2017年高考数学分类题库15

一、选择题

1.(2017·全国乙卷理科·T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是() A.440 B.330 C.220 D.110

【命题意图】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项,进行求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.

【解题指南】将已知的数列列举成下列形式,

20第一行,1个数,求和为21-1

2021第二行,2个数,求和为22-1

202122第三行,3个数,求和为23-1

20212223第四行,4个数,求和为24-1

2021222324第五行,5个数,求和为25-1

故而可得,第n行,n个数,求和为2n-1,因此前n行,一共有错误!未找到引用源。个数,求和为2n+1-n-2.

【解析】选A.由题意得,数列如下:

1,2,

…

1,2,4,…,2k-1

…

则该数列的前1+2+…+k=错误!未找到引用源。项和为S错误!未找到引用源。=1+(1+2)+…+(1+2+…+2k)=2k+1-k-2,

要使错误!未找到引用源。>100,有k≥14,此时k+2<2k+1,所以k+2是之后的等比数列1,2,…,2k+1的部分和,即k+2=1+2+…+2t-1=2t-1,

所以k=2t-3≥14,则t≥5,此时k=25-3=29,

对应满足的最小条件为N=错误!未找到引用源。+5=440,故选A.

【光速解题】选 A.前14行,有105个数,求和为215-16,当N=110时,求和为215-16+25-1=215+17≠2n,

前20行,有210个数,求和为221-22,当N=220时,求和为221-22+210-1=221+210-23≠2n,前25行,有325个数,求和为226-27,当N=330时,求和为226-27+25-1=226+25-28≠2n,

前29行,有435个数,求和为230-31,当N=440时,求和为230-31+25-1=230,故选A.

二、解答题

2.(2017·全国乙卷文科·T17)记S n为等比数列错误!未找到引用源。的前n项和,已知S2=2,S3=-6.

(1)求错误!未找到引用源。的通项公式.

(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.

【命题意图】本题主要考查等差、等比数列的基本性质及证明数列为等差数列的方法.【解析】(1)设公比为q,因为S2=2,S3=-6,

所以S3-S2=a3=-6-2=-8,

又S2=a1+a2=2,可得q2+4q+4=0,所以q=-2.

又a 3=a 1q 2=-8,所以a 1=-2,

所以a n =a 1·q n-1=(-2)n .

(2)由(1)得S n =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。[(-2)n -1], 则S n+1=错误!未找到引用源。[(-2)n+1-1],S n+2=错误!未找到引用源。[(-2)n+2-1], 所以S n+1+S n+2=23

[(-2)n+1-1]+错误!未找到引用源。[(-2)n+2-1] =错误!未找到引用源。[2(-2)n -2],

又2S n =错误!未找到引用源。[(-2)n -1],即S n+1+S n+2=2S n ,

所以S n+1,S n ,S n+2成等差数列.

3.(2017·全国丙卷·文科·T17)设数列

}{n a 满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n. (1)求}{n

a 的通项公式. (2)求数列错误!未找到引用源。的前n 项和.

【解析】(1)由已知可得:a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n,

所以当n>1时有a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1),

所以两式作差可得:(2n-1)a n =2,

即a n =221

n -(n>1,且n ∈N *), 又因为n=1时,a 1=2符合,

所以a n =

221n -(n ∈N *). (2)设b n =21n

n a +,则b n =()()2

2121n n +-=121n --121

n +, 所以数列21n n a ??????+????

的前n 项和为 S n =b 1+b 2+…+b n =1-

13+13错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+…+121n -错误!未找到引用源。-

121

n + =1-1

4.(2017·全国甲卷文·T17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.

(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式.

(2)若T3=21,求S3.

【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质以及数列求和,通项公式,意在考查学生的方程思想的运用和求解运算能力.

【解析】(1)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则a n=-1+(n-1)d,b n=q n-1.由a2+b2=2得,d+q=3,①

(1)由a3+b3=5得,2d+q2=6 ②

联立①和②解得

(舍去),

因此{b n}的通项公式b n=2n-1.

(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.

解得q=-5或q=4,

当q=-5时,由①得d=8,则S3=21;

当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.

5.(2017·北京高考文科·T15)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.

(1)求{a n}的通项公式.

(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.

【命题意图】本题主要考查等差与等比数列的基本运算,意在培养学生计算能力.

【解析】(1)设等差数列{a n}公差为d,因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,所以d=2.所

(2)设{b n}的公比为q,b2·b4=a5?qq3=9,所以q2=3,

所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q'=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+…

+b2n-1=

()

3n-

【答题模版】1.看到求等差、等比数列的通项公式,想到利用基本元素首项与公差、公比,充分利用题目中条件求解.2.看到求和,想到求数列和的几种类型是分组,还是错位相减,还是并项求和,裂项相消.

6.(2017·北京高考理科·T20)设{a n}和{b n}是两个等差数列,记

c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s 个数中最大的数.

(1)若a n=n,b n=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列.

(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,错误!未找到引用源。>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.

