高一数学 第三章教案复习课 人教A版必修4
二倍角的正弦、余弦、正切公式第一课时教案-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.3人教A版
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式一、学习目标 1.知识与技能(1)掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. (2)能用两角差的余弦公式化简、求值.(重点) 2.过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.3.情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力.二、教学重点难点重点：灵活运用两角差的余弦公式. 难点：用向量推导两角差的余弦公式. 三、专家建议通过对两角差的余弦公式的推理，变形应用的学习，以及两角差的余弦公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结 五、教学过程 ●课堂探究知识点 两角差的余弦公式 【问题导思】1.单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β). OA →与OB →的夹角是α－β.2.你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3.根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 两角差的余弦公式●典例剖析类型1 运用公式求值例1.求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解. (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.【总结提升】1.两角差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.【变式训练】求值：cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.【解】cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝1 2.类型2 给值求值例2.设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值.【思路探究】由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦.只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围.用两角和与差的三角函数公式展开即得结论. 【自主解答】∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2.又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.【总结提升】1.利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.2.在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 2α＝[(β＋α)－(β－α)]等. 【变式训练】α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值. 【解】∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 类型3 给值求角例3.已知α，β均为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值.【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值.再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值.【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.【总结提升】解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围； (3)根据角的范围写出所求的角.特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内.【变式训练】已知sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，求cos(α-β)的值.【解】∵sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫162＝356，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.∴cos(α-β)＝cos αcos β+sin αsin β＝356×13+16×223＝.●课堂小结对公式C (α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α，β视为一个“代号”，将公式记作cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.(2)公式C(α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.②把所得的积相加.六、板书设计两角差的余弦公式七．当堂检测1.(2014·天水高一检测)cos 15°＝()A.6－22 B.6＋22C.6－24 D.6＋24【解析】cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，故选D.【答案】 D2.(2014·乐清高一检测)化简sin(x＋y)sin(x－y)+cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A.sin 2xB.cos 2yC.－cos2yD.－sin 2x【解析】原式＝cos[(x＋y)-(x－y)]＝cos 2y，故选B.【答案】 B3.(2014·青岛高一检测)已知sin θ＝－513，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 【解析】 ∵sin θ＝－513且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos θ＝－1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θ·sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－1213＝－17226.【答案】 －172264.已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值. 【解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.。
高中数学 3.1.1两角差的余弦公式(讲)新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学教案
设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。
设角 终边与单位圆地交点为P1， 。
过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。
过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C
那么OA表示 ，AP表示 ，并且
（1） ；（2）
（让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。）
解：由 ，得
又由 ， 是第三象限角，得
所以
让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。
变式训练：
（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用.
2.求值
3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧
（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
（四）发导学案、布置预习
本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4
3.1.1两角差的余弦公式(讲)
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
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第三章 三角恒等变换复习-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)
第三章 三角恒等变换知识④思维导图专题④综合串讲专题1三角函数式的求值【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin （2α＋β），4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值. 【分析】 本题主要考查三角函数式的恒等变换及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sin β＝sin （2α＋β）展开后求α＋β的正切值.【解】∵3sin β＝sin （2α＋β），即3sin （α＋β－α）＝sin （α＋β＋α），整理得2sin （α＋β）cos α＝4cos （α＋β）sin α.即tan （α＋β）＝2tan α.又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12， tan （α＋β）＝2tan α＝2×12＝1. 又0＜α＜π4，0＜β＜π4， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β＝π4. 【方法总结】三角函数式求值的类型与方法三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角.1. 给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2. 给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用.由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点.3. 已知三角函数值求角问题，通常分两步：（1）先求角的某个三角函数值（由题中已知名称和范围确定），确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定；（2）根据角的范围确定角及角的范围.必要时，可利用值缩小角的范围.