高中数学选择性必修三 精讲精炼 第六章 计原理 章末测试(基础)(含答案)

第六章 计数原理 章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·全国·高二课时练习)在1，2，3，4四个数字中任取数(不重复取)作和，则取出这些数的不同的和共有( ) A ．8个 B ．9个 C ．10个 D ．5个【答案】A【解析】第一类：两个数的和是123+=，134+=，145+=，235+=，246+=，347+=，第二类：三个数的和是1236++=，1247++=，1348++=，2349++=；第三类：四个数的和是123410+++=．故得到不同的和为3，4，5，6，7，8，9，10，共有8个不同的数． 故选：A.2．(2021·全国·高二课时练习)设n ∈+N ，且19n <，则()()()19202019n n n -⋅-⋅⋅⋅⋅⋅-等于( ) A ．20012019A n - B ．20012019A nn --C ．192019A n -D ．20002019A n -【答案】A【解析】先确定最大数，即2019n -，再确定因式的个数，即()()20191912001n n ---+=，所以原式20012019A n -=．故选：A3．(2021·全国·高二课时练习)六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( ) A ．480种 B ．360种 C ．240种 D ．120种【答案】A【解析】因为六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，所以甲有14C 种情况，剩余的选手有55A 种情况，所以不同的演讲次序共有1545C A 480⋅=(种)．故选：A ．4．(2021·江苏扬州·高三月考)()421x -的展开式中3x 的系数为( ) A ．4 B ．-4 C ．32 D ．-32【答案】D【解析】由题设，展开式通项为444144(2)(1)(1)2rrr r r r rr T C x C x ---+=-=-，∴1r =时，3x 的系数为1314(1)232C -=-.故选：D5．(2021·江西·贵溪市实验中学高三月考)已知(1)n x +的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是( ) A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】A【解析】因为(1)n x +的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，即210n n C C =，所以12n =，所以二项式系数和是122. 故选：A.6．(2021·全国·高二课时练习)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．360种 B ．50种C ．60种D ．90种【答案】B【解析】第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)，第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法， 选法有1×3×10＝30(种)， 所以共有20＋30＝50(种)选法． 故选：B.7．(2021·全国·高二课时练习)()()()322111x x x y y z ++++++展开后的不同项数为( )A ．9B ．12C ．18D ．24【答案】D【解析】分三步：第一步，从()321x x x +++中任取一项，有4种方法；第二步，从()21y y ++中任取一项，有3种方法；第三步，从()1z +中任取一项有2张方法. 根据分步乘法计数原理，得共有43224⨯⨯=(项). 故选：D8．(2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考(理))已知()()()321x x a a Z -+∈的展开式中x 的系数等于8，则展开式中3x 的系数等于( ) A ．4 B ．7 C ．-5 D ．-8【答案】C【解析】由题设，展开式中含x 的项为22233233(1)2(1)(32)a C x ax C a a x ⋅-+⋅-=-，∴2328a a -=，又a Z ∈，可得2a =，∴展开式中3x 的项为00311222233334(1)4(1)(1)5C x x C x x C x x ⋅-+⋅-+⋅-=-.故选：C二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分) 9．(2021·全国·高二课时练习)下列问题是组合问题的是( ) A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C ．集合{}123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅含有三个元素的子集有多少个D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法【答案】ABC【解析】A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合问题；B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，与次序无关，故是组合问题；C. 集合{}123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅含有三个元素的子集，与次序无关，故是组合问题；D.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、乙参加独舞节目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，与次序无关，因此是排列问题，不是组合问题． 故选：ABC10．(2021·全国·高二课时练习)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】BD【解析】任意两位同学之间交换纪念品共要交换2615C =(次).如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人. 故选：BD.11．(2021·江苏·泰州中学高三月考)已知()831f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则( )A ．()f x 的展开式中的常数项是56B ．()f x 的展开式中的各项系数之和为0C ．()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D ．()f x 的展开式中不含4x 的项 【答案】BC【解析】二项展开式通项公式为382441881()(1)rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 2440r -=，6r =，常数项为6678(1)28T C =-=，A 错；2444r -=，=5r ，第6项是含4x 的项，D 错； 令1x =得(1)0f =所有项系数和，B 正确；8n =，因此二项式系数的最大值为4870C =，C 正确．