平抛运动问题归类求解

斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离 的达到最大，最大距离为多少？
图6 解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽 然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质 凸显出来。 取沿斜面向下为轴的正方向，垂直斜面向上为轴的正方向，如图6 所示，在轴上，小球做初速度为、加速度为的匀变速直线运动，所以 有
在速度三角形中 在位移三角形中 由上面两式可得
[例11] 一质量为的小物体从倾角为的斜面顶点A水平抛出，落在斜 面上B点，若物体到达B点时的动能为35J，试求小物体抛出时的初动能 为多大？(不计运动过程中的空气阻力)
解析：由题意作出图，根据推论4可得，所以 由三角知识可得 又因为 所以初动能
[例12] 如图所示，从倾角为斜面足够长的顶点A，先后将同一小球 以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为，球落到斜面上前一 瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度，球落在斜面上前一 瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，试比较和的大小。
图4 解析：A与B、B与C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速 直线运动，可设A到B、B到C的时间为T，则 又竖直方向是自由落体运动， 则 代入已知量，联立可得 5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题 [例6] 从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为，在A点正上方高 为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为。两物体轨迹在 同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。
图7 解析：设两小球抛出后经过时间，它们速度之间的夹角为，与竖直 方向的夹角分别为和，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图 7所示，由图可得和 又因为，所以 由以上各式可得，解得
推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形 [例9] 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个 小球，经过时间，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距 离为，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离 为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数 为G，求该星球的质量M。 解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为，竖直位移为，如图 8所示，构建位移矢量直角三角形有
）θ
v0
θ
y x
）θ
v0
θ
y x
[例3] 若质点以V0正对倾角为θ的斜面水平抛出,如果要求质点到 达斜面的位移最小，求飞行时间为多少?
解析：(1)连接抛出点O到斜面上的某点O1 ，其间距OO1为位移大 小。当OO1垂直于斜面时位移最小。
(2)分解位移：利用位移的几何关系可得 。 [例3] 在倾角为的斜面上的P点，以水平速度向斜面下方抛出一个 物体，落在斜面上的Q点，证明落在Q点物体速度。 解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是，所用时间 为，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为；水平方向上的 位移为。 又根据运动学的规律可得 竖直方向上， 水平方向上 则，
向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。
[例2]如图2甲所示，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段
时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上。可知物体完成这段飞行的
时间是
A.
B.
C.
D.ຫໍສະໝຸດ Baidu
图2
解析：先将物体的末速度分解为水平分速度和竖直分速度(如图2乙
所示)。根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变
若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形，如图9 所示有，
由以上两式得 令星球上重力加速度为，由平抛运动的规律得 由万有引力定律与牛顿第二定律得 由以上各式解得
推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中 点。
证明：设平抛运动的初速度为，经时间后的水平位移为，如图所 示，D为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有
由可得 所以当物体距斜面的距离最远时的动能为 根据物体在做平抛运动时机械能守恒有 即重力势能减少了3J 平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层 出不穷。若能切实掌握其基本处理方法和这些有用的推论，就不难解 决平抛问题。因此在复习时应注意对平抛运动规律的总结，从而提高 自己解题的能力。
由上面推论4可知 从图16中看出 小球到达B点的速度为 所以B点的动能为
[例13] 如图17所示，从倾角为的斜面顶端平抛一个物体，阻力不 计，物体的初动能为9J。当物体与斜面距离最远时，重力势能减少了 多少焦耳？
解析：当物体做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，物体距斜面 的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成角，如图所示
的，所以；又因为与斜面垂直、与水平面垂直，所以与间的夹角等于
斜面的倾角。再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体 运动，那么我们根据就可以求出时间了。则 所以
根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出 所以 所以答案为C。 3.从分解位移的角度进行解题 对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向 (如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方 向之间的夹角)，则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后 运用平抛运动的运动规律来进行研究问题(这种方法，暂且叫做“分解 位移法”)
图5 解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一 个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很容易， 如图5所示，物体从A、B两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在轴上的抛 物线，即可设A、B两方程分别为 ， 则把顶点坐标A(0，H)、B(0，2H)、E(2，0)、F(，0)分别代入可得 方程组 这个方程组的解的纵坐标，即为屏的高。 6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题 [例7] 如图6所示，在倾角为的斜面上以速度水平抛出一小球，该
水平方向位移 竖直方向和 由图可知，与相似，则 联立以上各式可得 该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中 点。
推论4：平抛运动的物体经时间后，其速度与水平方向的夹角为， 位移与水平方向的夹角为，则有
证明：如图，设平抛运动的初速度为，经时间后到达A点的水平位 移为、速度为，如图所示，根据平抛运动规律和几何关系：
解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得 所以 此式表明仅与有关，而与初速度无关，因此，即以不同初速度平抛 的物体落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。
推论5：平抛运动的物体经时间后，位移与水平方向的夹角为，则 此时的动能与初动能的关系为
证明：设质量为的小球以的水平初速度从A点抛出，经时间到达B 点，其速度与水平方向的夹角为，根据平抛运动规律可作出位移和速 度的合成图，如图所示。
① ②
当时，小球在轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最 大。
由①式可得小球离开斜面的最大距离 当时，小球在轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运 动到离开斜面最大距离的时间。由②式可得小球运动的时间为 7. 利用平抛运动的推论求解 推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角 形。 [例8] 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度 大小分别为和，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的 夹角为？
有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问
题、有平抛运动与电场(包括一些复合场)组合的问题等。
1、从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度
求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应
该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向
做匀速直线运动，求出速度。
平抛运动问题归类求解
题1、(08全国理综卷Ⅰ)如图所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶 端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的 夹角φ满足 D
A.tanφ=sinθ
B.tanφ=cosθ
C.tanφ=tanθ
D.tanφ=2tanθ
平抛运动的常见问题及求解思路:
关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，
[例1]如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过
x=5m的壕沟，沟面对面比A处低h=1.25m，摩托车的速度至少要有多
大？
解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间
在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为
2、从分解速度的角度进行解题
对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方
所以Q点的速度 [例4] 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度同时
水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为和， 小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比 为多少？
图3 解析：和都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用 分解位移的方法可以得到 所以有 同理 则 4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解 在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的 平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点(这种轨迹，我们暂且 叫做“残缺轨迹”)，这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。为 此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。 [例5] 某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知，，，求。