长度.2．扇形的圆心角为60°，面积为6π，则扇形的半径是（ ）A ．3B ．6C ．18D ．36【答案】B 【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．【解答】扇形的面积=60πr 2360=6π．解得：r=6，故选：B ．3．如图， AC ⊥BC ， AC =BC =8 ，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心， BC 为半径作 AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．20π3−8B ．20π3C ．−20π3D ．+20π3【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接CE.∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，∴∠ACB ＝90°，OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8.又∵OE ∥AC ，∴∠ACB ＝∠COE ＝90°.∴在Rt △OEC 中，OC ＝4，CE ＝8，∴∠CEO ＝30°，∠ECB ＝60°，OE ＝4，∴S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE＝ 60π×82360−14×42π−12×4×= 20π3−8故答案为：A.【分析】如图，连接CE.图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE .根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝4，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.4．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．1534﹣ 32πB ．1532 ﹣ 32πC ．734﹣ π6D ﹣ π6【答案】A【解析】【解答】解：如图连接OD 、CD ．∵AC 是直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，∵OC=OD ，∴△OCD 是等边三角形，∵BC 是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=4，AC=6，∴S 阴=S △ABC ﹣S △ACD ﹣（S 扇形OCD ﹣S △OCD ）= 12 ×6×2 ﹣ 12 ×3× ﹣（ 60π⋅32360 ﹣ 34×32）= ﹣ 32 π．故答案为：A ．【分析】如图连接OD 、CD ．根据圆周角定理及三角形内角和及同圆的半径相等得出△OCD 是等边三。
人教版九年级数学上册《24.4 弧长和扇形面积》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《24.4 弧长和扇形面积》练习题-附参考答案一、选择题1．已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．12πB．21πC．27πD．36π2．如图，⊙O的半径为3，AB为弦，若∠ABC=30°，则AC⌢的长为（）A．πB．1 C．1.5 D．1.5π3．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．3π4．如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（）A．2πB．9 C．3πD．6π5．如图，四边形OABC为菱形，∠AOC＝120°，点B、C在以点O为圆心的EF⌢上，若OA＝1，∠1＝∠2，则扇形OEF的面积为（）A．π6B．π4C．π3D．2π36．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点.以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（）A．π−1B．π−3C．π−2D．4−π7．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC.若∠AOC：∠ABC=4：3，则AC⌢的长为（）A．35πB．45πC．65πD．85π8．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，E恰为边BC的中点，AD＝4 √3则图中阴影部分的面积为（）A．18√3−8πB．18√3−4πC．24√3−8πD．12√6−6π二、填空题9．一个扇形的半径是3cm，圆心角是60°，则此扇形的面积是cm2．10．如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于．11．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2√3，则阴影部分的面积为．⌢围成的图13．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和CD形（图中阴影部分）的面积S是.三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，以B为圆心，BA为半径画弧交CB的延长线于点D，求弧AD的长15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2 √3 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．16．如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，CF ．（1）求证：；（2）若的半径为，求的长结果保留．17．如图，已知AB 是O 的直径，点C 在O 上，D 为O 外一点，且90ADC ∠=︒ 2180B DAB ∠+∠=︒．(1)试说明：直线CD 为O 的切线；(2)若30,2B AD ∠=︒=求阴影部分的面积．1．C2．A3．C4．C5．C6．C7．D8．Aπ9．3210．2π11．8512．2π313．6πcm214．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1 ∴AB=2BC=2，∠ABC=90°-∠BAC=60°∴∠ABD=180°-∠ABC=120°∴弧AD=故答案为.15．（1）解：BC与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD．