高(二)阶常系数线性微分方程-齐次方程解法

§9.3 高阶常系数线性微分方程
一、概念
二阶线性微分方程
d 2 y P( x) dy Q( x) y f ( x)
dx 2
dx
当 f ( x) 0时， 二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
其中，P(x)、Q(x)、f(x)为x的已知函数；
当P(x)、Q(x)为常数时，称为常系数二阶线性 微分方程；否则为变系数二阶线性微分方程。
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
(1)有两个不相等的实根( 0)
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y

C e r1x 1

C2e r2x ;
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是
常数） 问题: y C1 y1 C2 y2一定是通解吗？
y1是解，y2 2 y1也是解 c1 y1 c2 y2 (c1 2c2 ) y1不是通解
例3：求微分方程y''-2y' 5 y 0的通解
解：特征方程2 2 5 0 特征根为一对共轭虚根1 1 2i，2 1 2i
故通解为：y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
练习1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 4r 4 0 ,
解得 r1 r2 2 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
练习2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2i, 故所求通解为
y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
例4 已知y1 xe x e2x , y2 xe x , y3 xe x e2x e x 是二阶常系数线性非齐次微分方程 y py qy e x 2xe x 的三个特解，求此微分方程。
解：y1 y3 ex , 特征根r1 1 y1 y2 e2x , 特征根r2 2


y2 f w(
(x) x)
,
c2 ( x)
特征方程为：(r 1)(r 2) 0 r2 r 2 0
齐次方程为y y 2 y 0
微分方程为y y 2 y e x 2xex
例5 已知x sin t是二阶常系数线性齐次微分方程 的一个特解，求此微分方程。 解： 特征根r1，2 i 特征方程为：r 2 1 0 齐次方程为 x x 0
反之：
已知 y1 er1x , y2 er2x为方程的两个特解
如何求微分方程？
r1, r2为特征方程的根
则特征方程为(r r1)(r r2 ) 0
r 2 (r1 r2 )r r1r2 0
微分方程为 y (r1 r2 ) y r1r2 y 0
则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
反之：
已知 y xer1x , 为方程的一个特解 如何求微分方程？
r为特征方程的重根
则特征方程为(r r1 )2 0 r 2 2r1r r12 0
微分方程为 y 2r1 y r12 y 0
复根r1,2 i
通解的Baidu Nhomakorabea达式
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
求二阶齐次线性微分方程y'' py' qy 0 通解步骤如下：
(1)写出y'' py' qy 0的特征方程2 p q 0
的特解,
那么
y* 1

y* 2
就是原方程的特解.
例如：求方程 y 4 y x2 3e x 的特解.
可以看出 y 4 y x2 及 y 4 y 3e x 的特解
为 1 x2 1 和 3 e x , 故原方程的特解: 1 x2 1 3 e x .
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n阶线性微分方程 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x). 当Pi ( x)为常数时，称为n阶常系数线性微分方程； 否则，称为变系数线性微分方程。 二阶和二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。
本节只研究二阶常系数线性微分方程：
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
解：特征方程2 +4 4 0 特征根为1 2 2
故通解为：y (C1 C2 )e2x y' (C2 2C1 2C2x)e2x
将条件y x0 1, y' x0 2 代入以上两式中得
C1 1，C2 0
故所求特解为y e2x
定义 设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间 I 内
n 的n个函数．如果存在 个不全为零的常
数，使得当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相
关．否则称线性无关。
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
(2)求出特征方程的两个根1、2
(3)根据特征根的不同情况写出通解
例1：求微分方程y''+4y' 3y 0的通解 解：特征方程2 +4 3 0 特征根为1 3，2 1
故通解为：y C1e3x C2ex
例2：求解初值问题

y
y'' +4y' 4 y 0 x0 1, y' x0 2

1 2
(
y1

y2 )
ex cos x,
y2

1( 2i
y1

y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
总结:
y py qy 0
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
例6 求微分方程 y ay 0的通解。 解：r 2 a 0 (1)a 0, r1 r2 0 y1 1, y2 x y c1 c2 x (2)a 0,r1，2 ai y1 cos ax, y2 sin ax
y c1 cos ax c2 sin ax (3)a 0, r1，2 a y c1e ax c1e ax
y py qy f ( x)
当 f ( x) 0时， 二阶常系数线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性非齐次微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:
y py qy 0
(1)
2.二阶齐次微分方程的解的结构:
§9.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f (x) (2)
对应齐次方程
y py qy 0 (1)
一、二阶非齐次线性方程的解的结构
定理 4 设 y*是二阶非齐次线性方程
y py qy f ( x)
(2)
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
特别地: 若在I上有 y1( x) k(常数)， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
定理2 二阶齐次方程(1)有且仅有两个线性 无关的解。
定理 3 ：如果 y1 ( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线
性无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2就是方程(1) 的通解.
(2) 有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1

r2


p 2
,
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u

(2r1

p)u

(
r2 1

pr1

q)u

0,
=0
=0
知 u 0, u( x) c1 x c2 , 取 u( x) x,
的一个特解, y 是与(2)对应的齐次方程(1)的 通解, 那么 y y y*是二阶非齐次线性微分方
程(2)的通解. 证明：y y y
y y y
则y y P( x)( y y ) Q( x)( y y )
y P( x) y Q( x) y y P( x) y Q( x) y
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非齐次线性方程通解求法 --- 常数变易法
设对应齐次方程通解为 y C1 y1 C2 y2 (3)
设非齐次方程通解为 y c1( x) y1 c2( x) y2 y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
设 c1( x) y1 c2 ( x) y2 0
3、 有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i ,
r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
y1 ex (cos x i sin x),
y2 ex (cos x i sin x),
重新组合
y1
例如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且 y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x.
3.二阶齐次微分方程(1)通解的求法:
由定理3知，求二阶齐次方程(1)的通解，关 键是求出方程的两个线性无关的特解。
根据观察，方程(1)的解应该具有特征： 函数、函数的一阶导数、函数的二阶导数， 其表达式由同类项构成，即求一阶、二阶导以后 函数的形式不变，只有这样，它们的线性组合才
f (x)
定理 5 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而 y1*与 y2*分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x) 特解的叠加原理
可能恒等于零。故可设其解为：y e x
4.二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法: 用常系数齐次线性方程的 特征方程的根确定 y py qy 0 通解.
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
c1( x) y1 c2 ( x) y2 f ( x)
(5)
(4),(5)联立方程组
cc11
( (
x x
) )
y1 y1

c2( x) y2 c2( x) y2

0 f
(x)
系数行列式 w( x) y1 y2 0, y1 y2
c1(
x)