第三章 分离变量法
分离变量法使用条件
分离变量法使用条件分离变量法是一种常用的微积分方法，可以用于解决常微分方程和偏微分方程等问题。
然而，这种方法并不是适用于所有情况的。
今天，我们来讨论一下分离变量法使用的条件。
首先，我们需要了解一下什么是分离变量法。
简而言之，这种方法就是把含有多个变量的方程，变换成只含有一个变量的形式。
之后，我们再通过积分等方法，求解出所需要的解。
这种方法适用于很多种类型的微分方程，比如指数型、三角函数型、双曲函数型等。
接下来，我们来看一些分离变量法使用的条件：1. 方程必须是齐次的如果方程不是齐次的，我们就需要进行变量代换才能应用分离变量法。
变量代换也是一种常见的微积分方法，在这里不做详细讲解。
2. 方程必须是线性的线性方程是指各项次数的系数都为常数的方程，比如：y’’+2xy’+x²y=0。
这种类型的方程同样可以通过分离变量法来求解。
3. 方程必须是可分离的可分离的方程是指可以通过变形，将含有多个变量的方程拆分成只有一个变量的形式。
比如：y’=x+y，可以变形为：y’-y=x。
通过这种变形，我们就可以很容易地将方程进行分离。
4. 方程必须满足某些特定条件有一些微分方程，即使是满足上述条件，也不能应用分离变量法。
比如：y’=f(x,y)。
这种方程需要使用其他的方法来求解。
综上所述，分离变量法虽然应用广泛，但是并不是适用于所有情况的。
在使用分离变量法之前，我们需要仔细分析方程的类型，确定它是否满足分离变量法的条件。
只有在条件满足的情况下，分离变量法才能够有效地帮助我们求解微分方程。
分离变量法
第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ ① 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。
求解这样的方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
所谓),(t x u 具有分离变量的形式，即)()(),(t T x X t x u =把)()(),(t T x X t x u =带入方程①中，可得到常微分方程定解为：),(t x u ＝∑∞=1),(n n t x u ＝l x n l t an D l t an C n n n πππ∑∞=+1sin )sin cos (其中：⎰=l n dx l x n x l C 0sin )(2πϕ，⎰=l n dx lx n x an D 0sin )(2πφπ 2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。
(二) 确定特征值与特征函数。
(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。
3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，比热为c ，热传导系数为k ，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为0k ，已知杆上的初温分布为)(x ϕ，求杆上温度的变化规律，也就是要考虑下列问题：0,0,22222><<∂∂=∂∂t l x xu a t u (2.18) 0),(,0),0(=+∂∂=t l hu xt l u t u ），（ (2.19) )()0,(x x u ϕ= (2.20) 其中ρc k a =2，00>=k k h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
第三节分离变量法
θ
−
1)
P3(cos θ)
=
1 (5 cos3 2
θ
−
3 cos θ)
·········
罗德利格(Rodrigues)公式
其
Pn(cos θ)
=
1 2nn!
dn d(cos θ)n
cos2 θ − 1 n
性
§ 3.5 例一
§ 3.5 例一
【问题】 电容率为ε的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。
d dθ
(sin
θ
dΘ dθ
)
+
1 Φ sin2
θ
d2Φ dφ2
=
−n(n +
1)
(2)
式(2)两端乘以sin2 θ可得：
sin θ Θ(θ)
d dθ
(sin
θ
dΘ dθ
)
+ n(n
+
1) sin2 θ
=
−
1 Φ
d2Φ dφ2
=
m2
关于Φ(φ)的方程及其解：
1 Φ
d2Φ dφ2
=
−m2
Φ(φ) = Cm sin(mϕ) + Dm cos(mϕ)
ϕ(r,
θ,
φ)
=
(anmrn
n,m
+
bnm
1 rn+1
)Pnm(cos
θ)
cos(mφ)
+
(cnmrn
n,m
+
dnm
1 rn+1
)Pnm(cos
θ)
sin(mφ)
§ 3.3 拉普拉斯方程的通解
★ 拉氏方程在球坐标中的通解为
第三章 分离变量法
p 4q r1, 2 , 2 (1) 有两个不相等的实根 ( p 2 4q 0) r 1 , r2
特征根
2
p
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
r2 x
y C1e
r1 x
C2e ;
第三章 分离变量法
分离变量法是求解偏微分方程最基本和 常用的方法。
理论依据：线性方程的叠加原理和 Sturm-Liouville 理论。 基本思想：将偏微分方程的求解化为相 应的常微分方程的求解.