∴∠OAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD ∥AC∴∠ODB=∠C=90°即OD ⊥BC ．又∵BC 过半径OD 的外端点D∴BC 与⊙O 相切；（2）解：设OF=OD=x ，则OB=OF+BF=x+2． 根据勾股定理得： OB 2=OD 2+BD 2 即 （x +2）2=x 2+12 ，解得：x=2 即OD=OF=2∴OB=2+2=4．在Rt △ODB 中，∵OD= 12 OB∴∠B=30°∴∠DOB=60°∴S 扇形DOF = 60π×4360 = 2π3 ，则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF = 12×2×2√3−2π3 = 2√3−2π3 ． 故阴影部分的面积为 2√3−2π3 ． 16．（1）证明：四边形是平行四边形．（2）解：连接由得∴的长． 17．（1）解：如图，连接OC OB OC =OCB B ∴∠=∠2AOC OCB B B ∴∠=∠+∠=∠2180B DAB ∠+∠=︒180AOC DAB ∴∠+∠=︒．OC AD ∴∥90ADC ∠=︒18090OCD ADC ∴∠=︒-∠=︒即CD OC ⊥，又OC 是O 的半径 ∴直线CD 为O 的切线．（2）如图，连接AC ，作OE BC ⊥，垂足为E ，则2BC BE = 30B ∠=︒260AOC B ∴∠=∠=︒OA OC =OAC ∴是等边三角形60OCA ∴∠=︒906030ACD ∴∠=︒-︒=︒ 12AD AC ∴= 2AD =4AC ∴=，即O 的半径为4 OE BC ⊥BE CE ∴=30,4B OB ∠=︒=2OE ∴=22224223BE OB OE ∴=-=-= 43BC ∴=1432BOC S BC OE ∴=⋅⋅=△ 30,B OB OC ∠=︒=120BOC ∴∠=︒2OBC 12041643433603OBC S S S ππ⨯⨯∴=-=-=-阴影扇△．。
圆的弧长与扇形面积综合练习题
圆的弧长与扇形面积综合练习题题1：已知一个半径为3cm的圆的弧长为12πcm，求扇形的面积。
题解：求扇形的面积时，需要知道扇形的圆心角和半径。
已知圆的弧长是12πcm，可以计算出圆心角的大小。
因为弧长等于半径乘以圆心角的弧度，所以可以得到12π = 3cm × 圆心角。
解方程可以得到圆心角为4π/3弧度。
扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以扇形的面积为(4π/3)(π(3)^2) = 12π平方cm。
题2：若一个圆的半径是5cm，那么它的弧长和扇形面积各是多少？题解：已知圆的半径是5cm，它的弧长可以计算得出。
弧长等于半径乘以圆心角的弧度，所以弧长等于5cm ×圆心角。
圆心角的弧度可以通过圆弧长除以半径得到。
假设圆心角为θ弧度，则弧长为5θ。
要求扇形的面积，也需要知道圆心角的大小。
同样，我们可以利用扇形的面积公式，并确认圆心角的弧度为θ。
扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积。
所以扇形的面积为θ(π(5)^2) = 25θπ平方cm。
题3：已知一个扇形的半径是8m，扇形的面积是12π平方m，求圆心角和弧长各是多少？题解：已知扇形的半径是8m，扇形的面积是12π平方m。
要求圆心角的大小，可以利用扇形面积的公式，并确认圆心角的弧度为θ。
扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以12π平方m = θ(π(8)^2)。
解方程可以得到θ = 3π/4。
要求弧长的大小，同样可以利用扇形的面积公式，但是需要先计算出圆心角的弧度。
扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以12π平方m = (3π/4)(π(8)^2)。
解方程可以得到弧长为6πm。
题4：一个扇形的圆心角是π/2，弧长是4，求扇形的面积。
题解：已知扇形的圆心角是π/2，弧长是4。
要求扇形的面积，需要用到圆心角和半径的关系。
圆心角所占的比例乘以整个圆的面积就是扇形的面积。
所以扇形的面积等于(π/2)(πr^2)，其中r表示圆的半径。
弧长以及扇形面积的计算-练习题 含答案
1 / 4弧长以及扇形面积的计算副标题1. 如图，在中，，，以BC 的中点O为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则的长为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：连接OE 、OD ，设半径为r ，分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，，，是BC 的中点，是中位线，，， 同理可知：，，，由勾股定理可知，，故选：B．连接OE 、OD ，由切线的性质可知，，由于O 是BC 的中点，从而可知OD 是中位线，所以可知，从而可知半径r 的值，最后利用弧长公式即可求出答案．本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE 、OD 后利用中位线的性质求出半径r 的值，本题属于中等题型．2. 一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：一个扇形的弧长是，面积是，，即，解得：，，解得：，故选B利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．3.的圆心角对的弧长是，则此弧所在圆的半径是A. 3B. 4C. 9D. 18【答案】C【解析】解：根据弧长的公式得到：解得．故选C．根据弧长的计算公式，将n及l的值代入即可得出半径r的值．此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般．二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）4.如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______．【答案】【解析】解：连接OD、OE，如图所示：是等边三角形，，，，、是等边三角形，，，，的长；故答案为：．连接OD、OE，先证明、是等边三角形，得出，求出，再由弧长公式即可得出答案．3 / 4本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共1小题，共8.0分）5. 如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是的一条弦，D 为的中点，作，交AB 的延长线于点F ，连接DA ．求证：EF 为半圆O 的切线；若，求阴影区域的面积结果保留根号和 【答案】证明：连接OD ，为的中点，，，，，，，，即，，为半圆O 的切线；解：连接OC 与CD ，，，， 又，，，，为等边三角形，，，，，， 在中，，， 在中，，，，，， 由，是等边三角形，，，， 故，．【解析】直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出，即可得出答案；直接利用得出，再利用，求出答案．此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出是解题关键．。
