高中数学人教B版必修4 3.1.2两角和与差的正弦 学案 Word版缺答案
高二数学人教版必修4学案：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含解析
3.1.2 两角和与差的正弦明目标、知重点 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质.1.两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.2.两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.S α－β：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.3.辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)成立时，cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定.[情境导学]从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β出发，你能推导出两角和与差的正弦公式吗？探究点一 由公式C α－β推导公式S α＋β及S α－β思考 利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？答 sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.探究点二 两角和与差的正弦、余弦公式的应用例1 化简求值：(1)sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )sin(x －18°)；(2)(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°. 解 (1)原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°)＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x )＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝22. (2)(tan 10°－3)cos 10°sin 50°＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 反思与感悟 解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.跟踪训练1 (1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x ).解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12. (2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1.例2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α的值. 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin β＝－210，∴cos β＝7210. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×7210＋35×⎝⎛⎭⎫－210＝22. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝π4. 反思与感悟 此类是给值求角题目，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.跟踪训练2 已知sin α＝35，cos β＝－513，α为第二象限角，β为第三象限角.求sin(α＋β)和sin(α－β)的值.解 ∵sin α＝35，α为第二象限角，∴cos α＝－45. ∵cos β＝－513，β为第三象限角，∴sin β＝－1213. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝3365. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－513－⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝－6365. 例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.证明 sin(2α＋β)＝3sin β⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α⇒tan(α＋β)＝2tan α.反思与感悟 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异.跟踪训练3 证明：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 证明 sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β) ＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin βsin α. 故原式得证.探究点三 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)思考1 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2. (1)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； (2)sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4； (3)3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (4)3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6； (5)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (6)sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 思考2 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程.答 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2).例4 化简下列各式： (1)315sin x ＋35cos x ； (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝⎛⎭⎫cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫712π－x . 反思与感悟 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝b a确定.研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质都要用到该公式.跟踪训练4 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间.解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]. (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).1.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A.－12B.12C.32 D.－32答案 A解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°) ＝－12.2.在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于() A.255 B.－255C.55D.－55答案 A解析 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010＝255.3.函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是 .答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2].4.试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sin α－cos α；(2)3sin α＋cos α；(3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)3sin α＋4cos α.解 (1)sin α－cos α＝2(22sin α－22cos α) ＝2(sin αcos π4－cos αsin π4) ＝2sin(α－π4). (2)3sin α＋cos α＝2(32sin α＋12cos α) ＝2(sin αcos π6＋cos αsin π6) ＝2sin(α＋π6). (3)方法一 原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝22. 方法二 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. (4)3sin α＋4cos α＝5(35sin α＋45cos α) ＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ)).