淄博市2012年第一次诊断考试数学试卷及答案

山东省淄博市2012届高三第一次模拟考试数学（理工农医类）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡的相应位置上.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足（1i -）z =2，则z 等于A ．1+iB ．1-iC ．-1+iD ．-1-i 2．已知不等式20x x -≤的解集为M ，且集合{|11}N x x =-<<，则M N 为 A ．［0，1） B ．（0，1） C ．［0，1］ D ．（-1，0］ 3．“1m =” 是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1AA ⊥面111A B C ，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为A ．B ．．4 5．设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |，a +b =c ，则向量a、b间的夹角为A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°6．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为A ．16B ．18C ．27D ．367．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：21(),(),f x x f x x == (),()sin ,x f x e f x x ==则可以输出的函数是A ．2()f x x = B.1()f x x=C ．()x f x e = D.()sin f x x =8．一天有语文、数学、英语、政治、生物、体育六节课，体育不在第一节上，数学不在第六节上，这天课程表的不同排法种数为A ．288 B.480 C.504 D.6969．记集合22{(,)|4}A x y x y =+≤和集合{(,)|20,0,0|}B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为1Ω、2Ω，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω内的概率为A.12πB.1πC. 14D.π24π-10．在△ABC 中，已知cos cos 3cos b C c B a B ⋅+⋅=⋅，其中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边.则cos B 值为 A ．13 B.13-D.11．设双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)A a B b 两点，若原点O 到l，则双曲线的离心率为 A2 B ．2 C12．设方程41log ()04x x -=、141log ()04x x -=的根分别为1x 、2x ，则A ．1201x x <<B ．121x x =C ．1212x x <<D ．122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题.2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡指定的位置上. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知直线220(0,0)ax by a b -+=>>经过圆22(1)(2)4x y ++-=的圆心，则11a b+的最小值为 .14．在二项式62)的展开式中，第四项的系数是 .15．不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 16．对于各数互不相等的整数数组123(,,,i i i …,)n i （n 是不小于3的正整数），若对任意的,p q {1,2,3∈…,}n ，当p q <时有p q i i >，则称,p q i i 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于 2.若数组123(,,,i i i …，)n i 的逆序数为n ，则数组1(,,n n i i -…，1i ）的逆序数为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知函数2()2cos.2f x xx =- （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且π1()33f α-=，求cos21cos2sin2ααα+-的值.18．（本题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格.（Ⅰ）从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率； （Ⅱ）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望. 19．（本题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，O 是AC 与BD 的交点，SO ⊥平面ABCD ，E 是侧棱SC 的中点，异面直线SA 和BC 所成角的大小是60︒.（Ⅰ）求证：直线SA 平面BDE ；（Ⅱ）求直线BD 与平面SBC 所成角的正弦值. 20．（本题满分12分）已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）.（Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .21．（本题满分12分）在平面直角坐标系内已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，若将动点(,)P x y 的横坐标保持不变，()Q x ，且满足1AQ BQ ⋅=.（Ⅰ）求动点P 所在曲线C 的方程；（Ⅱ）过点B 作斜率为l 交曲线C 于M 、N 两点，且0OM ON OH ++= ，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由. 22.（本题满分14分）已知函数211()ln()22f x ax x ax =++-（a 为常数，0a >）.（Ⅰ）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）求证：当02a <≤时，()f x 在1[,)2+∞上是增函数；（Ⅲ）若对任意．．的a ∈（1，2），总存在．．01[,1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取范围.淄博市2011-2012学年度高三模拟考试 理科数学试题参考答案及评分说明一、选择题：AACBA BDCAA BA二、填空题：13.4 14.160 15.][)(,14,-∞-+∞ 16.232n n-三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（Ⅰ）()1cos f x x x =+ ………………………………………………………1分π12cos(),3x =++…………………………………………………………2分∴函数()f x 的周期为2π，……………………………………………………………………3分又π1cos()13x -≤+≤故函数()f x 的值域为[]1,3-……………………………………………………………………5分（Ⅱ）π11(),12cos ,333f αα-=∴+= 即1cos .3α=…………………………………………6分222cos2cos sin 1cos2sin22cos 2sin cos αααααααα-=+-- …………………………………………………8分(cos sin )(cos sin )cos sin ,2cos (cos sin )2cos αααααααααα+-+==-…………………………………………………9分又α 为第二象限角，且1cos 3α=-sin α∴=…………………………………………………………………………………10分∴原式1cos sin 3322cos 3ααα-+==-………………………………………………12分18.