数学人教版九年级上册弧形与扇形面积习题
一、选择题1. (•浙江杭州，第2题，3分)已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为( )A. 12πcm2B. 15πcm2C. 24πcm2D. 30πcm2考点：圆锥的计算专题：计算题.分析：俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2.解答：解：∵底面半径为3，高为4，∴圆锥母线长为5，∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2.故选B.点评：由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键;本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形.2. (•年山东东营,第5题3分)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为( )考点：扇形面积的计算.分析：过A作AD⊥CB，首先计算出BC上的高AD长，再计算出三角形ABC的面积和扇形面积，然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积.解答：解：过A作AD⊥CB，∵∠CAB=60°，AC=AB，∴△ABC是等边三角形，∵AC= ，∴AD=AC•sin60°= × =，∴△ABC面积： = ，∵扇形面积： = ，∴弓形的面积为：﹣ = ，故选：C.点评：此题主要考查了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S= .3.(•四川泸州，第7题，3分)一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为( )A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm解答：解：圆锥的母线长=2×π×6× =12cm，故选B.点评：本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点.4.(•四川南充，第9题，3分)如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( )A. B. 13π C. 25π D. 25分析：连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出，的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可.解：连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD= =13，∴ = = ，∵ = =6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是： +6π= ，故选：A.点评：此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l= .5.(•甘肃兰州,第1题4分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，则点B转过的路径长为( )A. B. C. D. π考点：旋转的性质;弧长的计算.分析：利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可.解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°= ，∴BC=ABcos30°=2× = ，∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，∴∠BCB′=60°，∴点B转过的路径长为： = π.故选：B.点评：此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键.二、填空题1. (•四川巴中，第15题3分)若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数是.考点：圆锥的侧面展开图，等边三角形的性质.分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到扇形的弧长为4π，扇形的半径为4，再根据弧长公式求解.解答：设这个圆锥的侧面展开后所得到的扇形的圆心角的度数为n，根据题意得4π= ，解得n=180°.故答案为180°.点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.2. (•山东威海，第18题3分)如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是﹣ .考点：圆与圆的位置关系;扇形面积的计算分析：阴影部分的面积等于⊙O的面积减去4个弓形ODF的面积即可.解答：解：如图，连接DF、DB、FB、OB，∵⊙O的半径为1，∴OB=BD=BF=1，∴DF= ，∴S弓形ODF=S扇形BDF﹣S△BDF= ﹣××= ﹣，∴S阴影部分=S⊙O﹣4S弓形ODF=π﹣4×( ﹣ )= ﹣ .故答案为：点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是明确不规则的阴影部分的面积如何转化为规则的几何图形的面积.3. (•山东枣庄，第16题4分)如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为 4﹣π cm2.考点：扇形面积的计算;相切两圆的性质分析：根据题意可知图中阴影部分的面积=边长为2的正方形面积﹣一个圆的面积.解答：解：∵半径为1cm的四个圆两两相切，∴四边形是边长为2cm的正方形，圆的面积为πcm2，阴影部分的面积=2×2﹣π=4﹣π(cm2)，故答案为：4﹣π.点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系和扇形的面积公式.本题的解题关键是能看出阴影部分的面积为边长为2的正方形面积减去4个扇形的面积(一个圆的面积).4. (•山东潍坊，第15题3分)如图，两个半径均为的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)考点：相交两圆的性质;菱形的性质.