其中cos φ＝45，sin φ＝35(或sin θ＝35，cos θ＝45) [呈重点、现规律]1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――――→以－β换βcos(α＋β)――――――――→以π2－(α＋β)换α＋βsin(α＋β)――――→以－β换βsin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式.对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”.对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”.2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.一、基础过关1.函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x ＋π3)的最小正周期和最大值分别为( ) A.π，1B.π， 2C.2π，1D.2π， 2答案 A解析 f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，f (x )max ＝1.2.已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( ) A.0B.0或2425C.2425D.0或－2425 答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 3.已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A.－1B.0C.1D.±1答案 D解析 ∵cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( ) A.1B.2C.1＋ 3D.2＋ 3 答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2. 5.在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A.直角三角形B.正三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形答案 C解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6.化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是 . 答案 cos α解析 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 7.化简求值： (1)sin(π4－3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )； (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；(3)sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°. 解 (1)原式＝cos[π2－(π4－3x )]cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos(π4＋3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos[(π4＋3x )＋(π3－3x )]＝cos(π4＋π3)＝cos π4cos π3－sin π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64. (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.(3)∵sin 27°＝sin(45°－18°)，cos 27°＝cos(45°－18°)，∴原式＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°cos 45°cos 18°＝tan 45°＝1. 二、能力提升8.在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( ) A.－3365 B.3365 C.－6365 D.6365答案 B解析 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213. ∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 9.函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为 . 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.10.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是 . 答案 137解析 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15， ∴sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 11.已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值. 解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 12.已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4) ，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ). 解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32， ∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64. 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.。
学案6：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式学习目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)基础·初探教材整理1两角和与差的余弦公式预习自测1.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．教材整理2两角和与差的正弦公式1．公式y＝a sin x＋b cos x＝____________sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________．预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()教材整理3两角和与差的正切公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )合作探究类型1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式 例1 (1) sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C ．12D ．32(2)化简求值： ①1＋tan 75°1－tan 75°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)； ③tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°. 名师指导1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示出或求出第三个．2．化简过程中注意“1”与“tan π4”、“3”与“tan π3”、“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化． 跟踪训练 1．化简求值：(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°； (2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°； (3)1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°.类型2 给值求值例2 已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫34π＋β＝513，求sin(α＋β)的值. 名师指导1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．2．常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β， α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β； (3)⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)； (4)⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－β＝π2＋(α－β)． 跟踪训练2．已知cos α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan β＝－13，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos(α＋β)．类型3 给值求角 例3 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值． 名师指导1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 跟踪训练3．