主要内容
预备知识－常微分方程 带有两个第一(二)类齐次边界条件的齐次方程的问题 带有第三类齐次边界条件的齐次方程的问题 极坐标系下的变量分离法 非齐次问题的处理
r2 x
3.0 预备知识－常微分方程
(2) 有两个相等的实根 特解为
r1 x
( p 2 4q 0)
r 1x
r1 x
y1 e , y2 xe
齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
;
(3) 有一对共轭复根
特征根为 特解为
r1 i , r2 i , x x y1 e cos x, y2 e sin x,
( p 2 4q 0)
齐次方程的通解为 y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
3.0 预备知识－常微分方程
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
球坐标系中的分离变量法步骤
球坐标系中的分离变量法步骤1. 引言球坐标系是一种常用的三维坐标系，它描述了三维空间中的点的位置。
在物理学、数学和工程学等领域中，球坐标系经常用于描述球对称问题的解决方案。
而球坐标系中的分离变量法是一种重要的数学工具，用于解析球坐标系中的微分方程。
本文将介绍球坐标系的基本概念，并详细探讨球坐标系中的分离变量法的步骤和应用。
2. 球坐标系的基本概念球坐标系由径向距离（r），极角（θ）和方位角（φ）三个参数组成。
其中，径向距离表示点到原点的距离，极角表示与正半轴（通常为x轴）之间的夹角，而方位角表示与x轴之间的夹角。
在球坐标系中，点的位置可以通过如下公式表示：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，x、y、z分别代表点在直角坐标系中的坐标。
3. 球坐标系中的分离变量法步骤球坐标系中的分离变量法用于解析球坐标系中的微分方程。
其主要步骤如下：3.1. 确定问题的边界条件首先，需要确定问题的边界条件。
边界条件指定了问题的边界上点的特定值或导数值，这些条件是微分方程求解的一部分。
3.2. 将微分方程转化为球坐标系的形式将要求解的微分方程转化为球坐标系中的形式。
这通常需要将直角坐标系中的微分算子通过适当的变换转换为球坐标系中的形式。
3.3. 假设分离变量的形式假设球坐标系的解可以表示为一系列的分离变量的乘积形式。
这意味着解可以写成：u(r, θ, φ) = R(r) * Θ(θ) * Φ(φ)其中R(r)、Θ(θ)和Φ(φ)分别是关于r、θ和φ的函数。
3.4. 将分离变量代入微分方程将分离变量代入微分方程，并将公式中的对各个变量的偏导数分离开。
这将导致形如下式的一组常微分方程：1/R * (d/dr (r^2 * dR/dr)) + 1/Θ * (1/sinθ * d/dθ (sinθ * dΘ/dθ)) + 1/Φ* d^2Φ/dφ^2 + k^2 * RΘΦ = 0其中k是一个常数。
分离变量法3
0 xa X X 0, X (0) X (a) 0
0 xa X X 0, X (0) X (a) 0
2 0
X 2 X 0
X (0) A B 0 A B0
X Ae x Be x X (a) Aea Be a 0 X 0
2 a n C n Dn ( x) cos xdx 0 a a
Cn e
nb a
Dn e
nb a
2 a n ( x) cos xdx a 0 a
Cn
nb 2 a n a ( x ) e ( x ) cos xdx 0 a a
n n , n 1,2,3, a n X n Bn sin x y a n
e
a y
2
Y Y 0
n 2 2 Yn 2 Yn 0 a
n y a
e Yn Cn
n y a
e Dn
n y a
e Dn
n y a
e Yn Cn
e Dn
n y a
n n n n y y y y n n a a a a un X nYn Cn Bn e Dn e cos x Cn e Dn e cos x a a
n n y y n a a sin u un x Cn e Dn e a n 1 n 1
n n y y n a a sin u x Cn e Dn e a n 1
u ( x,0) ( x) C n Dn sin
第3讲分离变量法
第3讲 分离变量法今天的主题是1. 继续学习如何求解静电学问题2. 详细说明边界条件3. 计算导体面电荷4. 二维和三维几何的分离变量法5. 用分离变量法解题示例边界条件1. 目的是要解下述方程2. 典型问题如下3. 算符2∇是二阶导数。
因此需要“两个”边界条件。
4. 对第一种情形，我们可以令在导体上常数==0φφ，并要求解在整个闭合体积上有限。
5. 对第二种情形，我们令00)(φφ=S 和11)(φφ=S 。
6. 对于非良导体表面，我们规定曲面要么具有)(S φ，要么是)(S φ∇∙n 。