故选：BC ．12．(2021·重庆·高三月考)若501(12)x a a x -=+234234a x a x a x +++55a x +，则下列结论中正确的是( )A ．01a =B ．532a =-C ．50123453a a a a a a +++++=D ．012345234510a a a a a a +++++=-【答案】ABC【解析】二项式5(12)x -的展开式通项公式为15(2)C ,N,5r r rr T x r r +=-∈≤，01a =，5555(2)C 32a =-=-，A ，B 都正确；显然，展开式中的奇数项系数为正，偶数项系数为负，012345a a a a a a +++++=55012345[12(1)]3a a a a a a -+-+-=-⨯-=，C 正确；1152C 10a =-=-，2225(2)C 40a =-=，3335(2)C 80a =-=-，4445(2)C 80a =-=，因此，01234523451(10)2403(80)4805(32)9a a a a a a +++++=+-+⨯+⨯-+⨯+⨯-=-，D 不正确. 故选：ABC三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·全国·高二课时练习)若46C C n n >，则n 的取值集合是______．【答案】{}6,7,8,9【解析】因为46C C n n >，所以()()!!4!4!6!6!6n n n n n ⎧>⎪--⎨⎪≥⎩所以291006n n n ⎧--<⎨≥⎩，解得：1106n n -<<⎧⎨≥⎩，因为N n *∈，所以6,7,8,9n =． 所以n 的取值集合为{}6,7,8,9， 故答案为：{}6,7,8,9.14．(2021·上海·曹杨二中高三期中)在22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________. 【答案】1120【解析】22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为012...22568n nn n n n C C C C n ++++==⇒=22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式281631882()2rr r r r rr T C x C xx --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭当1634r -=时,4r =,即4444582=1120T C x x =⋅⋅则展开式中4x 的系数为1120 故答案为：112015．(2021·全国·高二单元测试)如图，给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.【答案】264【解析】计算不同涂色方法数有两类办法：当涂四色时，先涂A ，E ，D ，有34A 种涂法，再从B ，F ，C 中选一点涂第四种颜色，如B ，再涂F ， 若F 与D 同色，则C 有2种涂法，若F 与D 异色，则C 有1种涂法，于是得有()3143A C 21+种涂法，当涂三色时，先涂A ，E ，D ，有3343C A 种涂法，再涂B ，有2种涂法，则F ，C 各有1种涂法，于是得有33432C A 种涂法，利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为：()31334343A C 212C A 21648264++=+=(种)，所以不同的涂色方法共有264种. 故答案为：26416．(2021·全国·高二课时练习)某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节、下午4节)，分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法共有______． 【答案】2400种【解析】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有122A =(种)编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，所以有225A 10=(种)编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有55A 120=(种)编排方法．根据分步乘法计数原理知共有2101202400⨯⨯=(种)编排方法． 故答案为：2400种四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·全国·高二课时练习)把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 【答案】(1)10(2)40(3)30【解析】(1)解：先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有35C 10=(种)方法．(2)解：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如000000，有25C 种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如000000，有14C 种插法，故共有2154C C 40⋅=(种)方法．(3)解：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有15C 种插法，如000000，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如000000，有23C 种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如000000，有13C 种插法．故共有()121533C C C 30⋅+=(种)方法．18．(2021·全国·高二课时练习)4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？ 【答案】(1)720(2)1440(3)144(4)960(5)840【解析】(1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有33A 种排法．我们可视排好的女同学为一整体， 再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有55A 种排法．