若把本例题的条件改为“α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210”， 试求角α的大小．探究点 辅助角公式的应用探究1 函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z )的最大值为2对吗？为什么？探究2 函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝ba 公式．例4 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________. 名师指导1．对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则． 跟踪训练4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2，2] B ．[]－3，3 C ．[－1，1] D ．⎣⎡⎦⎤－32，32 课堂检测1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于( ) A ．12 B ．－12C ．32 D ．－322．已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－210 B ．210 C ．－25 D ．253．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A ．π2 B ．πC ．2πD ．4π 4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________．5．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.参考答案基础·初探教材整理1两角和与差的余弦公式cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β预习自测1.【答案】0【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 教材整理2 两角和与差的正弦公式1．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 2.a 2＋b 2aa 2＋b 2ba 2＋b 2预习自测【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． 教材整理3 两角和与差的正切公式 tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β预习自测【答案】 (1)√ (2)× (3)√【解析】 (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子． 合作探究类型1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式 例1 (1)【答案】 C 【解析】sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)解：①原式＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.∴原式＝－ 3. ②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.∴原式＝0.③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40°＝ 3. ∴原式＝ 3. 跟踪训练1．解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.(3)原式＝1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°＝－1tan （72°－12°）＝－33.类型2 给值求值例2 解：因为π4<α<34π，所以π2<π4＋α<π.所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos ⎝⎛⎭⎫34π＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫34π＋β＝－1213， 所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝ －⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫34π＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365. 跟踪训练2．解：因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， cos α＝－45，所以sin α＝－35.因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－13，所以cos β＝－31010，sin β＝1010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－45×⎝⎛⎭⎫－31010－⎝⎛⎭⎫－35×1010＝31010.类型3 给值求角 例3 解：∵sin α＝55，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255. 又sin β＝1010，β为锐角， ∴cos β＝1－sin 2β＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.又α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴0<α＋β<π， 因此α＋β＝π4.跟踪训练3． 解：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)， 由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45.由sin β＝－210，知cos β＝7210. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝⎛⎭⎫－210＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝π4. 探究点 辅助角公式的应用探究1 【提示】 不对．因为sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 所以函数的最大值为 2.探究2 【提示】 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝⎛⎭⎫35sin x ＋45cos x ， 令cos φ＝35，sin φ＝45， 则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)，所以函数y 的最大值为5.探究3 【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，则 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝b a确定，或由sin φ＝b a 2＋b 2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)． 例4 【答案】5π6 【解析】 函数为y ＝sin x －3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， 当0≤x <2π时，－π3≤x －π3<5π3， 所以当y 取得最大值时，x －π3＝π2，所以x ＝5π6. 跟踪训练4．【答案】 B【解析】 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以函数f (x )的值域为[－3，3]．故选B ．课堂检测1．【答案】 D【解析】 原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D ． 2．【答案】 B【解析】 因为α是锐角，sin α＝35， 所以cos α＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B ． 3．【答案】 C【解析】 y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以T ＝2π. 4．【答案】 1【解析】 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. 5．解：∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。
人教版数学必修四：3.1.2两角和与差的正弦(一)学案(学生版)
课题：§3.1.2两角和与差的正弦（一） 总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】1．能用两角余弦的和、差角公式推导出两角正弦的和、差角公式，并从推导过程中体会到化归思想的作用2．能用正弦的和、差角公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式的证明【重点难点】学习重点：推导、理解并熟记两角和与差的正弦公式，并用公式解决相关的问题。
学习难点：辅助角公式的引入与应用及灵活用学过的公式进行三角函数的计算、化简和证明。