如果我们选定)(S φ∇∙n ，我们就必须规定φ 在体积内每个点的值以便确定能够加到电势上的任意常数。
7. 下面是你最不想遇到的情形：8. 一般来说，你不可能通过规定单一曲面上的)(S φ和)(S φ∇∙n 然后解真空区域的拉普拉斯方程来确定体积内的未知电荷密度。
9. 这个问题具有病态边界条件，将导致误差指数型增大。
10. 这里有一个一维的例子。
令z x z x i e )(),(φφ=，于是，φφφ-''=∇2。
现在解11. 现在假定在规定边界条件时有一小误差，那么解会有什么变化呢？12. 我们注意到，解的指数增长部分正是来自于误差项。
计算良导体的面电荷1. 考虑如下问题：2. 导体表面附近的条件是：3. 现在，化简各项4. 注意到n = –n 2是指向外的法向量。
现在利用等式代换即可得到用电势表示的面电荷密度：分离变量法——理论1. 分离变量法是解满足拉普拉斯方程的一类相当一般问题的好方法。
其主要局限性在于它只对能够找到分离解的相当简单的几何情形才是有效的。
2. 关键问题是：不管什么几何情形，分离解要满足拉普拉斯方程。
然而，如果实际问题的边界条件不与分离函数在其上为常数的周线重合，那么一般来说，分离变量法是不起作用的。
下一讲我们还将更多地讨论这个重要问题。
3. 下面，我们来讨论几种（不是全部）几何情形下的分离变量法的使用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。 若取λ＝k2 ，同理可得到
( x, y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
[ A sinh(k x B
n 1 n n
n
cosh(kn x )][Cn sin(kn y ) Dn cos(kn y )]
电磁场与电磁波
n 1
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
6
将所有可能的 (x, y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即
( x, y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
[ A sin(k x) B
n 1 n n
n
cos(kn x)][Cn sinh(kn y ) Dn cosh(kn y )]
本节内容
3.6.1 分离变量法解题的基本原理 3.6.2 直角坐标系中的分离变量法 3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法
3.6.4 球坐标系中的分离变量法
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.6.1 分离变量法解题的基本原理 分离变量法是求解边值问题的一种经典方法 特点：把求解偏微分方程转化为求解常微分方程。 基本思想：首先把待求的位函数表示成几个未知函数的乘 积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数，然后代入 到偏微分方程进行变量分离，将原偏微方程分离为几个常微分 方程，再求出常微分方程的解，并把他们线性地组合起来，就 构成了位函数的通解，最后由边界条件确定其中的待定常数。 理论依据：惟一性定理
函数的通解应取为
o
a
x
因 (0 , y)＝0、 (a , y)＝0，故沿x轴方向为周期函数，所以位
( x, y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
[ A sin(k x) B
n 1 n n
n
cos(kn x)][Cn sinh(kn y ) Dn cosh(kn y )]
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
8
例3.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属
槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计
算此导体槽内的电位分布。 解：本题数学模型为
y
b
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y ) 0, (a, y ) 0 (0 y b) ( x, 0) 0, ( x, b) U 0 (0 x a)
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
( x,0) 0
nπx An Dn sin( )0 a n 1
Dn 0
nπx nπy nπx nπy ( x, y ) AnCn sin( )sinh( ) An sin( )sinh( ) a a a a n 1 n 1
( x, b) U 0