分析：连接O1O2，由题意知，四边形AO1BO2B是菱形，且△AO1O2，△BO1O2都是等边三角形，四边形O1AO2B的面积等于两个等边三角形的面积.据此求阴影的面积.解答：连接O1O2，由题意知，四边形AO1BO2B是菱形，且△AO1O2，△BO1O2都是等边三角形，四边形O1AO2B的面积等于两个等边三角形的面积，∴SO1AO2B=2×S扇形AO1B= ∴S阴影=2(S扇形AO1B- SO1AO2B)=故答案为：点评：本题利用了等边三角形判定和性质，等边三角形的面积公式、扇形面积公式求解.5. (•山东烟台，第17题3分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于.考点：圆内接正多边形，求阴影面积.分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积.解答：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，∴BM=OB×sin60°=2 ，OM=OB•cos60°=2，∴BD=2BM=4 ，∴△BDO的面积是×BD×OM=×4 ×2=4 ，同理△FDO的面积是4 ;∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2 ，∴S扇形OCD﹣S△COD= ﹣×4×2 =π﹣4 ，∴阴影部分的面积是：4 +4 +π﹣4 +π﹣4 = π，故答案为：π.点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中.6. (•山东聊城，第15题，3分)如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为300π.考点：圆锥的计算;扇形面积的计算.分析：首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可.解答：解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则 =20π，解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π，故答案为：300π.点评：本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式.7. (•浙江杭州，第16题，4分)点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H.若BH= AC，则∠ABC所对的弧长等于πr或 r (长度单位).考点：弧长的计算;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;特殊角的三角函数值.专题：分类讨论.分析：作出图形，根据同角的余角相等求出∠H=∠C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△ACD和△BHD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再利用锐角三角函数求出∠ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解.解答：解：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠H+∠DBH=90°，∠C+∠DBH=90°，∴∠H=∠C，又∵∠BDH=∠ADC=90°，∴△ACD∽△BHD，∴ = ，∵BH= AC，∴ = ，∴∠ABC=30°，∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2=60°，∴∠ABC所对的弧长= =πr.如图2，∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，∴∠ABC所对的弧长= =πr.故答案为：πr或 r.点评：本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观.8.(•遵义15.(4分))有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2.(结果保留π)考点：圆锥的计算.分析：先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得.解答：解：圆锥的母线= =10cm，圆锥的底面周长2πr=12πcm，圆锥的侧面积=lR=×12π×10=60πcm2.故答案为60π.点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为lR.9.(•十堰16.(3分))如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为2π﹣4 .考点：扇形面积的计算;二次函数的最值;勾股定理.分析：由OC=4，点C在上，CD⊥OA，求得DC= = ，运用S△OCD=OD•，求得OD=2 时△OCD 的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解.解答：解：∵OC=4，点C在上，CD⊥OA，∴DC= =∴S△OCD=OD•∴ =OD2•(16﹣OD2)=﹣OD4﹣4OD2=﹣(OD2﹣8)2+16∴当OD2=8，即OD=2 时△OCD的面积最大，∴DC= = =2 ，∴∠COA=45°，∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积= ﹣×2 ×2 =2π﹣4，故答案为：2π﹣4.点评：本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出OD=2 时△OCD的面积最大.10. (•江苏徐州,第13题3分)半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2.考点：扇形面积的计算.分析：直接利用扇形面积公式求出即可.解答：解：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为： =π(cm2).故答案为：π.点评：此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键.。
人教版 九年级数学上册 24.4 弧形和扇形面积 同步训练(含答案)-试卷
5/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 ∴S 阴影＝S 扇形 OBD＝60×3π60×42＝83π.