【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1：sin15° = _________.问题2：sin(α+β)如何用α的三角函数和β的三角函数表示？怎样表示？二、知识建构与应用：问题3：能否根据问题1中求sin15°值的解法将sin(α+β)用α的三角函数和β的三角函数来表示？问题4：能否用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式？S (α+β)：S (α-β)：三、例题例1 已知)23,(,53cos ),,2(,32sin ππββππα∈-=∈=a ，求sin()αβ+的值．例2 已知5cos()13αβ+=，4cos 5β=，αβ、均为锐角，求sin α的值．例3 求函数1sin 2y x x =的最大值．思考题：函数y = 3sinx + cosx 是否为周期函数？y 有最大值吗？四、巩固练习1．下列等式中恒成立的是（ ）A ．βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=-B ．βαβαβαcos sin sin cos )cos(-=+C ．βαβαβαcos cos sin sin )sin(+=+D ．βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2．17sin 13cos 17cos 13sin +=3． 40sin 160cos 140cos 200sin -=4．化简（1） 29sin 11cos 29cos 11sin +=（2）cos 24cos69sin 24sin 69+=（3） 5.22cos 5.22sin 22-=（4） 15cos 15sin 2=5．求值：（1）;105sin （2） 165cos6．已知53cos -=θ，),2(ππθ∈，求)3sin(πθ+和)3cos(πθ-的值7．已知31)4sin(=+πθ，),2(ππθ∈，求θsin8．求函数x x y sin 21cos 23-=的最小值和最大值五、回顾反思。
河北省沧州市颐和中学高中数学必修四学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式Word版缺答案
学习目标：1. 掌握和、差角公式，并能娴熟运用．2. 两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵巧运用一、复习回首：cos( α － β) ＝cos( α +β)=sin ( α＋ β) ＝sin( α -- β) ＝tan( α ＋ β) ＝tan( α -- β) ＝？sin2A=cos2A=tan2A=协助角公式：a?sina+b?cosa= (a 2 b 2 ) ×sin(a+c)[ 此中 tanc= b ]a二、基此题型 题型一给值求角510 1 已知 sin α＝ 5 ， sin β＝ 10 ，且α， β为锐角，求α＋ β 的值．题型二、协助角公式的应用2 将以下各式写成A sin(ωx＋φ)的形式：(1)3sin x－ cos x；(2)2sin(4π4 －x)＋64cos(π4 －x) ．3)2(cos x－ sin x) ；3.已知函数 f ( x)＝sin 2 x＋3cos 2 x.(1) 求出f ( x) 的最大值、最小值；(2)求出 f ( x)的单一增区间．沧州市颐和中学导教案2015—2016学年第一学期第45 号题型三利用二倍角公式给角求值π2π(1)cos 5 cos 5；(2)1－ cos 2π；282tan 150 °(3)1－tan 2150°；题型四、二倍角公式的综合应用1＋cos 2 θ－ sin 2 θ(1)化简：1－cos 2 θ－ sin 2 θ；(2) 化简：1＋sin 10 °－1－sin 10 °π＜α＜π1－ sin 2 α＝ ________.3) ，则4 2题型五应用半角公式求值1 已知sin4θ＝5，且5π2<θ<3π，求cosθ2 和tanθ2 .2．若 cos1α∈(0，π)，则cosα) α＝，的值为 (3 26 6 6 3A. 3 B．－3 C．±3 D．±34，α∈( 3 α)3．已知 cos α＝π， 2π) ，则 sin 等于 (5 2 23 A．－10 B. 10 C. 3 3D．－10 10 10 5。
数学人教B版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦 含解析
3.1.2 两角和与差的正弦21．两角和与差的正弦公式两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S α＋β) 两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β) 【自主测试1－1】sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°的值是( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32答案：A【自主测试1－2】sin 105°＝________.答案：6＋242．旋转变换公式已知点P (x ，y )，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos θ－y sin θ，y ′＝x sin θ＋y cos θ. 【自主测试2－1】已知点M (－1,6)，与坐标原点保持距离不变，按顺时针旋转90°得到点M ′的坐标为________．答案：(6,1)【自主测试2－2】已知向量OB ＝(1,3)，绕原点按逆时针旋转60°得到向量'OB 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－332，3＋323．辅助角公式形如a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)的式子可以化为一个三角函数式．即a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝aa 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2.【自主测试3－1】函数y ＝sin x ＋cos x 的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π解析：∵y ＝sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4sin x ＋sin π4cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴最小正周期为T ＝2π1＝2π.答案：C【自主测试3－2】已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( ) A ．45 B ．－45 C ．35 D ．－35 答案：D1．对两角和与差的正弦公式的正确理解 剖析：(1)公式中的α，β均为任意角． (2)与两角和与差的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos 2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α，当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便． (4)使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，还要掌握整体思想等，这是灵活使用公式的前提，特别是三角函数公式．如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而是采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α，这也体现了数学中的整体原则．(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相同．归纳总结两角和与差的正、余弦公式虽然形式、结构不同．但它们的本质是相同的：cos(α＋β)cos(α－β)sin(α＋β),sin(α－β)，所以在理解公式的基础上，只要记住中心公式cos(α＋β)的由来及其表达方式就可掌握其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．2．解读辅助角公式剖析：(1)a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)中的角x 必须为同一个角，否则不成立． (2)通过化单角(x )为复角(x ＋θ)，达到减少函数名称，合二为一的目的．最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质．(3)化简的形式不唯一． 由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的．如f (x )＝3sin x ＋cos x 可以写成f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6还可以写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.3．有关三角函数的最值问题的求法剖析：一般地，三角函数的求最值问题可归结为以下几种情况： (1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，利用sin α的值域求最值；(2)形如y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的函数，可通过数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率，确定斜率的最值即可；(3)可化为形如y ＝a (sin x －b )2＋c 或y ＝a (cos x －b )2＋c 的函数，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；(4)求形如f (x )＝a sin x ＋b cos x (ab ≠0)的函数的最值，通常化归为求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 的最值．