同平面不共点力系
《工程力学》第三章 平面一般力系
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
平面力系
y
F3
O
F2 45 F 1
x
y F 2
F3 O
F1
FR
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FR 102 102 10 2
F 10 cos(FR , i ) Rx 0.707 FR 10 2 FRy 10 cos(FR , j ) 0.707 FR 10 2
解：①研究AB杆
求SCD , RA
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 Y 0
RAcos SCD cos450 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
④解平衡方程
EB 0.4 1 t g AB 1.2 3 解得： 0 P cos 45 SCD 4.24 kN ； R A SCD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos 26
R F1 F2 2 F1 F2 cos
2 2
cos(180 ) cos
为力多边形
R 1 合力方向由正弦定理：sin sin(180 )
F
6
（力多边形法）
F4
FR
FR 2
FR F1 F2 F3 F4
FR F
例：起重机的挂钩。
2
力系的分类 汇交力系 平行力系 任意力系
平面力系
空间力系
力系：同时作用于物体上的一群力，称为力系
汇交 力系 平面力系
力偶 力系
平行 力系
任意 力系
平面 汇交 力系 空间 汇交 力系
平面 力偶 力系 空间 力偶 力系
平面 平行 力系 空间 平行 力系
平面一般力系.ppt
A
2m
2F2 cos60 2F3 3F4 sin30 0.5
（2）、求合成结果：合成为一个
合力R，R的大小、方向与R’相同。 其作用线与O点的垂直距离为：
F1
O
3m
y A
d Mo 0.51m R
Lo O d
R/ R
B
F3
F4 C 30° x
B
C
x
例题 4-2 P 75 (N) Q 100 (N) S 80 (N) M 50 (N m) 求：该力系的最后的合成结果。
§4–3 平面一般力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也等于零。
平衡方程：
Fx 0 , Fy 0 , mo F 0
平衡方程其他形式：
Fx 0 , mAF 0 , mB F 0
A、B 的连线不和x 轴相垂直。
mAF 0 , mB F 0 , mC F 0
A、B、C 三点不共线。
§4–3 平面一般力系的平衡
例题 4-3 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重P=2200N， 吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链 A 对臂AB 的水平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。
4、 R=0，而M=0，原力系平衡。
综上所述，可见：
⑴、平面一般力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时， 则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面一般力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零 时，则该力系可以合成为一个力偶。
§4–2 平面任意力系简化结果
合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于
平面基本力系
第二章平面基本力系平面汇交力系和平面力偶系是两种最简单、最基本的力系，是研究一切复杂力系的基础。
本章研究平面基本力系的合成与平衡问题。
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法1. 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则平面力系中，各力作用于同一点的力系称为平面共点力系，共点力系是汇交力系的特殊情形。
设某刚体受一平面汇交力系作用，如图2.1a所示。
根据力的可传性定理，可将各力沿其作用线移至汇交点A，形成一等效的共点力系，如图2.1b所示。
图为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，逐步两两合成各力，最后得到一个通过汇交点A的合力F R。
用此方法可求平面汇交力系的合力，但求解过程比较繁琐。
用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。
任取一点a为起点，先作力三角形求出F1与F2的合力F R1，再作力三角形合成F R1与F3得F R2，最后合成F R2与F4得合力F R，如图2.1c所示。
多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae称为力多边形的封闭边。
封闭边矢量ae 即表示此汇交力系的合力F R，合力的作用线仍通过原汇交点A，如图2.1b 中的F R。
以上求汇交力系合力的方法，称为力多边形法则。
若任意改变各分力矢的作图顺序，可得到形状不同的力多边形，但其合力矢的大小、指向均不变，如图2.1d所示。
结论：平面汇交力系可合成为一合力，合力的大小、方向由各分力矢的矢量和所决定，合力的作用线通过汇交点。
即有∑==+++=n i i n R FF F F F 121（2.1） 2. 平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系的作用效果可以用其合力来代替，所以平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零，即 0F F n 1i i R ==∑=（2.2）从几何角度看，汇交力系平衡时力多边形中最后一力的终点应与第一力的起点重合，此时力多边形自行封闭。
所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的力多边形自行封闭。
工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系
其中平面汇交力系的合力为
F1 F2 F n F1 F2 Fn Fi FR
平面力偶系的合成结果为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
MO 0
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
平衡
Fxi 0 即：
Fyi 0
MO (F i ) 0
平面任意力系的平衡方程