由分步乘法计数原理，得共有3535A A 720=(种)不同的排法；(2)先将男同学排好，共有44A 种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女同学有35A 种方案，故符合条件的不同的排法共有4345A A 1440=(种)；(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有3434A A 144⋅=(种)；(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有44A 种排法； 由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有22A 种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有25A 种排法．故总共有422425A A A 960=(种)不同的排法；(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有47A 种排法．再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有47A 840=(种)不同的排法．19．(2021·全国·高二课时练习)已知n的展开式中偶数项二项式系数和比()21nx +展开式中奇数项二项式系数和小120.(1)求()21nx +展开式中二项式系数最大的项；(2)设n展开式中的常数项为p ，展开式中所有项系数的和为q ，求p q +.【答案】(1)4570T x =(2)22【解析】(1)由题意可得12121202n n --+=，故()()2162150n n-+=，故216n =，解得4n =．()()2811nx x +=+，展开式中二项式系数最大的项为44458C 70T x x ==；(2)4n=，其展开式的通项为42144C C rrrr rr T x --+==， 令20r -=，得2r .∴常数项24C 6p ==，令1x =，可得展开式中所有项系数的和为4216q ==， ∴22p q +=．20．(2021·全国·高二课时练习)将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)256；(2)24；(3)144；(4)8；(5)12.【解析】(1)根据题意，每个小球有4种放法，则4个小球有44＝256种放法， (2)根据题意，每盒至多一球，即每个盒子都只能放1个球，有44A ＝24种放法， (3)根据题意，分2步进行分析：在4个球中任选2个，放入1个盒子中，有24C 14C ＝24种放法，在剩下的3个盒子中，任选2个，放入剩下2个两个小球，有23A ＝6种放法，则有6×24＝144种放法； (4)根据题意，分2步进行分析：在4个小球中任选1个， 放入编号相同的盒子中，有14C ＝4种放法，剩下3个小球放入编号不同的盒子中， 有2种放法，则有4×2＝8种不同的放法，(5)根据题意，在4个盒子中选出1个，放入2个小球，有4种选法， 在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，有23C ＝3中选法， 则有4×3＝12种不同的放法．21．(2021·全国·高二课时练习)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7． (1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x )8的展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求b a．【答案】(1)5；(2)2.02；(3)1285． 【解析】(1)根据题意得117m n C C +=，即m ＋n ＝7，①f (x )中的x 2的系数为2222(1)(1)222m nm m n n m n m nC C --+--+=+=， 将①变形为n ＝7－m 代入上式得x 2的系数为m 2－7m ＋21＝27()2m -＋354， 故当m ＝3或m ＝4时，x 2的系数有最小值为9．当m ＝3，n ＝4时，x 3的系数为33345C C +=；当m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为33435C C =+．即此时x 3的系数为5.(2)f (0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈04C ＋14C ×0.003＋03C ＋13C ×0.003≈2.02． (3)由题意可得，a ＝48C ＝70，∵展开式的通项为188(2)2k k k k kk T C x C x +==，由118811882222k k k k k k k k C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩即56k k ≥⎧⎨≤⎩ ∴k ＝5或6时系数最大，此时，b ＝7×28， ∴1285b a =.22．(2021·全国·高二单元测试)已知数列{}n a 的前n 项和为0121C C C C n n n n n n S -=++++，数列{}n b 满足2log n n b a =.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)求2222121234(1)n n n T b b b b b +=-+-+⋅⋅⋅+-.【答案】(1)12n n a ，1n b n =-；(2)22,2{,2n n n n T n n n -=-为奇数为偶数. 【解析】(1)由题意，得：121C C C C =21nn n n n n n S -=++++-，当1n =时，111211a S ==-=，当2n ≥时，11121(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，∵当1n =时，11a =也满足12n n a ， ∴12n n a ， ∴12log 21n n b n .(2)由(1)知，1n b n =-，即数列{}n b 是以0为首项，1为公差的等差数列，①当n 为奇数时，n ﹣1为偶数，2222121234(1)n n n T b b b b b +=-+-+⋅⋅⋅+-2222222123421n n n b b b b b b b --=-+-+⋅⋅⋅+-+2121234342121()()()()()()n n n n n b b b b b b b b b b b b b ----=+-++-+⋅⋅⋅++-+ 212341()n n b b b b b b -=-++++⋅⋅⋅++2(1)(2)(1)2n n n --=-+- 22n n -=； ②当n 为偶数时，n ﹣1，n +1均为奇数，2222121234(1)n n n T b b b b b +=-+-+⋅⋅⋅+-22222212341n n b b b b b b -=-+-+⋅⋅⋅+-1212343411()()()()()()n n n n b b b b b b b b b b b b --=+-++-+⋅⋅⋅++- 1234()n b b b b b =-++++⋅⋅⋅+(1)2n n -=- 22n n -=； 综上所述，可知：22,2{,2n n n n T n n n -=-为奇数为偶数.。