中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(金融衍生工具定价理论)【圣才出品】
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(债券及其定价理论)【圣才出品】
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E．1000
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【答案】B
【解析】已知 N=700，P＝670.60，K＝372.05，r=10%÷2=5%，n=10。
①由基本公式
，得：
670.6=372.05＋700×5%× ，
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K=Cvn=1050（1＋0.05）-20=395.734， G=Nr/i=42/0.05=840， t1=20%。 解法①：利用基本公式。
=33.6×12.4622＋395.734=814.46（元）； 解法②：利用溢价/折价公式。
乙债券：面值和期满赎回价均为 1000，债券期限为 2n 年，年息票率为 7%（每半年计 息一次），债券年利率为 5%（每半年计息一次），则乙债券的价格为（ ）。
A．1375 B．1475 C．1675 D．2100 E．2675 【答案】A 【解析】①对于甲债券，由题意，得：
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第 5 章 债券及其定价理论
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．（2008 年真题）一个 5 年期的债券，面值为 1000 元，半年度支付的息票率为 10%， 到期按面值偿还；假设购买该债券将产生半年度转换 12%的收益率，则分期偿还表上利息 支付的总和为（ ）元。
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E．14
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中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(利率期限结构理论)【圣才出品】
可得 y3=6.33%。
8．第 3 年预计的远期利率是（ ）。 A．6% B．7% C．8% D．9% E．10% 【答案】C 【解析】解法①：设第 3 年预计的远期利率为 f3，则：
（1＋y3）3=（1＋y2）2×（1＋f3） （1.0633）3=（1.055）2×（1＋f3） 1＋f3=（1.0633）3／1.0552=1.08，f3=8.0％ 解法②：831.92（1＋y3）3=1000，898.47（1＋y2）2=1000，所以
4．一张 4 年期的面值是 1000 美元且息票率是年付 10％，并且在到期日按面值 1000 元兑付。则该债券的价格是（ ）美元。
A．1070.35
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B．1072.40
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C．1074.40
D．1079.35
E．1080.35
12．如果一只 3 年期的零息债券的收益率是 6.8％，第 1 年的远期利率是 5.9％，第 2 年的远期利率是 6.6％，那么第 3 年的远期利率是（ ）。
A．7.85％ B．7.87％ C．7.89％
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D．7.91％Байду номын сангаас
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E．7.93％
【答案】D
【解析】3 年期的远期利率为：
f3=（1.068）3／（1.059×1.066）-1=7.91％
13．1 年期债券的到期利率是 6.3％，2 年期零息债券的到期利率是 7.9％，第 2 年的 远期利率是（ ）。
【答案】B
【解析】计算 1 年期和 4 年期零息债券的到期收益率分别为：
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(年 金)【圣才出品】
，
。
5．已知 年秋季真题]
A．0.0506 B．0.0517 C．0.0526 D．0.0536 E．0.0552 【答案】A
【解析】由
，由此可计算 为（ ）。[2011
得 得
，解得 。
，又由 ，因此
6．现有两个期限均为 50 年的年金：
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春季真题]
A．4265972
B．4272801
C．4283263
D．4294427
E．4303612
【答案】D
【解析】设月实际利率为 i，则
。
第 10 年末，也即第 120 次支付后，累计值为：
10． （2008 年真题）某永久年金在第一年末支付 1，第二年末支付 3，第三年末支付 5，……， 则该年金的现值为（ ）。
B．0.0286
C．0.0333
D．0.0476
E．0.0571
【答案】E
【解析】由于
于是
8．某人在未来 15 年中每年年初向银行存入 5000 元，前五年的年利率为 5.6%，中间 五年的年利率下调为 3.7%，后五年由于通货膨胀影响，年利率上调至 8.9%，则第十五年 年未时，这笔款项的积累额为（ ）。[2011 年春季真题]
A．2379072 B．2380231 C．2381263
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D．2382009
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E．2383089
【答案】E
【解析】两个月的实际利率为：
，共支付