8. 【答案】C 【解析】如解图，连接 OE、OF，∵AB 为⊙O 的直径，AB＝12， ∴AO＝OB＝6，∵⊙O 与 DC 相切于点 E，∴∠OEC＝90°，∵在▱ABCD 中，∠ C＝60°，AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠AOE＝∠OEC＝90°，∵在△AOF 中， ∠A＝60°，AO＝FO，∴△AOF 是等边三角形，即∠AOF＝∠A＝60°，∴∠EOF ＝∠AOE－∠AOF＝90°－60°＝30°，弧 EF 的长＝30π18×0 6＝π.
∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC=6，∠D=∠B=70°，∴OD=3. ∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，
4/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴∠DOE=40°.∴ 的长= = π.
3. 【答案】B 【解析】连接 OB、OC.
∠BOC是BC⌒所对的圆心角
11. 【答案】
2π
【解析】由题意得，正方形的边长
AB＝2，则⊙O
的半径为
2×
2 2
＝ 2，∴⊙O 的面积是( 2)2π＝2π.
12. 【答案】 9 【解析】由 n＝36l0r得 120＝360l×3，解得 l＝9.
13. 【答案】3π 【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝ 2×60°＝120° ，∵⊙O 的半径为 3，∴阴影部分的面积 S 扇形 OAB＝120×3π60×32＝3 π.
8/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
人教版 九年级数学上册 24.4 弧形和扇形面 积 同步训练（含答案）
弧形面积计算方法
弧形面积计算方法
弧形面积计算方法根据不同的弧形类型而有所不同，主要分为圆弧、扇形和梯形。
下面分别介绍不同类型弧形的面积计算方法：
1.圆弧的面积计算方法：
设圆的半径为r，圆心角为α（单位为弧度），则圆弧的面积S为：S=(α/2π)×πr²=(α/2)×r²。
2.扇形的面积计算方法：
设圆的半径为r，圆心角为α（单位为弧度），则扇形的面积S为：S=(α/2π)×πr²=(α/2)×r²。
3.梯形的面积计算方法：
设梯形的上底为a，下底为b，高为h，弧形段的长度为l，则梯形的面积S为：
S=(a+b)×h/2+l×h/2。
需要注意的是，在计算弧形面积时，圆心角的单位必须使用弧度制（1弧度=180°/π）。
如果给出的圆心角是以度数表示的，则需转换成弧度才能带入计算公式中。
专题3.8 弧长和扇形面积(专项训练)(解析版)
专题3.8 弧长和扇形面积（专项训练）1．（2021•天心区一模）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，则纸扇外边缘弧BC长为 cm．【答案】【解答】解：纸扇外边缘弧BC的长＝＝（cm），故答案为：．2．（2021•成都模拟）已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为 cm．【答案】6【解答】解：设圆的半径为rcm，则＝4π，解得，r＝6，故答案为：6．4．（2020秋•镇江期末）分针长为2厘米，经过25分钟，分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长＝ 厘米．（结果保留π）【答案】【解答】解：分针25分针旋转了30°×5＝150°，分针的外端点绕钟面轴心转过的弧长＝＝（cm），故答案为：．5．（2020秋•金寨县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则AD的长为 ．（2）该圆弧的长为 ．【答案】（1）2；（2）π．【解答】解：（1）分别作线段BA和BC的垂直平分线EF、MN，则直线EF和直线MN 的交点为D，则D为已知弧的圆心，如图，∵A（0，4），B（﹣4，4），∴OA＝4，AB＝4，∴OD＝2，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，故答案为：2；（2）连接AC、CD，∵A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），OD＝2，∴由勾股定理得：CD＝＝，AD＝＝，AC＝＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴圆弧的长度是＝π．6．（2020秋•历城区期末）如图，已知等边三角形ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作、、，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果这个曲边三角形的周长为2π，那么这个这个等边三角形ABC的边长为 ．【答案】2【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，设AB＝BC＝AC＝R，∵这个曲边三角形的周长为2π，∴++＝2π,解得：R＝2，即这个等边三角形的边长是2，故答案为：2．7．（2022•河南模拟）如图，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，且OA与地面垂直在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O 点移动的距离为 ．【答案】10πcm【解答】解：设优弧AB的长是l．根据扇形的面积公式，得l＝＝＝10π（cm）．故答案为10πcm．8．（2021秋•房山区期末）如果一个扇形的半径是1，圆心角为120°，则扇形面积为 ．【答案】【解答】解：这个扇形的面积＝＝．故答案是：．9．