几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【变式训练1】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 【解】 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 专题2三角函数式的化简【例2】化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类.或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数. 【解】解法一：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 解法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. ,【方法总结】三角函数式化简的分类与解题技巧1.三角函数式的化简，主要有以下几类：（1）三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2）三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；（3）二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简.2. 化简三角函数式时:（1）若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；（2）若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分.【变式训练2】化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. 【解】原式＝sin αcosπ4＋cos αsin π4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22. 专题3三角恒等式的证明【例3】求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 【分析】本题主要考查二倍角公式及其变形应用，因等式右端为tan x 2，故可将左边的角4x ，2x ，x 化为x 2的形式. 【解】∵左边＝2sin 2xcos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2x 2＝2sin 2x·cos 22x·cos x 2cos 22x·2cos 2x·2cos 2x 2＝sin 2x 2cos x·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x 2＝右边， ∴等式成立.【方法总结】三角函数等式的证明策略三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明.【变式训练3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .【证明】∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 专题4三角函数与平面向量的综合应用【例4】设a ＝（1＋cos α，sin α），b ＝（1－cos β，sin β），c ＝（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值. 【分析】 利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角函数知识得出角之间的关系.【解】 由题意知|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2， |b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1. 又a·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b·c ＝1－cos β＝2sin 2β2， ∴cos θ1＝a·c |a||c|＝cos α2，cos θ2＝b·c |b||c|＝sin β2. ∵α∈（0，π），∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ1＝α2. 又β∈（π，2π），∴β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0<β2－π2<π2. 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2. 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫β2－π2＝π6， ∴α－β2＝－π3，∴α－β4＝－π6. ∴sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 【方法总结】三角函数与平面向量的解题策略三角函数与平面向量相结合包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简、求值.【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. （1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】（1）∵m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），且m ⊥n ， ∴m ·n ＝（22，－22）·（sin x ，cos x ）＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1. （2）由（1）知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4（22）2＋（－22）2·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换 章末整合
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
【例 2】 求值:sin 50°· (1+ 3tan 10°). 解 :方法一 :原式 =sin 50° 1 + 3 =sin 50° · =sin 50° · =sin 50° ·
cos60 °cos10 °
=
1 cos10 2
°
=
cos10 °
=1.
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
迁移应用 2 A.1 tan28 °
sin2 002°sin2 008°-cos6 °
sin2 002°cos2 008°+sin6 ° 1
的值是
(
)
B.
C.-tan 28° 答案 :A 解析 :原式 = =
预习新知
导学探究
触类旁通
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
专题一
三角函数式的化简
三角函数的化简,主要有以下几类:(1)对三角的和式,基本思路是降幂、消项和 逆用公式;(2)对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成 整式或数值;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现 的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”; 角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
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人教版高中数学高一A版必修4教学设计 第三章复习
教学设计本章复习本章知识网络教学分析理解领会新课标的编写意图．新课标中三角函数部分共分三个板块完成：必修4《三角函数》、《三角恒等变换》、必修5《解三角形》，本章是第二个板块；其中三角函数模型是主线，三角变换是关键．三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变换思想主要是：①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝A sin(ωx＋φ)；②化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如a sinθ＋b cosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可)．高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面：一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变换，包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想，利用向量的工具性，灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、相互联系的．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们一起又探究学习了第三章简单三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？对三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课知识回顾提出问题①列出本章所学的11个公式，回顾、思考并回答：推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变换的能力有什么帮助？②三角函数的变换灵活性大、方法多，回顾从前所学，三角变换都有哪些变换？③如果对三角函数变换题型进行归类，那么回顾从前所学，常见的基本题型有哪些？活动：问题①，本章的11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用－β代替β，α＝β等换元法就可以推导出其他公式．见下表：联想与代数运算的相同与不同之处；三角函数的恒等变换，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变换成另一个与它等价的表达式．三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅有三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．问题②，教师引导学生回顾总结，在学生探索时适时点拨，常见的变换有：(1)公式变换，数学公式变换的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)，1＝tan αtan β＋tan α＋tan βtan (α＋β)， 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α等．(2)角的变换，角度变换是三角函数恒等变换的首选方法，在进行三角恒等变换时，对角之间的关系必须进行认真的观察联想，分析角之间的和、差、倍、分关系．在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角；熟悉两角互余、互补的各种形式；或者引入辅助角进行角的变换等．