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中 所有各 力 在其作用面内两个任选的坐标轴上投 影的代数和分别 等于零 ，所有各力对 任一点 之矩的代数和等于零。
(1) F'R＝0，MO≠0 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简 化中心的主矩。
F5
MO MO (F )
A
F1 F4
F6 B F3
F2
C
D
四个力是否平衡？
此时,主矩与简化中心的位置无关。
(2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; 平面任意力系简化为一个合力的情形 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系 简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0
FAx qb 0
A
a
P
q
b
P
MA
Fy 0
FAy P 0
MA (F ) 0 1 2 M A Pa qb 0 2
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
第2章 平面汇交力系
第二章平面汇交力系一、平面共点力系与平面汇交力系平面共点力系：作用于刚体平面上同一点的若干力，称为平面共点力系。
2F 平面汇交力系概述平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点平面汇交力系的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面汇交力系。
说明：根据力的可传性，作用于刚体的平面汇交力系一定可以转化成平面共点力系，所以二者的研究方法相同。
以下不再区分，统称为平面汇交力系。
二、工程中的平面汇交力系问题举例工程中的平面汇交力系问题举例：：OAAF四、本章的研究内容分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系的合成—力的多边形法则§2-1几何法几何法（（矢量法矢量法））1）三个共点力的合成设为作用在A 点的力系},,{321F F F A1F 2F 3F RF R12F 1F 2F 3F 312R R 2112R F F F F F F +=+=321R F F F F ++=1RF 2F 3F 2）多个共点力的合成},,{21n F F F ⋯设为作用在A 点的汇交力系则该力系的合力为},,{}{21R n F F F F ⋯=∑=+++=in F F F F F ⋯21R123力多边形合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为该力系的合力。
说明说明：：力系的合成与力序无关∑=+++=in F F F F F ⋯21R 矢量方程为：二、平面汇交力系的平衡平衡条件1）从方程上说：2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭R =F 123123例2-1压路碾子，自重P=20kN ，半径R =0.6m ，障碍物高h =0.08m 。
碾子中心O 处作用一水平拉力F 。
试求：（1）当水平拉力F =5 kN 时，碾子对地面及障碍物的压力；（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；（3）力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F 为多大。
解：（1）取碾子为研究对（2）根据力系平衡的几何条件根据力系平衡的几何条件，，作封闭的力多边形作封闭的力多边形。
知识点2：平面力系
知识点2：平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(1)平面汇交力系的合成用力多边形法则，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即∑=+++=F F F F F n R 21(2)平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
即0==∑F F R二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即θcos F F x =； θβs i n c o s F F y == （2-1）图2-1 图2-22．力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。
如图2-2所示。
力沿坐标轴分解的分力的大小为xyxyx)sin(sin βθβ+=F F x ； )s i n (s i nβθθ+=F F y（2-2）由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。
当2πβθ=+时，在同一坐标上分力的大小和投影相等，如图2-3所示。
（a ）（b ）图2-33．合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即∑=x Rx F F ； ∑=y Ry F F（2-3）当投影轴x 与y 垂直时，其合力的大小与方向为22RyRx R F F F +=，R RxR F F =),cos(i F ，RRy R F F =),cos(j F （2-4）4．平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为2π时有2222)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F（2-5）RxR F F∑=),cos(i F ，RyR F F∑=),cos(j F5．平面汇交力系的平衡 由几何法知0=R F代入前面的代数表达式有0)()(2222=+=+=∑∑y x Ry Rx R F F F F Fx F y即0=∑xF；0=∑yF（2-6）平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
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1.同平面不共點力系之合力有下列三種情形：
(1)合力R≠0，合力為R(力多邊形不閉合)。
(2)合力R=0，合力矩ΣM≠0，合力為。
( 閉合，
索線多邊形不閉合)。
(3)合力R=0，合力矩ΣM=0，合力為零( 閉合，
閉合)物體平衡。
2.零桿件和相等桿件之判別：
(1)若二根桿件交於一點而不共一直
線，且無外力作用此點，則此二
根桿件之應力為零。
如圖所示，
= =0，(零桿件)(註：
IJ≠0，∵有外力)。
如圖1所示
(2)三桿件交於一節點，其中二根桿件共線，且此節點上又
，則第三根桿件之應力為零，如圖所示E點和H點，，(但CD≠0，∵有外力)。
(3)若二節點之外力及桿件，成二直線交叉，則在同一直線上之應
力為相等，如圖所示D點，CD=5P，AD=DF。