（2021秋•岚皋县期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB 长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．【答案】【解答】解：∵AB ＝30cm ，BD ＝18cm ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝30﹣18＝12（cm ），∴纸扇上贴纸部分的面积S ＝S 扇形BAC ﹣S 扇形DAE＝﹣＝300π﹣48π＝252π（cm 2）．10．（2021秋•梅里斯区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°．把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△AB ′C ′，若AB ＝4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．（结果保留π）．【答案】2π【解答】解：扇形BAB ′的面积是：＝，在直角△ABC 中，BC ＝AB •sin60°＝4×＝2，AC ＝AB ＝2，S △ABC ＝S △AB ′C ′＝AC •BC ＝×2×2＝2．扇形CAC ′的面积是：＝，则阴影部分的面积是：扇形BAB ′的面积+S △AB ′C ′﹣S △ABC ﹣扇形CAC ′的面积＝﹣＝2π．故答案为：2π．11．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB 为120°，弦长AB ＝2m 的弧田．（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）【解答】解：（1）∵OD ⊥AB ，OD 为半径，∴AC ＝AB ＝×2＝（m ），∠AOC ＝∠AOB ＝×120°＝60°，在Rt △ACO 中，∠OAC ＝30°，∴设OC ＝x ，则AO ＝2x ，∴x 2+＝（2x ）2，解得：x ＝1或﹣1（不符合题意，舍去），∴OA ＝2m ，∴弧田的实际面积＝S 扇形AOB ﹣S △OAB＝﹣×2×1＝（﹣）m 2，∴弧田的实际面积为（﹣）m 2；（2）∵圆心到弦的距离等于1，∴矢长为1，∴弧田面积＝（2×1+12）＝（+）m 2，∴两者之差为：﹣﹣（+）≈﹣1.7﹣1.7﹣＝0.1（m 2）．12．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）A．16πB．52πC．36πD．72π【答案】C【解答】解：如图，AB＝8，SA＝SB＝9，所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8π，由扇形面积的计算公式得，圆锥侧面展开图的面积为×8π×9＝36π，故选：C．13．（2022•遂宁）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm2【答案】C【解答】解：在Rt△AOC中，AC＝＝25（cm），所以圆锥的侧面展开图的面积＝×2π×7×25＝175π（cm2）．故选：C．14．（2022•昭化区模拟）如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得2πr＝，解得r＝2．所以这个圆锥形的高＝＝4（cm）．故选：A．15．（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（ ）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【答案】B【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr＝解得r＝9，所以圆锥的高＝＝12（cm）．故选：B．16．（2022•潜江模拟）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解答】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得×2π×3×l＝18π，解得l＝6，即该圆锥的母线长是6．故选：D．17．（2022•西山区一模）如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个扇形ABC，且经过圆心O．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）mA．2B．1C．D．【答案】C【解答】解：连接OA、OB、OC，如图，∵AB＝AO＝AC＝OB＝OC，∴△ABO和△ACO都为等边三角形，∴∠OAB＝∠OAC＝60°，∴∠BAC＝120°，设该圆锥的底面圆的半径为rm，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径为m．故选：C．18.如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OB，∵CP＝CB，OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∴∠A+∠APO＝∠CBP+∠OBA，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠CBP+∠OBA＝∠A+∠APO＝180°﹣90°＝90°，即∠OBC ＝90°，∴OB ⊥BC ，∵OB 过O ，∴直线BC 与⊙O 的位置关系是相切；（2）∵∠AOP ＝90°，∠A ＝30°，OP ＝，∴AP ＝2OP ＝2，AO ＝＝＝3，即OB ＝3，∵∠A ＝∠OBA ＝30°，∴∠AOB ＝180°﹣∠A ﹣∠OBA ＝120°，∵∠AOC ＝90°，∴∠COB ＝∠AOB ﹣∠AOC ＝120°﹣90°＝30°，∴OC ＝2BC ，由勾股定理得：OC 2＝CB 2+OB 2，即BC 2＝（2BC ）2+32，解得：BC ＝，∴阴影部分的面积S ＝S △OBC ﹣S 扇形OBD ＝3×﹣＝﹣π．。
弧长与扇形面积试题及答案
