高(二)阶常系数线性微分方程-齐次方程解法
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程（HCCLDE）是一类常见的微分方程，由一个高次项和多个常系数组成。
它可以用来描述许多物理系统的运动规律，如波动方程，动力学系统，电磁学系统等。
因此，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一件重要而又复杂的工作。
首先，为了解决HCCLDE，需要根据给定的方程确定一
个基本的解，可以使用求解基本解的常用方法，如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开等。
其次，要求出方程的通解，需要对基本解进行叠加，也就是找到该方程的特解，可以采用求解特解的常用方法，如换元法、拉普拉斯变换、Laplace变
换等。
最后，将基本解和特解叠加，就可以得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解。
为了求解HCCLDE，必须了解其特性，并利用相应的数
学方法。
根据HCCLDE的特性，可以把HCCLDE的解分为基本解和特解，并通过叠加这两类解得到它的通解。
此外，可以利用常用的方法求解基本解和特解，例如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开、换元法、Laplace变换等。
总之，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一项复杂的任务，需要结合相关知识和技术，并利用一些常用的数学方法来解决。
通过了解HCCLDE的特性，可以将它的解分为基本解
和特解，并将它们叠加，最终得到HCCLDE的通解。
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程-精选文档
(常数)
定理3
若
y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
Y y y 就是方程(2)的通解。
定理4 若 y 1 , y 2 分别是方程
a y b y c y f () x 1
与 a y b y c y f () x 的特解, 那么 y y 1 y 2 2
x 2
3
x
e 2x
x
x
根据例1知道该方程所对应的齐次方程的通解 ,所以该方程的通解为 yce cx 1 2 e x x 1 3 x Y ce cx 1 2 e xe 3
x
二、二阶线性常系数齐次微分方程求通解的方法
a y b y c y 0
由定理知，要求齐次线性方程的通解，只要 求出它的两个线性无关的特解即可.
ye
x
y e
代入齐次方程得
y e （ 为常数） 2 x x x a e b e c e 0
2 x
x
e( a b c ) 0
x
2
e( a b c ) 0 e
x
2
x
0
a b c 0
二阶线性常系数微分方程
一. 二阶线性常系数微分方程解的性质
二. 二阶线性常系数齐次微分方程求解的方法
形如
a y b y c y fx () （其中 a , b , c 为常数）
即
叫做二阶线性常系数微分方程 当
f ( x) 0
a y b y c y 0 (1 )
bcy acy ( 1 1 cy ccy ( 1 1 cy ( 1 1 cy ) 2 2) 2 2) 2 2
高于二阶的常系数线性齐次微分方程
关于高于二阶的常系数线性齐次微分方程如果复数bi a z +=的模为r ，辐角为θ（πθ20<≤），则有)sin (cos θθi r z +=．利用欧拉公式x i x ix sin cos e +=，则有θi r z e =．而它的n 次方根为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++==+n k i n k r r z n i n k n n θπθπθπ2sin 2cos e 21，其中1,,2,1,0-=n k ． 而记号n r 只表示正数r 的n 次算术根．值得注意的114=是算术根，而411表示的不是“一个”值，而是多个值：)2sin 2(cos 11441ππk i k +=，3,2,1,0=k ． 二．根据特征根（极其重数）正确写出通解中的项．若实数a 为k 重特征根，则通解中对应的项为ax k k e x C x C x C C )(12321-++++ ，若复数i βα±为k 重特征根，则通解中对应的项为x x C x C x C C k k ax βcos )[(e 12321-++++]sin )(12321x x D x D x D D k k β-+++++ ．下面举若干例子来说明：【例1】求微分方程)0(0)9(62>='++''+'''a y a y y 的通解（本题根据1987年试题改编，原题“1)9(62='++''+'''y a y y ，)0(>a ”是非齐次方程，现在把其自由项删去了）．【解】特征方程为0)9(6223=+++r a r r ，即0])3[(22=++a r r ，得到特征根为01=r ，ai r ±=33,2，所以通解为]sin cos [e 3231ax C ax C C y x ++=-．【例2】求微分方程0222)4(=''+'''-y y y 的通解． 【解】特征方程为0222234=+-r r r ，即0)2(22=-r r ，得到特征根为02,1=r ，24,3=r ，所以通解为x x C C x C C y 24321e)(+++=． 【例3】（2000年试题）具有特解x y -=e 1，x x y -=e 22，x y e 3=的三阶常系数齐次线性微分方程是 （ ）（A ）0=+'-''-'''y y y y ； （B ）0=-'-''+'''y y y y ；（C ）06116=-'+''-'''y y y y ； （D ）022=+'-''-'''y y y y ．【解】由题意可知1-=r 是特征方程的二重特征根，而1=r 是单根（一重根），所以特征方程为0)1()1(2=-+r r ，即0123=--+r r r ，于是可知正确的选项是（B ）．【例4】求微分方程0)4()5(=+'+''+'''++y y y y y y 的通解．【分析与解】本题就是苏冬泊同学提问的原题，这里回答得稍详细一些．主要也就是在【求特征方程为012345=+++++r r r r r 特征根】的方法上．方法（一）▲因式分解 )1)(1()1()()(12423452345+++=+++++=+++++r r r r r r r r r r r r r)1)(1)(1(])1)[(1(22222+++-+=-++=r r r r r r r r ．