nπb nπx sinh( An )sin( ) U0 a a n 1
nπx ) 展开为傅里叶级数，即 将U0 在（0, a）上按 sin( a U0
n 1
4U 0 n 1,3,5, 2U 0 2 a nπx )dx [1 cos(n )] nπ 其中 f n 0 U 0 sin( a a n n 2, 4, 6, 0
nπx f n sin( ) a
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
由
nπx nπb nπx sin( An )sinh( ) U 0 f n sin( ) a a a n 1 n 1
4U 0 fn π b/ a ) A 'n nπsinh( n nπb sinh( ) 0 a
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
确定待定系数
(0, y) 0
B0 (C0 y D0 ) Bn [Cn sinh(kn y ) Dn cosh(kn y )] 0
n 1
B0 0, Bn 0
( x, y ) A0 x(C0 y D0 ) An sin(kn x)[Cn sinh(kn y ) Dn cosh(kn y )]
注意：当边界面与某一坐标系统的坐标面重合或平行时， 才易选用分离变量法求解静态场的边值问题，否则会使问题 变得非常复杂。所以坐标系的选择也非常重要的
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
3.6.2 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为
2 2 0 2 2 x y 将 (x, y) 表示为两个一维函数 X( x )和Y( y )的乘积，即
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
7
解形式的判断：
若在某些坐标平面上（例如x=C平面），边界条件可看成是
周期性的，则相应的常微分方程的特征根必为纯虚数，其解
应为三角函数形式。 若在某些坐标平面上，边界条件是非周期性的，则相应的常 微分方程的特征根必为纯实数，其解应选双曲函数。 若位函数与某一坐标变量无关，则其解为常数。 若特征根为零，其解应为线性函数。
n 1
( a, y ) 0
A0 a(C0 y D0 ) An sin(kn a)[Cn sinh(kn y ) Dn cosh(kn y )] 0
n 1
A0 a 0, An sin(kn a) 0
A0 0,sin(kn a) 0
nπ A0 0, kn a nπx nπy nπy ( x, y ) An sin( )[Cn sinh( ) Dn cosh( )] a a a n 1
故得到
n 1,3,5, n 2,4,6,
( x, y)
n 1,3,5,
4U 0 nπx nπy sin( )sinh( ) nπsinh(nπb / a) a a
线电流对磁介质分界面
l l , b h a l R ln 2 R
2
2
2 1 I I , h h 2 1 2 1 I I , h h 2 1
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
3.6 分离变量法
( x, y) X ( x)Y ( y)
将其代入拉普拉斯方程，得
d 2 X ( x) d 2Y ( y) Y ( y) X ( x) 0 2 2 dx dy 再除以 X( x ) Y( y ) ，有 1 d X ( x) 1 d Y ( y) 2 2 X ( x) dx Y ( y) dy
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值电荷对接地导体柱面 点电荷对电介质分界面
l l ,
a2 d d
两个平行圆柱导体
1 2 q q, h h (介质1场点) 1 2 1 2 q q, h h (介质2场点) 1 2
2 2
分离常数
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
5
若取λ＝－k2 ，则有
d X ( x) 2 k X ( x) 0 2 dx
当 k 0
2
d 2Y ( y ) 2 k Y ( y) 0 2 dy
X ( x) A0 x B0
Y ( y) C0 y D0
( x, y) X ( x)Y ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
当
k 0
X ( x) A sin(kx) B cos(kx)
Y ( y) C sinh(ky ) D cosh(ky )
通常 k 可为一系列特定值 kn (n 1, 2,...) 所以
( x, y ) ( An sin(kn x) Bn cos(kn x ))(Cn sinh(kn y ) Dn cosh(kn y ))