弧长与扇形面积试题及答案(共29页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-弧长与扇形面积一、选择题1．（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【考点】圆锥的计算．【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2. (2016兰州，12,4分)如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 P 旋转了 108º，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）（A）πcm (B) 2πcm(C) 3πcm (D) 5πcm【答案】：C【解析】：利用弧长公式即可求解【考点】：有关圆的计算3．(2016福州，16,4分)如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上= r下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r上=r下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．4. (2016·四川资阳)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π【考点】扇形面积的计算．【分析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，根据S阴影=S△A B C﹣S扇形C B D即可得出结论．【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，∴BC=AC•tan30°=2•=2，∴S阴影=S△A B C﹣S扇形C B D=×2×2﹣=2﹣π．故选A．5. (2016·四川自贡)圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．6. （2016·四川广安·3分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（）A．2π B．πC．πD．π【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=ED=2，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=．故选B．7.（2016吉林长春，7，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则的长为（）A．π B．π C． D．【考点】弧长的计算；切线的性质．【专题】计算题；与圆有关的计算．【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出的长即可．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，在四边形APBO中，∠P=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=2，∴的长l==π，故选C【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．8.（2016·广东深圳）如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为（ ）A.42-πB.84-πC.82-πD.44-π 答案：A考点：扇形面积、三角形面积的计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弧长和扇形面积
一、选择题
1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）
A．228° B．144° C．72° D．36°
3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，•从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）
A．．．3
二、填空题
1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．
2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，•所得圆柱体的表面积是__________（用含 的代数式表示）
3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．
三、综合提高题
1．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，•需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：
（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）
（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？
2．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，•求圆锥全面积．
3．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm•的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，•求这个几何体的表面积．
答案:
一、1．D 2．C 3．C
二、1．πr2+πrL 2．1 30πcm2 3．158.4
三、1．（1）2400πcm2（2）
2．48πcm2
3．S
表=S
柱侧
+S
柱底
+S
锥侧
=2π×3×4+π×32+π×3×5=24π+9π+15π=48πcm2．。