题型一 利用两角和与差的正弦公式求值【例题1】已知cos φ＝45，在下列情况下，分别求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ的值． (1)φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；(2)φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 分析：在已知cos φ＝45和φ的取值范围的前提下，要求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，只需把sin φ求出再应用公式即可得出．解：(1)∵cos φ＝45，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin φ＝1－cos 2φ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝sin π3cos φ－cos π3sin φ＝32×45－12×35＝43－310. (2)∵cos φ＝45，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴sin φ＝－1－cos 2φ＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝sin π3cos φ－cos π3sin φ＝32×45－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝43＋310. 反思在cos φ已知的前提下，sin φ要根据φ的取值范围才能唯一确定．如果φ不能确定，则一定要分情况讨论．题型二 三角函数式的化简【例题2】化简：A ＋2Bsin B－2cos(A ＋B )．分析：解答本题若用两角和与差的正余弦公式展开，则计算复杂．对题中各角之间的关系进行分析后，我们选定(A ＋B )和B 作为基本量，则有A ＋2B ＝(A ＋B )＋B ，抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了．解：原式＝A ＋B ＋B ]－A ＋B Bsin B＝A ＋B B －A ＋B Bsin B＝A ＋B －B ]sin B ＝sin Asin B.反思在做三角函数题时，角度变换是三角恒等变换的首选方法，但具体怎样来变换，我们主要是分析它们之间的关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．这其中，寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键．题型三 公式在三角形中的应用【例题3】在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C ．分析：借助C ＝π－A －B 转化，再利用公式求解．解：∵cos B ＝513，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1213.∵sin A ＝35，0＜A ＜π，∴当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝45，此时cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665，当A 为钝角时，sin A ＝35＜32，∴A ＞120°.又∵cos B ＝513＜12，∴B ＞60°，∴A ＋B ＞180°与三角形内角和等于180°矛盾．∴cos C ＝1665.反思解决与三角形有关的问题时要注意： (1)三角形的内角和等于180°；(2)创设条件使之能运用两角和与两角差的三角函数公式； (3)常用结论：A ＋B ＋C ＝180°，sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tan C ．〖互动探究〗若把本例中的“cos B ”改为“sin B ”，结果又如何？解：∵sin A ＝35，0＜A ＜π，∴当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝45.∵sin B ＝513＜35＝sin A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×513－45×1213＝－3365， 当A 为钝角时，cos A ＝－45，cos B ＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×1213＝6365.题型四 辅助角公式的应用【例题4】已知函数f (x )＝sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．分析：解答本题时，可把a sin x ＋b cos x 化简成a 2＋b 2sin(x ＋θ)的形式求解．解：f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈R . (1)T ＝2π1＝2π，f (x )的值域为[－2,2]．(2)由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 反思研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质，都要先把其化为整体角的正弦函数形式或余弦函数形式，方法是提取a 2＋b 2，逆用公式S α±β，C α±β，特别注意角的范围对三角函数值的影响．题型五 易错辨析 【例题5】已知向量MN ＝(3，－1)，将此向量绕其始点，顺时针旋转30°后所得向量MN ′→的坐标为________．错解：由旋转变换公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos 30°－y sin 30°，y ′＝x sin 30°＋y cos 30°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33＋12，y ′＝3－32，所以MN ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋12，3－32.错因分析：没有考虑到是顺时针旋转30°，在代入公式时，角的度数为－30°. 正解：由旋转变换公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－－－－，y ′＝－＋－－， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33－12，y ′＝－3＋32，所以MN ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－12，－3＋32.1．(2012·山东邹城质检)sin 75°cos 30°－cos 75°sin 30°的值为( )A ．1B ．12C ．22D ．32答案：C2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，则tan α∶tan β＝( )A ．－17B ．17C ．－7D ．7解析：由sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，得sin αcos β＋cos αsin β＝14，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①＋②，得2sin αcos β＝712.③由①－②，得2cos αsin β＝－112.④故由③④，得tan αtan β＝－7.答案：C3．(2012·山东鱼台期末)在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案：C4．α＋－α－cos α＝________.解析：α＋－α－cos α＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－αcos 30°－cos αcos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.答案：15．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.解析：3sin x －3cos x ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝23sin(x ＋φ)，∴cos φ＝32，sin φ＝－12.又φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π66．是否存在x 使得函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)存在最小值？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由．解：∵x ＋40°＝(x ＋10°)＋30°，∴y ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°]＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋10°)cos 30°－sin(x ＋10°)sin 30° ＝12sin(x ＋10°)＋cos 30°cos(x ＋10°) ＝sin 30°sin(x ＋10°)＋cos 30°cos(x ＋10°) ＝cos(x ＋10°－30°)＝cos(x －20°)．∵－1≤cos(x －20°)≤1，∴函数的值域为[－1,1]， ∴当y min ＝－1时，x －20°＝k ·360°＋180°，k ∈Z ， 此时，x ＝k ·360°＋200°，k ∈Z .。
高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦(第2课时)教案 新人教版必修4
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦（第2课
时）教案新人教版必修4
教学目标：
进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题.
