正反比例函数和一次函数二次函数知识点汇总

正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线

一次函数

（1） 一次函数的性质：y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大；

当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．

⑷．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系．

①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限

正比例函数

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数kx y =有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。

反比例函数

(1)反比例函数 如果x

k

y =

(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的反比例函数． (2)反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线． (3)反比例函数的性质

①当k ＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而减小． ②当k ＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y ＝±x 对称，关于原点对称． (4)k 的两种求法

①若点(x 0，y 0)在双曲线x

k

y =上，则k ＝x 0y 0． ②k 的几何意义： 若双曲线x k y =

上任一点A (x ，y )，AB ⊥x 轴于B ，则S △AOB ||||2

1

21y x AB OB ⋅=⨯= .||2

1

k =

(5)正比例函数和反比例函数的交点问题 若正比例函数y ＝k 1x (k 1≠0)，反比例函数)0(22

=/=k x k

y ，则

当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；

当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(211

22112k k k k

k k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2

++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2

ax y =的性质

(1)抛物线2

ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.

(2)函数2

ax y =的图像与a 的符号关系：

①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0

的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.

4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a

b a

c k a b h 4422-=-

=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a 决定抛物线的开口方向：

当0>a 时，开口向上；当0a 时)]，坐标为(h ,k )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422

--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2

中，c b a ,,的作用

(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2

ax y =中的a 完全一样.

(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线a

b

x 2-

=,故：

①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a

b 时,对称轴在y 轴左侧；③0

b 时,对称轴在y 轴右侧.

(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

b .

8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①2

ax y =；②k ax y +=2

；③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2

.

9.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.

10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2

得交点为(c ,0)

(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2

有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程

02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。 (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组

⎩⎨⎧++=+=c

bx ax y n

kx y 2

的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;

②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.

(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为()()0021，，，

x B x A ，由于1x 、2x 是方程02

=++c bx ax 的两个根，故由韦达定理知：a

c

x x a b x x =⋅-=+2

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