【命题意图】本题主要考查数列的综合.意在培养学生的计算能力及分类意识.

【解析】(1)当n≥1时,c1=max{b1-a1}=max{0}=0,

c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{-1,-1}=-1,

c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2,

所以,对于?n∈N*且n≥2,都有c n=b1-a1n,只需比较b1-a1n与其他项的大小,当k∈N*且1

(b k-a k n)-(b1-a1n)

=[(2k-1)-nk]-1+n=(1-k)n+2(k-1)

=(k-1)(2-n),

因为k-1>0,且2-n≤0,所以b k-a k n≤b1-a1n,

所以c n -c n-1=-1,n ≥2,

又c 2-c 1=-1,

所以{c n }是以c 1=0为首项,d=-1为公差的等差数列.

(2)设{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则b i -a i n=b 1+(i-1)d 2-[a 1+(i-1)d 1]n=(d 2-nd 1)i+b 1-d 2-a 1n+nd 1(i=1,2,…,n).

当d 1>0时,则存在正整数m,当n ≥m 时,d 2-d 1n<0,此时b i -a i n 随i 的增大而减小,所以c n =b 1-a 1n(n ≥m),即c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.

当d 1=0时,b i -a i n=b 1-d 2-na 1+d 2i,①若d 2≤0,则b i -a i n 随i 的增大而不增,所以c n =b 1-a 1n 是等差数列,②若d 2>0,则b i -a i n 随i 的增大而增大,所以c n =b n -a n n=b 1-d 2+(d 2-a 1)n 是等差数列.

所以当d 1=0时,存在m=1,c 1,c 2,c 3…是等差数列.

当d 1<0时,则存在正整数m,当n ≥m 时,d 2-d 1n>0,此时b i -a i n 随i 的增大而增大, 所以当n ≥m 时,c n =b n -a n n,所以n

n c =n

n b -a n =错误!未找到引用源。

+d 2-a 1+d 1-d 1n=A n

+B-d 1n,其中A=b 1-d 2,B=d 2-a 1+d 1. 取正整数m 1>|A|,则当n ≥m 1时,错误!未找到引用源。>-1,取正整数m 2>-

1M B d -+, 则当n ≥m 2时,B-d 1n>B-d 1错误!未找到引用源。=M+1. 令m=max{m 1,m 2},当n ≥m 时,n n

c =错误!未找到引用源。+B-

d 1n>-1+(M+1)=M. 所以当d 1<0时,存在正整数m,当n ≥m 时,错误!未找到引用源。>M,

综上所述,或者对任意正数M,存在正整数m,当n ≥m 时,n n

c >M,或者存在正整数m,使得c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.

7.(2017·天津高考理科·T18)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2

的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.

(1)求{a n}和{b n}的通项公式.

(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).

【命题意图】本题综合考查等差等比数列通项公式及复杂数列求和等问题.考查学生灵活应用基本量的能力,考查学生利用“错位相减”进行数列求和的应用能力.

【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知得:b2+b3=12,即b1(q+q2)=12,又b1=2,所以q2+q-6=0,因为q>0,所以q=2,所以b n=2n,由b3=a4-2a1,S11=11b4得,

3d-a1=8,a1+5d=16,

联立解得,a1=1,d=3,所以a n=3n-2,

所以,{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n-2,b n=2n.

(2)设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n,

由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2n b2n-1=(3n-1)×4n,

故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,

4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,

上述两式相减,得-3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1

=错误!未找到引用源。-4-(3n-1)×4n+1

=-(3n-2)×4n+1-8.

得T n=错误!未找到引用源。×4n+1+错误!未找到引用源。.

所以,数列{a2n b2n-1}的前n项和为错误!未找到引用源。×4n+1+错误!未找到引用源。.【方法技巧】用错位相减法求数列{a n·b n}的前n项和

一般地,如果数列{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,求数列{a n·b n}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在和式的两边同乘以等比数列{b n}的公比,然后错位作差求解.

8.(2017·天津高考文科·T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.

(1)求{a n}和{b n}的通项公式.

(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).

【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,b n=2n.

由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2.

所以,{a n}的通项公式为a n=3n-2,{b n}的通项公式为b n=2n.

(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n,

由a2n=6n-2,

有T n=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,

2T n=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,

上述两式相减,得-T n=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1

=错误!未找到引用源。-4-(6n-2)×2n+1

=-(3n-4)×2n+2-16.

得T n=(3n-4)2n+2+16.

所以,数列{a2n b n}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.

【方法技巧】用错位相减法求数列{a n·b n}的前n项和

9.(2017·山东高考理科·T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.

(1)求数列{x n}的通项公式.

(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…,P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x i(x∈{x n})所围成的区域的面积T n.

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式的求解以及应用错位相减法求数列的和,意在考查考生运算求解能力.

【解析】(1)设数列{x n}的公比为q,由已知q>0,

由题意得错误!未找到引用源。

所以3q2-5q-2=0,

因为q>0,

所以q=2,x1=1,

因此数列{x n}的通项公式为x n=2n-1.