教学重点：
灵活运用两角和与差的正（余）弦公式,巧妙进行角的变换．
教学过程：
一、数学运用
1．进一步的运用．
讨论解题思路,探讨不同的解法，并展开讨论：
（1）课本中的解法体现了什么样的解题思想？
（2）为什么把式中的角统一用A＋B及A角表示？
（3）能不能把式中的角统一用A及B角表示？这样做行吗？
（4）能不能把式中的角统一用A＋B及B角表示？这样做行吗？
例2 求2cos10sin20
cos20
︒-︒
︒
的值.
讨论解题思路，探讨不同的解法，并展开讨论：
（1）课本中的解法体现了什么样的解题思想？
（2）为什么把式中的10°角用30°－20°角表示？
（3）能不能把式中的20°角用30°－10°角表示? 这样做行吗？
讨论解题思路，探讨不同的解法，并展开讨论．
2．练习．
教材第111页练习第1题，第2题．
二、回顾小结
让学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结：
1．通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一. 2．要注意公式的“正用”、“逆用”、“创造条件用”．
3．注意体会方程思想在解题中的应用
三、课外作业
教材第112页习题第10题、第11题．。
高中数学人教版必修四学案：第三单元 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案
3.1.2 两角和与差的正弦学习目标1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数的性质.知识点一两角和与差的正弦思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”.知识点二辅助角公式思考1a sin x＋b cos x化简的步骤有哪些？思考2在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？梳理辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)＝a2＋b2cos(x－θ).其中cos φ＝________，sin φ＝________，sin θ＝aa2＋b2，cos θ＝ba2＋b2，φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定.类型一给角求值例1(1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°).(2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________.反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x ).类型二 给值求值(角)例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β).反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α的值.类型三辅助角公式例3将下列各式写成A sin(ωx＋φ)的形式.(1)3sin x－cos x；(2)24sin(π4－x)＋64cos(π4－x).反思与感悟辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2·sin(x＋φ)可以把含sin x、cos x的一次式化为A sin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝ba确定.研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数的性质都要用到该公式.跟踪训练3已知函数f(x)＝3cos 2x－sin 2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间.1.计算2cos π12＋6sin π12的值是( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.22 2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A.－32B.32C.－12D.123.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________.4.化简：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.5.化简：sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋3x ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋3x .1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C α－β――→诱导公式S α＋β――→以－β代换βS α－β.(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，1＝2cos 60°，1＝2sin 30°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.答案精析问题导学知识点一思考1 sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β＝sin αcos β＋cos αsin β .思考2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β知识点二思考1 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b 2，sin θ＝b a 2＋b 2(或sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2)．一般θ为特殊角⎝⎛⎭⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2·(sin θsin x ＋cos θcos x ))．(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ))． 思考2 θ所在的象限由a 和b 的符号确定．梳理 a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 题型探究例1 (1)解 原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°)＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x )＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝22. (2)12跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )] ＝sin 90°＝1.例2 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213， sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365. 跟踪训练2 α＝π4例3 解 (1)3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2(cos π6sin x －sin π6cos x )＝2sin(x －π6)． (2)原式＝22[12sin(π4－x )＋ 32cos(π4－x )]＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π4－x －π6)＝22cos(π12－x ) ＝22sin(x ＋5π12)． 跟踪训练3 解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2， k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 当堂训练1．B 2.D 3.124.cos α 5．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4－3x －⎝⎛⎭⎫π3－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π3＝sin π4cos π3－cos π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64.。
高一数学人教B版必修4学案：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含解析
3.1.2 两角和与差的正弦[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质．[知识链接]1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S α－β吗？答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β) ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β－cos αsin β.[预习导引]1．两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.2．两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定.要点一 利用和(差)角公式化简例1 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)． 解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 规律方法 化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值． (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°. 解 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 要点二 利用和(差)角公式求值例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值． 