解：（Ⅰ）甲班有4人及格，乙班有5人及格.……………………………………………2分事件“从两班10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”记作A ， 则1165111010307()1110010C C P A C C =-=-=………………………………………………………………6分 （Ⅱ）X 取值为0，1，2，3.…………………………………………………………………7分12111216565554121212101010101010219(0); (1);1545C C C C C C C P X P X C C C C C C ==⋅===⋅+⋅=12112116555544121212101010101010164(2); (3).4545C C C C C C C P X P X C C C C C C ==⋅+⋅===⋅=所以X 的分布列为…………………………11分所以1932127().455E X ++==…………………………………………………………………12分19.解：（Ⅰ）连结OE ，…………………………………………………………………………1分四边形ABCD 是正方形，O ∴是AC 的中点，……………………………………2分又E 是侧棱SC 的中点，OE ∴//SA .………………4分 又OE ⊂平面BDE ，SA ⊄平面BDE ，∴直线SA //平面BDE .…………………………………5分（Ⅱ）建立如图空间坐标系，则(0,D -(B SC - (0,(BD BC ∴=-=--SB =-……………………………………………………………………………7分设平面SBC 的法向量(,,1)n x y =，则有00nSB nBC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即⎧-⎪⎨--=⎪⎩ 解得11y x =⎧⎨=-⎩ (1,1,1).n ∴=-……………………………………………………………………………………9分直线BD 与平面SBC 所成角记为θ，则sin nBD n BD θ= …………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）设1151,222n n n a b b --===……………………………………………………1分[]11111111(2)1222n n n n n n n n n a a b b a a +++++---=-=-+ =111(21)112n n ++⎡⎤-+=⎣⎦…………………………………………………………………………4分所以数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2公差是1的等差数列.…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，111(1)1,22n na a n --=+-⨯ (1)21n n a n ∴=+⋅+……………………………………………………………………………7分121(221)(321)(21)[(1)21]n n n S n n -=⋅++⋅+++⋅+++⋅+12122322(1)2n n n S n n n -∴=⋅+⋅++⋅++⋅+ ……………………………………8分设12122322(1)2n n n T n n -=⋅+⋅++⋅++⋅ ① 231222322(1)2.n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅ ②②-①，得1231122(222)(1)22n n n n T n n ++=-⋅-+++++⋅=⋅ …………………………………………11分所以112(21)n n n S n n n ++=⋅+=⋅+……………………………………………………………12分21．解（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q的坐标为()x ，依据题意，有(1),(1).AQ x BQ x =+=-……………………………………………1分221,12 1.AQ BQ x y ⋅=∴-+=∴动点P 所在曲线C 的方程是22 1.2x y +=……………………………………………………3分 （Ⅱ）因直线l 过点B ，且斜率为k =，故有:1).l y x =-……………………5分联立方程组22121)x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，得22210.x x --=…………………………………6分设11(,)M x y 、22(,)N x y ，可得1212112x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，于是12121x x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.…………………………………………………………7分 又0OM ON OH ++= ，得1212(,),OH x x y y =----即(1,H - 而点G 与点H 关于原点对称，于是，可得点(1,).G …………………………………………………………………………8分若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l，GH k =121:),:.2l y x l y =-=…………………………………………………………9分联立方程组1)2y x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，解得1l 和2l的交点为11(,8O ……………………………………………………………10分因此，可算得1||O H =1||O M所以M 、G 、N 、H四点共圆，且圆心坐标为11(,8O……………12分22．解：2212()122()2,()11122a ax x aa f x x a x ax a ax --'=+-=>-++………………………………1分（Ⅰ）由已知，得1()02f '=即22122a a -=， 220,0, 2.a a a a ∴--=>∴= …………………………………………………………………3分经检验，2a =满足条件.………………………………………………………………………4分（Ⅱ）当02a <≤时，22212(2)(1)0,2222a a a a a a a a----+-==≤ 221,22a a -∴≤……………………………………………………………………………………5分∴当12x ≥时，2202a x a--≥.又201ax ax >+，()0,f x '∴≥ 故()f x 在1,)2⎡+∞⎢⎣上是增函数…………………………………………………………………6分（Ⅲ）当(1,2)a ∈时，由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]2上的最大值为11(1)ln()1,22f a a =++- …………………………………………………………………………………………7分于是问题等价于：对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立. …………………………………………………………………………………………8分 记211()ln()1(1),(12)22g a a a m a a =++-+-<< 则1()12[2(12)],11a g a ma ma m a a'=-+=--++……………………………………………9分当0m ≤时，有2(12)2(1)10ma m m a --=+-<，且0,()1a g a a>∴+在区间（1，2）上递减，且(1)0g =，则0m ≤不可能使()0g a >恒成立，故必有0.m >…………………………………11分当0m >，且21()[(1)].12ma g a a a m'=--+ 若1112m ->，可知()g a 在区间1(1,min{2,1})2D m=-上递减，在此区间D 上有()(1)0g a g <=，与()0g a >恒成立矛盾，故1112m -≤，这时()0g a '>，即()g a 在（1，2）上递增，恒有()(1)0g a g >=满足题设要求.01112m m>⎧⎪∴⎨-≤⎪⎩，即14m ≥，……………………………………………………………………13分所以，实数m 的取值范围为1[,)4+∞.…………………………………………………………14分。