(2)过P1,P2,…,P n+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Q n+1,

由(1)得x n+1-x n=2n-2n-1=2n-1,

记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n,

由题意b n=错误!未找到引用源。×2n-1=(2n+1)×2n-2,

所以T n=b1+b2+…+b n

=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2, ①

又2T n=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1. ②

①-②得

=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-(2n+1)×2n-1,

T n =错误!未找到引用源。.

【误区警示】利用错位相减法求数列的和时容易出现以下两点失误

(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.

(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的n-1项和当作n 项和.

10.(2017·山东高考文科·T19)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+ a 2=6,a 1a 2=a 3.

(1)求数列{a n }的通项公式.

(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n ,已知S 2n+1=b n b n+1,求数列n n b a ??????????

的前n

项和T n .

【命题意图】本题考查等比数列的概念及通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式的应用,应用错位相减法求数列的和,意在考查考生的运算求解能力、转化与化归的能力.

【解析】(1)设{a n }的公比为q,

由题意知:a 1(1+q)=6,21a q=a 1q 2,

又a n >0,

解得:a 1=2,q=2,

所以a n =2n .

(2)由题意知:S 2n+1=错误!未找到引用源。=(2n+1)b n+1,

又S 2n+1=b n b n+1,b n+1≠0,

所以b n =2n+1,令c n =n n

b a , 则

c n =21

2n n +,

因此T n =c 1+c 2+…+c n

2+…+1

又1

T n=

+…+

两式相减得1

T n=

111

222n-

++???+

所以T n=5-25 2n

【误区警示】利用错位相减法求数列的和时容易出现以下两点失误:

(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.

(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的n-1项和当作n项和.

11.(2017·江苏高考·T19)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.

(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”.

(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.

【命题意图】本题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.

【证明】(1)因为错误!未找到引用源。是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,

从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d

=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,

所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,

因此等差数列错误!未找到引用源。是“P错误!未找到引用源。数列”.

(2)数列错误!未找到引用源。既是“P错误!未找到引用源。数列”,又是“P错误!未找到引用源。数列”,因此,

当n ≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n .②

由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n +a n+1),③

a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n ),④

将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n ,其中n ≥4,

所以a 3,a 4,a 5,…是等差数列,设其公差为d'.

在①中,取n=4,则a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4,所以a 2+a 3+a 3+2d'+a 3+3d'=4(a 3+d'),

即a 2=a 3-d',

在①中,取n=3,则a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3,因为a 3=a 2+d',所以a 1+a 2+a 2+2d'+a 2+3d'=4(a 2+d'), 即a 1=a 2-d',

所以数列{a n }是等差数列.

12.(2017·浙江高考·T22)已知数列错误!未找到引用源。满足:x 1=1,x n =x n+1+ln 错误!未找到引用源。.

证明:当n ∈N *时

(1)0

(2)2x n+1-x n ≤错误!未找到引用源。.

(3) 112

n -≤x n ≤2 12n -. 【命题意图】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识,不等式及其应用,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.

【解析】(1)用数学归纳法证明:x n >0,

当n=1时,x 1=1>0,

假设n=k 时,x k >0,

那么n=k+1时,若x

k 1+≤0,则00.

因此x n >0(n ∈N *),

所以x n=x n+1+ln(1+x n+1)>x n+1,

因此0

(2)令g(x)=[x+ln(1+x)]错误!未找到引用源。-[x-ln(1+x)]=错误!未找到引用源。ln(1+x)+错误!未找到引用源。-x,x>0,则g'(x)=错误!未找到引用源。ln(1+x)+错误!未找到引用源。+x-1=错误!未找到引用源。ln(1+x)-错误!未找到引用源。+x=错误!未找到引用源。ln(1+x)+错误!未找到引用源。+x-错误!未找到引用源。.令h(x)=错误!未找到引用源。ln(1+x)+错误!未找到引用源。+x-错误!未找到引用源。,

则h'(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+1=

252

2(1)

x x

>0,所以h(x)单调

递增,所以h(x)>h(0)=0,即g'(x)>0,g(x)单调递增,所以

g(x)>g(0)=0?

[x+ln(1+x)]错误!未找到引用源。>x-ln(1+x),所以2x n+1-x n=x n+1-ln(1+x n+1)

<[x n+1+ln(1+x n+1)]错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以结论成立.

(3)由于x>0时,ln(1+x)≤x,

所以x n=x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,

所以x n+1≥错误!未找到引用源。x n≥错误!未找到引用源。x n-1≥…≥错误!未找到引用源。x1=错误!未找到引用源。,

所以x n≥错误!未找到引用源。,

由错误!未找到引用源。≥2x n+1-x n得,

错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。,

所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。≥2错误!未找到引用源。>0,

所以11

-≥2错误!未找到引用源。≥…≥2n-1错误!未找到引用源。=2n-2,

故x n≤错误!未找到引用源。,

综上,错误!未找到引用源。≤x n≤错误!未找到引用源。(n∈N*).

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