即可得特征根为11-=r ，i r 23213,2±=，i r 23215,4±-=． 方法（二）▲根据等比数列求和公式，在1≠r （1=r 本来就不是特征根）时，特征方程可化为0116=--r r ，即)1(16≠=r r ，所以3sin 3cos 3πππk i k e r i k k +==，除了0=k 不符合要求外，1=k ，2，3，4，5所对应的四个复数特征根为：i r 23215,1±=，i r 23214,2±-=，另有一个实根为13-=r ．最后可得其通解为)23sin 23cos (e )23sin 23cos (e e 542132211x C x C x C x C C y x x x ++++=--． 下面再给大家两个思考题．【思考题1】具有特解21x y =，x y 2cos 2=的最低阶常系数齐次线性微分方程是：______．【答案】02)5(='''+y y ．【提示】由题意可知特征方程至少有一个0=r 是三重实根，i r 2±=是一对共轭复数根．【思考题2】（适合数学一）设幂级数 +++++n x n x x 484)!4(1!81!411在收敛域),(+∞-∞上的和函数为)(x S ．（1）试证明：函数)(x S 是微分方程0)()()4(=-x S x S 的一个特解；（2）利用第一小题的结论，求 )(x S ． 【答案】x x S x x cos 21)e e (41)(++=-． 【提示】必须先确定初初始条件1)0(=S ，0)0()0()0(='''=''='S S S ．。
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二阶常系数齐次线性微分方程的解法
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二阶常系数齐次线性微分方程的解法
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 y''+py'+qy = 0（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，求解步骤： （1）特征方程：λ2+pλ+q = 0; （2）根据特征方程的根分为以下三种情形：
2、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 y''+py'+qy = f（x）（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，根据f（x）的不同形式可将求特解方程分为如下两 种情况： （1）f（x）=Pn（x）ekx
（2）f（x]
二阶常系数齐次线性方程解法
4
3. y f ( y, y)型
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
第三节 二阶微分方程
§5.3.1 特殊二阶微分方程 §5.3.2 二阶线性微分方程 §5.3.3 二阶常系数线性微分方程
1
§5.3.1 特殊二阶微分方程
1. y '' f (x) 型
积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数， 可由初始条件确定这两个任意常数.
2. y '' f (x, y ')型
这种类型方程右端不显含未知函数 y，可先把 y '
看作未知函数.
2
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
例 1. 求方程 y '' y ' ex的通解.
15
定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解 有通解
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定义 设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间 I 内
n 的n个函数．如果存在 个不全为零的常
数，使得当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相
关．否则称线性无关。
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
例3：求微分方程y''-2y' 5 y 0的通解
解：特征方程2 2 5 0 特征根为一对共轭虚根1 1 2i，2 1 2i
故通解为：y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
练习1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 4r 4 0 ,
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
y py qy f ( x)
当 f ( x) 0时， 二阶常系数线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性非齐次微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:
y py qy 0
(1)
2.二阶齐次微分方程的解的结构:
(2)求出特征方程的两个根1、2
(3)根据特征根的不同情况写出通解
例1：求微分方程y''+4y' 3y 0的通解 解：特征方程2 +4 3 0 特征根为1 3，2 1
故通解为：y C1e3x C2ex
例2：求解初值问题
y
y'' +4y' 4 y 0 x0 1, y' x0 2
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
(1)有两个不相等的实根( 0)
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
§9.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f (x) (2)
对应齐次方程
y py qy 0 (1)
一、二阶非齐次线性方程的解的结构
定理 4 设 y*是二阶非齐次线性方程
y py qy f ( x)
(2)
例如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且 y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x.
