二阶常系数齐次线性微分方程的解法一
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第八章 讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' 1的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 1变成0=+'+''qy y p y 2我们把方程2叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式1叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式2的两个解, 则2211y C y C y +=也是式2的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程2的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程2的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程2的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式2的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间a,b 内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式2的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数是方程式2的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=21,C C 是任意常数是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =r 为常数和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程2.将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程2,得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r 3只要r 满足方程式3,rx e y =就是方程式2的解.我们把方程式3叫做方程式2的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程2y y y ,,'''的系数. 特征方程3的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式2的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时,21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程2的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程2的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程2的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程2, 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程3的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程2的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程2的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程3有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, 0≠β于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程2的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程2的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程2的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:1写出方程2的特征方程02=++q pr r2求特征方程的两个根21,r r3根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程2的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程1的一个特解,Y 是式1所对应的齐次方程式2的通解,则*+=y Y y 是方程式1的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程1的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程1的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程1的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程1的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' 4 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程4的特解, 非齐次线性方程1的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程1的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程1的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程1并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 5以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:1 若λ不是方程式2的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式5的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入5式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*2 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式5成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.3 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使5式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式,可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式1中的x m e x P x f λ)()(=,则式1的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式1成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' 7这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式7的特解*y 也应属同一类型,可以证明式7的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω,ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根,0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程,得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
10.6二阶常系数齐次线性微分方程
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主 ・.・e’x 特征0方, 程
特征根 ％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例 ， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解 特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊 特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分 方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程 第十章微分方程与差分方程
主讲 韩华
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二阶常系数齐次线性微分方程的解法
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二阶常系数齐次线性微分方程的解法
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 y''+py'+qy = 0（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，求解步骤： （1）特征方程：λ2+pλ+q = 0; （2）根据特征方程的根分为以下三种情形：
2、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 y''+py'+qy = f（x）（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，根据f（x）的不同形式可将求特解方程分为如下两 种情况： （1）f（x）=Pn（x）ekx
（2）f（x]
4.6 二阶常系数齐次线性微分方程
r1
(二重根） 二重根）, 则通解为
r1,2 = α ± iβ ,
则通解为
③根据特征方程的两个根的不同形式,按照下列规则写 出微分方程的通解:
y=e
αx
( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
3
例1 求解微分方程 解 特征方程为
y′′ + y′ − 6 y = 0.
例2 求解微分方程 y′′ + 4 y′ + 4 y 解 特征方程为
x
x x 容易验证 y1 =e 和 y2 = 2e
都是方程的解. 但函数
探索一下原因:
x
y = C1e + C2 2e ,
虽是该方程的解， 虽是该方程的解，却不是通解。 却不是通解。因为上面的函数中 虽形式上包含两个任意常数， 虽形式上包含两个任意常数，而由于
函数
ex
和
2e x 是成比例的, 因此它们的线性组合
即
y = ( C1 + C2 x ) er1x .
u′′ + ( 2r1 + p ) u′ + ( r12 + pr1 + q ) u = 0.
r12 + pr1 + q = 0, 且 2 r1 + p = 0,
因r 是特征方程的二重根，故 1 是特征方程的二重根，
㈢ p − 4q < 0. 特征方程有一对共轭复根 特征方程有一对共轭复根 r 1 , r2 ,
αx
( cos β x + i sin β x ) , ( cos β x − i sin β x ) .
y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。
一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。
2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。
2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。
四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。
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时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
因此原方程的通解为 特征方程
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
小结:
特征方程: 特征根 实根
通
解
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
例1. 解: 特征方程
的通解. 特征根:
因此原方程的通解为
例2. 解: 特征方程 因此原方程的通解为
常数， 则
是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
故方程的通解为
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
①
所以令①的解为
和它的导数只差常数因子,
r( 为待定常数 ),
代入①得
称②为微分方程①的特征方程,
② 其根称为特征根.
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
1. 当
时, ②有两个相异实根
的通解. 特征根:
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
例3. 求解初值问题
解: 特征方程 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为
有重根
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
例4. 解: 特征方程
的通解. 特征根:
因此原方程的通解为§7.3 二阶常来自数齐次线性微分方程内容小结
(1) 当 (2) 当 (3) 当
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
则微分
2. 当
时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
设另一特解 代入方程得:
( u (x) 待定)
取 u = x , 则得 特征方程
是特征方程的重根 因此原方程的通解为
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
3. 当
特征根: 时, 通解为 时, 通解为 时, 通解为
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
思考与练习
求方程 答案:
的通解 . 通解为 通解为
通解为
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
作业 P198: 2(1)(2)(4), 3(1)(2)
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程概念和解的结构
二阶常系数齐次线性微分方程: ①
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
定理1.
是二阶线性齐次方程
的两个解, 也是该方程的解.
证:
(叠加原理)
代入方程左边, 得
证毕
§7.3 二阶常系数齐次线性微分方程
定理 2.
是方程①的两个特解, 且