如：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)；π6＋α＝π2－(π3－α)等． 还需熟练掌握一些常见的式子：如：sin x ±cos x ＝2sin(x ±π4)，sin x ±3cos x ＝2sin(x ±π3)等． 问题③，教师引导学生回顾总结，适时的点拨学生，常见三角恒等变换的基本题型有求值、化简、证明．对于求值，常见的有给角求值、给值求值、给值求角.1°给角求值的关键是正确地分析角之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；2°给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；3°给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．对于化简，有两种常见的形式：1°未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；2°根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和有附加条件恒等式的证明.1°无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用.2°有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．讨论结果：①～③略．应用示例思路1例1(1)化简tan2A tan(30°－A)＋tan2A·tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；(2)已知α为锐角，且tanα＝12，求sin2αcosα－sinαsin2αcos2α的值．活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这类问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是“弦”且是“和差角”，而条件是“切”且是“单角”．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝tan(30°－A)＋tan(60°－A)1－tan(30°－A)tan(60°－A)，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2A tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.(2)原式＝2sin αcos α·cos α－sin α2sin αcos α·cos2α＝sin α(2cos 2α－1)2sin αcos α·cos2α＝cos2α2cos α·cos2α＝12cos α. ∵tan α＝12，又α∈(0，π2)，即2sin α＝cos α. 又由sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝25. ∴sin2αcos α－sin αsin2αcos2α＝54. 点评：本题主要回顾了和差公式、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两问的解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法.例2已知α、β∈(0，π4)，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这一点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α、β∈(0，π4)，∴0<α＋β<π2. ∴cos(α＋β)≠0，cos α≠0.∴tan(α＋β)＝2tan α.由4tan α2＝1－tan 2α2， 得4tan α21－tan 2α2＝1， 即得2tan α＝1，代入tan(α＋β)＝2tan α，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2例1已知θ∈(π2，π)，2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，求tan θ和sin(2θ＋π3)的值． 活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必要运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可以说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．解：∵2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，∴cos θ≠0.∴上式两边同除以cos 2θ，得tan 2θ＋tan θ－2＝0.解得tan θ＝－2〔∵θ∈(π2，π)，∴舍去tan θ＝1〕． ∴sin(2θ＋π3)＝sin2θcos π3＋cos2θsin π3＝sin θcos θ＋32(2cos 2θ－1) ＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32 ＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32 ＝－4＋3310. 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ，cos θ的值，再代入得解，也是一种不错的思路.课本复习参考题A组2、4.课堂小结1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式，主要是和角公式、差角公式、倍角公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．作业课本复习参考题A组3.设计感想1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械的训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套题型．第2课时导入新课思路1.请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的11个公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数恒等变换问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．思路 2.教师开始就提出以下问题让学生探究：(1)不查表求sin 220°＋cos 280°＋3cos20°cos80°的值；(2)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课．推进新课知识巩固根据上节复习的知识方法，请解答以下问题：1．设α、β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.154π B.5π4C.7π4D.5π4或7π4答案：C 注意选用α＋β的余弦．2．已知a ＝(sin α－cos α，2 007)，b ＝(sin α＋cos α，1)，且a ∥b ，则tan2α－1cos2α等于( ) A ．－2 007 B ．－12 007C ．2 007 D.12 007答案：C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( ) A.17B ．7C ．－17D ．－7答案：A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决．4．已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值． 答案：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，得sin (π4＋θ)cos (π4＋θ)＋sin (π4－θ)cos (π4－θ)＝sin (π4＋θ＋π4－θ)cos (π4＋θ)cos (π4－θ)＝1(cos π4cos θ)2－(sin π4sin θ)2＝2cos 2θ－sin 2θ＝4，则cos2θ＝34. ∵－π<θ<－π2，∴cos θ＝－32，sin θ＝－12，sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ＝14－2·32·12－34＝－1＋32. 活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨．三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各地市在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较高的知识点，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式或其变形式．应用示例思路1例1若cos(π4－x )＝－45，5π4<x <7π4，求sin2x －2sin 2x 1＋tan x.活动：本例是课本总复习B 组题中的一道姊妹题，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(π4－x )的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(π4－x )这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．解：sin2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x ＝sin2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin2x 1－tan x 1＋tan x ＝sin2x tan(π4－x )＝cos(π2－2x )tan(π4－x )＝[2cos 2(π4－x )－1]tan(π4－x )．∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos(π4－x )＝－45，∴sin(π4－x )＝35，tan(π4－x )＝－34.∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用，这里就是应用了正切和角公式的逆用，而且还是很重要的一步.例2已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin 2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sin α的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一，由倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，得4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0⇔2cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0⇔2cos 2α(2sin α－1)·(sin α＋1)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0.∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法二：由题设，得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0， 即(sin2α＋2cos α)(sin2α－cos α)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin2α＋2cos α≠0.∴sin2α－cos α＝0.∵cos α≠0，∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法三：由题设，得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，将其看成关于sin2α的一元二次方程，得sin2α＝－cos α±cos 2α＋8cos 2α2＝－cos α±3cos α2，∴sin2α＝－2cos α或sin2α＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴sin2α≠－2cos α.∴sin2α＝cos α(以下同方法二)．点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识的基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标.例3已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x ·cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域为[0，π2]，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．活动：本题是一道经典三角综合题，属于结合三角函数性质运用的综合性中档题目．教师引导学生思考，对于涉及三角函数值域等性质问题时，首先应考虑将函数化为一角一种函数形式，本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y ＝a sin x ＋b cos x 型的函数，再应用y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba，然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．解：f (x )＝a (1－cos2x )－3a sin2x ＋a ＋b ＝－a (cos2x ＋3sin2x )＋2a ＋b ， ＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]．∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1.因此，由f (x )的值域为[－5,1]，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，使多数考生能较轻松的完成．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.例1已知tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，(1)求tan α的值； (2)求sin2α－2cos 2α2sin (α－π4)的值．活动：三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全放给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，得1＋tan α1－tan α＝－12，解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2sin (α－π4)＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α，∵π2<α<π，且tan α＝－3， ∴cos α＝－1010. 即原式的值为－105. 点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么位置，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强但难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β的关系，由θ1－θ2＝π6，求得α－β2，进而求得sin α－β2的值．解：由题意知a ＝2cos α2(cos α2，sin α2)，b ＝(2sin 2β2，2sin β2cos β2)＝2sin β2(sin β2，cos β2)，∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)， ∴α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)． 故|a |＝2cos α2，|b |＝2sin β2.cos θ1＝a ·c |a ||c |＝2cos 2α22cosα2＝cos α2，∴θ1＝α2.cos θ2＝b ·c |b ||c |＝2sin 2β22sinβ2＝sin β2＝cos(β2－π2)，∵0＜β2－π2＜π2，∴θ2＝β2－π2.又θ1－θ2＝π6，∴α2－β2＋π2＝π6.∴α－β2＝－π3.∴sinα－β4＝sin(－π6)＝－12. 点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题，与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美.课本复习参考题A 组7、8、13.课堂小结1．由学生回顾总结，通过本节课的复习对三角函数知识方法的整合达到高考要求了吗？对三角函数、平面向量、三角恒等变换有哪些新的认识？2．教师画龙点睛，点出处理三角函数及恒等变换问题，重在正确、熟练地运用三角公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅正用，还要逆用、变形用；在运用相关公式时，注意观察角之间的关系，认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征．更重要的是学会具体问题具体分析的科学方法．作业布置课本复习参考题A 组9、10.设计感想1．本教案的设计流程符合新课标精神，设计的理念是想让学生充分体验学习探究的全过程，并且引导学生主动参与、积极探究学习的全过程，让学生在探究中感知数学，锻炼思维，在思考中培养、发展创新思维和实践能力．这是比学习数学知识更重要的．2．作为本模块的最后课时，本教案设计的题目都带有一定的综合性，但难度都不大，没有超出高考考试大纲的要求，目的是想让学生“温故知新”，而且综合前两章的内容进行三角函数的综合探究更有利于学生智能发展，也是高考的命题要求所在．3．通过探究设置的问题，启迪学生的想象力，引发学生学习的兴趣，激励学生探索欲望，使之养成勇于攀登、不怕困难的良好习惯和求实的科学态度，这正是我们数学教师努力的方向．备课资料一、备选习题1．f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间[0，π2]上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3答案：C ∵f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1.∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]．。
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
新课标高中数学人教A版必修四全册教案第三章三角恒等变换复习(三)
第三章 三角恒等变换复习（三）教学目标：1. 综合运用知识解决相关问题.
2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.教学重点：运用知识解决实际问题
教学难点：建立函数关系解决实际问题.
教学过程
一、作业讲评
《习案》P.192的第3题 .cos ,02,534sin )3sin(.1=<<--=++ααπαπ
α则且
《习案》P.194的第6题
已知函数.2.1cos )6sin()6sin()(的最大值为a x x x x f ++-++
=ππ .
0)()2(;)1(的取值集合成立的求使的值求常数x x f a ≥
《习案》P.196的第5题
.
)(,6,4,2)(},,2|{,cos sin )(.3想的取值范围作出一个猜取一般值时进而对时的取值情况在利用三角变换估计设αααααf x x f N k k n n x f x x =∈=∈+=+
二、例题分析
1. 已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且A 点到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2 . B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ，求△ABC 面积的最小值.
2. 如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边AB ，DA 上的点.当△ABC 的周长为2时，求∠PCQ 的大小.
.tan 4cos 2cos 434cos 2cos 43)2(;sin sin )2cos(2sin )2sin()1(.34A A A A A =+++-=+-+α
ββααβα证明：
三、课后作业
《学案》第三章单元检测卷.。
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《三角恒等变换》复习课（2个课时）
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2
π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
你能根据下图回顾推导过程吗？
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030
tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。
例题
例1 已知sin （α+β）=32，sin （α-β）=51，求β
αtan tan 的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=
2
π。
例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。
若水渠断面面积设计为定值m ，渠深8米。
则水渠壁的倾角α应为多少时，方能使修建的成本最低？
分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为α和横断面的周长L 之间建立函数关系，求函数的最小值
8 A E D B C。