3.二阶齐次微分方程(1)通解的求法:
由定理3知，求二阶齐次方程(1)的通解，关 键是求出方程的两个线性无关的特解。
根据观察，方程(1)的解应该具有特征： 函数、函数的一阶导数、函数的二阶导数， 其表达式由同类项构成，即求一阶、二阶导以后 函数的形式不变，只有这样，它们的线性组合才
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
求二阶齐次线性微分方程y'' py' qy 0 通解步骤如下：
(1)写出y'' py' qy 0的特征方程2 p q 0
y2 f w(
(x) x)
,
c2 ( x)
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
特别地: 若在I上有 y1( x) k(常数)， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
定理2 二阶齐次方程(1)有且仅有两个线性 无关的解。
定理 3 ：如果 y1 ( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线
性无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2就是方程(1) 的通解.
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
例如：求方程 y 4 y x2 3e x 的特解.
可以看出 y 4 y x2 及 y 4 y 3e x 的特解
为 1 x2 1 和 3 e x , 故原方程的特解: 1 x2 1 3 e x .
4 85
可能恒等于零。故可设其解为：y e x
4.二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法: 用常系数齐次线性方程的 特征方程的根确定 y py qy 0 通解.
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
f (x)
定理 5 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而 y1*与 y2*分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x) 特解的叠加原理
反之：
已知 y1 er1x , y2 er2x为方程的两个特解
如何求微分方程？
r1, r2为特征方程的根
则特征方程为(r r1)(r r2 ) 0
r 2 (r1 r2 )r r1r2 0
微分方程为 y (r1 r2 ) y r1r2 y 0
3、 有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i ,
r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
y1 ex (cos x i sin x),
y2 ex (cos x i sin x),
重新组合
y1
(2) 有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u
(2r1
p)uBiblioteka (r2 1
pr1
q)u
0,
=0
=0
知 u 0, u( x) c1 x c2 , 取 u( x) x,
1 2
(
y1
y2 )
ex cos x,
y2
1( 2i
y1
y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
总结:
y py qy 0
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
特征方程为：(r 1)(r 2) 0 r2 r 2 0
齐次方程为y y 2 y 0
微分方程为y y 2 y e x 2xex
例5 已知x sin t是二阶常系数线性齐次微分方程 的一个特解，求此微分方程。 解： 特征根r1，2 i 特征方程为：r 2 1 0 齐次方程为 x x 0
c1( x) y1 c2 ( x) y2 f ( x)
(5)
(4),(5)联立方程组
cc11
( (
x x
) )
y1 y1
c2( x) y2 c2( x) y2
0 f
(x)
系数行列式 w( x) y1 y2 0, y1 y2
c1(
x)
解：特征方程2 +4 4 0 特征根为1 2 2
故通解为：y (C1 C2 )e2x y' (C2 2C1 2C2x)e2x
将条件y x0 1, y' x0 2 代入以上两式中得
C1 1，C2 0
故所求特解为y e2x
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是
常数） 问题: y C1 y1 C2 y2一定是通解吗？
y1是解，y2 2 y1也是解 c1 y1 c2 y2 (c1 2c2 ) y1不是通解
例6 求微分方程 y ay 0的通解。 解：r 2 a 0 (1)a 0, r1 r2 0 y1 1, y2 x y c1 c2 x (2)a 0,r1，2 ai y1 cos ax, y2 sin ax
y c1 cos ax c2 sin ax (3)a 0, r1，2 a y c1e ax c1e ax
的一个特解, y 是与(2)对应的齐次方程(1)的 通解, 那么 y y y*是二阶非齐次线性微分方
程(2)的通解. 证明：y y y
y y y
则y y P( x)( y y ) Q( x)( y y )
y P( x) y Q( x) y y P( x) y Q( x) y
n阶线性微分方程 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x). 当Pi ( x)为常数时，称为n阶常系数线性微分方程； 否则，称为变系数线性微分方程。 二阶和二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。