解 ∵π2<β<α<3π4， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 要点三 公式的变形应用例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值． 解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.① ∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.② 由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 规律方法 本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．跟踪演练3 已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解 (1)因为α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， 所以0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2 α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 例4 化简下列各式： (1)315sin x ＋35cos x ；(2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)315sin x ＋35cos x＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝⎛⎭⎫cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫712π－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 规律方法 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝b a确定．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质都要用到该公式．跟踪演练4 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．在△ABC 中 ，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22(cos B ＋1－cos 2B ) ＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255. 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________．答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x )∈[－2,2]．4．试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sin α－cos α；(2)3sin α＋cos α； (3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)3sin α＋4cos α. 解 (1)sin α－cos α＝2(22sin α－22cos α) ＝2(sin αcos π4－cos αsin π4) ＝2sin(α－π4)． (2)3sin α＋cos α＝2(32sin α＋12cos α) ＝2(sin αcos π6＋cos αsin π6) ＝2sin(α＋π6)． (3)方法一 原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝22. 方法二 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. (4)3sin α＋4cos α＝5(35sin α＋45cos α) ＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ))．其中cos φ＝35，sin φ＝45(或sin θ＝35，cos θ＝45)．1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)错误!sin(α＋β)错误!sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．一、基础达标1．函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x ＋π3)的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2C ．2π，1D ．2π， 2答案 A解析 ∵f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，f (x )max ＝1.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( ) A ．0 B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1答案 D解析 ∵cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2. 5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 答案 cos α解析 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 7．化简求值： (1)sin(π4－3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )； (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；(3)sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°. 解 (1)原式＝cos[π2－(π4－3x )]cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos(π4＋3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos[(π4＋3x )＋(π3－3x )]＝cos(π4＋π3) ＝cos π4cos π3－sin π4sin π3＝22×12－22×32 ＝2－64.(2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.(3)∵sin 27°＝sin(45°－18°)，cos 27°＝cos(45°－18°)，∴原式＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°cos 45°cos 18°＝tan 45°＝1. 二、能力提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( ) A ．－3365 B.3365 C ．－6365 D.6365答案 B解析 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213. ∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝45×1213－35×513＝3365. 9．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________． 答案 137解析 ∵⎩⎨⎧ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎨⎧ sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． 解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时，cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋53×154＝－2＋5312. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－53×154＝－2－5312＝－2＋5312. (2)当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sin α＝23，cos β＝－14， ∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝53－212. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212，sin(α－β)＝－53＋212. 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4) ，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)． 解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64. 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.。
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3.1.2两角和与差的正弦公式
一．学习要点：两角和与差的正弦公式及其简单应用。
二．学习过程：
1．两角和与差的正弦公式及推导：
公式：
2．公式的结构特征：
3．公式的运用：
例1求sin 75︒，sin15︒的值．
例2：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、sin12cos33cos12sin33+；
（2）、cos10sin 70sin10sin 20-；
例3 求证：)3x x x π
+=+
例4：求函数sin cos y a x b x =+的最大值、最小值和最小正周期，其中a 、b 是不同时为零的实数．
例5：已知向量()3,4OP =，逆时针旋转45︒到'OP 的位置．求点()
''',P x y 的坐标．
巩固练习：
教材138页练习
注意：重点训练辅助角公式。
小结：学习两角差的正弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程.还要注意区分与两角和与差的余弦的公式结构的本质区别：异名弦的乘积的和差。
作业：见作业（26）。