次，
因此该年金在第三末的积累值为
。
4．下列表达式正确的为（ ）。[2011 年秋季真题] A． B．
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)-第9~10章【圣才出品】
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
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【解析】因为
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(收益率)【圣才出品】
第3章收益率单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．李先生第一年初投资10000元，第二年初投资5000元。
以后每年初投入1000元。
总共投资10次。
从第七年起，开始收回投资及回报：第七年初收回8000元，第八年初收回9000元，…，第11年初收回12000元。
具体现金流情况如表3-1所示。
设利率i=0.08，则该现金流的现值为（）元。
表3-1 现金流量表A．6800.93B．6801.93C．6803.93D．6805.93E．6807.93【答案】D【解析】i=0.08，所以，故现金流的现值为：=6805.93（元）。
2．当利率=（）时，第2年末支付2000元、第4年末支付3000元的现值之和为4000元。
A．4.3%B．5.3%C．6.3%D．7.3%E．8.3%【答案】D【解析】该现金流为：R0=4000，R2=－2000，R4=－3000。
所以，由于，故解得：=0.868517，又v=1/（1＋i），所以i=（1－v）/v=7.3%。
3．有甲、乙两个投资额相同的项目，甲投资项目为期20年，前10年的收益率为15%；乙投资项目为期20年，收益率为12%。
则甲投资项目后10年的再投资收益率为（）时，能使甲、乙两个投资项目在20年投资期中收益率相等。
A．6.50%B．7.08%C．7.50%D．8.08%E．9.08%【答案】E【解析】根据题意得：1.1510（1＋i）10=1.1220，所以。
4．某人在期货交易市场上先投入10000元买入1年期期货，一年后作为现货卖出且另外卖空一部分一年期期货，共24500元，又过一年，投入15000元买入现货支付到期期货。
则该投资人的投资收益率为（）。
A．20%B．22%C．20%或22%D．20%或25%E．22%或25%【答案】D【解析】根据题意，现金流为：R0=－10000，R1=24500，R2=－15000，则由得：即=0，=0，所以i=0.2或i=0.25。
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)第5章 债券及其定价理论 【圣才出品】
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A．7%
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B．7.82%
C．8%
D．11.95%
E．12%
【答案】C
【解析】因购买此债券时的收益率为 8%，第一年收到利息后将债券卖出，获得的收益
率仍为 8%，故这年的总收益率为 8%。
6．面值 1000 元的 10 年期债券，票息率为每年计息两次的年名义利率 8.4%，赎回值 为 1050 元，票息所得税率为 20%。若按每年计息两次的年名义收益率 10%购买，则该债 券的价格为（ ）元。
所以
，可知 i＝0.03。
②由 K=Cvn=C（1＋i）-n，得：
372.05=C·1.03-10，
解得：C=500。
8．（样题）甲债券：面值和期满赎回价均为 1000，债券期限为 n 年，年息票率为 c（每 半年计息一次），在年利率 5%（每半年计息一次）下购买价为 P，若年息票率为 c－0.02（每 半年计息一次），则债券的购买价为 P－300。
A．58.65
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B．59.70
C．60.32
D．61.12
E．62.34
【答案】A
【解析】当债券在第 5 年末赎回时，其价格为：
P 1000 3% a10 0.035 1000 1.03510当债在第 10 年末赎回时，其价格为：
10M=15×1.6×M×v6 解得：i=v-1－1=15.7%。
5．（2008 年真题）你一年前购买了一种年付息债券，从那时算起还有 6 年到期，债券 的息票率为 10%，面值为 1000 元。在你买此债券时，债券的收益率为 8%，如果你在第一 年收到利息后将债券卖出，债券的收益率仍为 8%，则你那年的总收益率为（ ）。
金融衍生工具计算题
3、按12%的利率贷出一笔一年期的款项金额1000万元
4、一年后收回贷款本息1000 e0.12（1 1127万元），并用
1051 e0.11（0.51110万元）偿还一年期债务后，交易者净赚17
万元，即
1127-1110=17（万元）
无收益资产远期协议的定价
所谓无收益资产即为到期日前不产生现金流的资产。
上述公式即为国际金融领域著名的利率平价关系 ——利差决定汇差。
• 指数期货定价案例 假设2007年3月1日，标准普尔股票价格指数价格
是3000美元，连续红利收益率为3.5%，无风险利率为 8%，那么这时一份6个月到期的股指期货的价格是多 少？ 解：连续红利收益率可以理解为股指对应的投资组 合在相应期限内的已知收益率。那么由定价公式得：
及相应交割差距计算结果如下表列示：
国债
报价
1
144.50
2
120.00
3
99.80
转换因子
151.86 126.14 103.80
2、比较，选择交割差距最小者； 显然，交割最合算的国债是国债2
交割差距
144.5-93.5×1.5186=2.5109 120-93.5×1.2614=2.0591 99.8-93.5×1.038=2.747
F 3000 e(8%3.5%)(8/122/12) 3068.2（7 美元） 注：时间是3月1日至9月1日，即T-t可以理解为8/12-2/12.
即期利率与远期利率的关系
• 由无套利定价原理可得下列公式：
e e r (T t )
r1 (T1 T )
er2 (T1t ) ——（1）
根据公式 f Aer (T t ) (1 e(rk r1 )(T1T ) ) 得： f 100e0.105(20) (1 e(0.110.12)(32) ) 8065.3（1 元） 故该远期利率协议多头的价值是8065.31元
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(投资组合理论)【圣才出品】
根据表 10-4 回答 9~10 题。
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表 10-4
U=E（r）－0.005Aσ2，A=4。 9．根据上面的效用函数，下面最值得投资的是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 E．无法判断 【答案】D 【解析】效用如下所示，
D．3.8
E．3.9
【答案】B
【解析】如果无差异，则两种投资的效用就应该一样。对于无风险资产，标准差是零，
资产的效用就是预期收益，即 U=0.04。因此有风险的投资效用也是 0.04。通过效用函数
0.04=0.14-0.5A×0.252，解得 A=3.2。
利用表 10-1 的信息回答 2～4 题。
表 10-1
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表 10-2
A．B、F B．A、D、E C．C、E、F D．C、D E．C、D、F 【答案】E 【解析】表 10-3 展示了哪一个投资是有效的。
表 10-3
所以正确答案为 E。
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【解析】对两个投资无差异，则两个投资的效用必然相同。由于国库券是无风险的，它
的效用是 4%的收益率，通过效用函数 0.04=0.14-0.005A×0.252，解得 A=320。
12．假设一个回避风险的投资者。投资组合 1 的期望收益率是 14%，标准差σ=0.18； 投资组合 2 的标准差σ=0.25，年末现金流为 5000 和 14000 美元的概率是相等的，若在投 资组合 1 和投资组合 2 的选择上没有差别，则投资组合 2 的价格是（ ）。
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第9章金融衍生工具定价理论
1．某股票的当前价格为50美元，已知在6个月后这一股票的价格将变为45美元或55美元，无风险利率为10％（连续复利）。
执行价格为50美元，6个月期限的欧式看跌期权的价格为（）美元。
A．1.14
B．1.16
C．1.18
D．1.20
E．1.22
【答案】B
【解析】①考虑下面这个组合：－1：看跌期权，＋△：股票
如果股票价格上升到55美元，组合价值为55△。
如果股票价格下降到45美元，组合价值为45△－5。
当45△－5=55△，即△=－0.50时，两种情况下组合价值相等，此时6个月后的组合价值为－27.5美元，当前的价值必定等于－27.5美元的现值，即：
（美元）
这意味着：
其中，pp是看跌期权价格。
由于△=－0.50，看跌期权价格为1.16美元。
②使用另一种方法，可以计算出风险中性事件中上升概率p，必定有下式成立：
得到：
即p=0.7564。
此时期权价值等于按无风险利率折现后的期望收益：
（美元）这与前一种方法计算出的结果相同。
2．某股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票价格或者上涨10％或下跌10％，无风险利率为每年8％（连续复利），执行价格为100美元，1年期的看跌期权的价格为（）美元。
A．1.92
B．1.95
C．1.97
D．1.98
E．1.99
【答案】A
【解析】图9-1给出利用二叉树图为看跌期权定价的方法，得到期权价值为1.92美元。
期权价值也可直接通过方程式得到：
（美元）
图9-1 二叉树图
3．某股票的当前价格为50美元，已知在2个月后股票价格将变为53美元或48美元，无风险利率为每年10％（连续复利），执行价格为49美元，期限为2个月的欧式看涨期权价格为（）美元。
A．2.29
B．2.25
C．2.23
D．2.13
E．2.07
【答案】C
【解析】①两个月结束的时候，期权的价值或者为4美元（如果股票价格为53美元），或者为0美元（如果股票的价格为48美元）。
考虑一份资产组合的构成：＋△：股票，－1：期权。
两个月后组合的价值或者为48Δ或者为53Δ－4。
如果：
也即：
资产组合的价值为38.4美元（48×0.8或者53×0.8－4）。
因此对于组合来说，Δ的值是无风险的。
组合的现值为：
其中f是期权的价值。
因为组合必须以无风险的利率盈利：
也即：
（美元）
因此期权的价值为2.23美元。
②可以直接运用公式：
其中：
由题意知，u=1.06，d=0.96，因此：
（美元）可见，两种方法结果一致。
4．某股票的当前价格为80美元，已知在4个月后股票价格将变为75美元或85美元，无风险利率为每年5％（连续复利），执行价格为80美元，期限为4个月的欧式看跌期权
价格为（）美元。
A．1.65
B．1.71
C．1.73
D．1.75
E．1.80
【答案】E
【解析】①4个月结束时，期权的价值或者为5美元（如果股票价格为75美元），或者为0美元（如果股票的价格为85美元）。
考虑一份资产组合的构成：－△：股票，＋1：期权。
参数delta（Δ）在看跌期权中为负值。
构建的这份资产组合为＋1份的期权和－Δ份的股票，以此保证初始投资为正。
4个月后组合的价值或者为－85Δ或者为－75Δ＋5。
如果：
也即：
资产组合的价值为42.5美元。
对于组合来说，Δ的值是无风险的。
组合的现值为：
其中f是期权的价值。
因为组合必须以无风险的利率盈利：
也即：
（美元）
因此期权的价值为1.80美元。
②可以直接运用公式：
其中：
由题意得，u=1.0625，d=0.9375，因此：
（美元）可见，两种方法结果一致。
5．某股票的当前价格为40美元，已知在3个月后股票价格变为45美元或35美元，无风险利率为每年8％（连续复利），则执行价格为40美元，期限为3个月的欧式看跌期权价格为（）美元。
A．2.06
B．2.09
C．2.13
D．2.25
E．2.65
【答案】A。