第3章 机器人运动学(2)汇总

x’’
图3.2 欧拉角
Euler(,θ,ψ)＝Rot(z,).Rot(y,θ).Rot(z,ψ) （3.10）
在一系列旋转中，旋转的 次序是重要的。应注意，旋转 序列如果按相反的顺序进行， 则是绕基坐标中的轴旋转：
绕z轴旋转ψ ，接着绕y轴 旋转θ，最后再一次绕z轴旋转
，结果如图3.3所示，它与
规定旋转的次序为
RPY(ø,θ,ψ)＝Ｒot(z, )Ｒot(y,θ)Ｒot(x,ψ) （3.12）
即绕x轴旋转ψ，接着绕y轴旋转θ，最后绕z轴旋转 ，这
个变换如下:
cosθ 0 sinθ 0 1 0
00
0 1 0 0 0 cosψ –sinψ 0
RPY(,θ,ψ) = Ｒot(z, ) –sinθ0 cosθ 0 0 sinψ cosψ 0 （3.13）
（3.2）
如图3.1所示，机器人 的末端执行器（手爪）的 姿态（方向）由 n、o、a 三个旋转矢量描述，其坐 标位置由平移矢量 p 描述， 这就构成了式（3.2）中的 变换矩阵 T。
由于 n、o、a 三个旋 转矢量是正交矢量，所以 有
n = o×a
T6 =
nx ox ax px
ny oy ay py nz oz az pz 0 001
-sinθ 0
cosøsinθsinψ – sinøcosψ cosøsinθcosψ + sinøsinψ
sinøsinθsinψ + cosøcosψ sinøsinθcosψ–cosøsinψ
cosθsinψ
cosθcosψ
0
0
0
0 （3.15）
0 1
3.5 位置的确定 ( Specification of Position )
ø
姿态变更常用绕x,y或z 轴的一系列旋转来确定。欧 拉角描述方法是：先绕z轴旋
转，然后绕新的y(即y/)轴旋
转θ，最后绕更新的z(z//)轴 旋转ψ（见图3.2）。欧拉变
换Euler(,θ,ψ)可以通过连
乘三个旋转矩阵来求得:
z’’ z’’’ ψ θ
0
y’’’
ψ
y’y’’
øθ
y
ø
x
θψ
x’
x’’’
0001 00
01
RPY(,θ,ψ) =
cos –sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 10
0 0 01
cosθ sinθsinψ sinθcosψ 0
0
cosψ –sinψ 0
-sinθ cosθsinψ cosθcosψ 0 （3.14）
0
0
01
RPY( ，θ，ψ) =
cosøcosθ sinøcosθ
图3.2是一致的。
z z’
ψ
z’’
θ z’’’ ø
0
ø
y’’’
ø y’’
θ ψ
y’
y
θ
ψ
x’
x
θ x’’ ø x’’’
图3.3 基于基坐标的欧拉角
3.4 摇摆、俯仰和偏转 ( Roll, Pitch and Yaw )
摇摆、俯仰和偏转为另一种旋转，如图3.4所示。
就像水中航行的一条小船一样，绕着它前进的方向（z轴）旋转 称为
3.1 引言 ( Introduction )
采用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。通过
各种正交坐标系的齐次变换和非正交关节坐标系中机械手末端的齐次
变换，最后建立运动方程。
注意，对任何数目关节的各种机械手均可以这样进行。
描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称A矩阵。A矩阵
是描述连杆坐标系之间的相对平移和旋转的齐次变换。
式中PX,PY,PZ是点P在坐标系{A}中的 三个位置坐标分量,如图2-1所示。如用 四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直 角坐标系{A}中点p,则列阵[Px Py Pz 1]T 称为三维空间点P的齐次坐标
必须注意,齐次坐标的表示不是唯一的。我们将其各元素同乘 一非零因子w后,仍然代表同一点P,即
连续变换的若干A矩阵的积称为T矩阵，对于一个六连杆（六自由
度）机械手有
T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6
（3.1）
六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，
三个自由度用来确定方向。Ｔ６表示机械手在基坐标中的位置与方向。 则变换矩阵Ｔ６有下列元素
T6 =
nx ox ax px
ny oy ay py nz oz az pz 0 001
式中：a=w px; b=w py; c=w pz
二、齐次变换 刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同一矩阵表
摇摆，绕着它的横向中轴（y轴）旋转θ 称为俯仰，绕着它甲板的垂直向上 的方向（x轴）旋转ψ 称为偏转。借助于这种旋转来描述机械手的末端执行 器如图3.5所示。
图3.4 摇摆、俯仰和偏 转角
图3.5 机械手的末端执行器的摇 摆、俯仰和偏 转
3.4 摇摆、俯仰和偏转 ( Roll, Pitch and Yaw )
图3.1 末端执行器的描述
（3.2）
3.2 姿态描述 ( Specification of Orientation )
对式（3-2）中16个元素一一赋值就可确定T6。假定机 械手可以到达要求的位置，而单位旋转矢量o和a正交，即
o·o ＝ 1
（3.3）
a·a ＝ 1
（3.4）
a形成单位向量
a a
|a|
第3章 机器人运动学 —运动学方程
3.1 引言 3.2 姿态描述 3.3 欧拉角 3.4 摇摆、俯仰和偏转 3.5 位置的确定 3.6 圆柱坐标 3.7 球坐标
3.8 T6的说明 3.9 各种A矩阵的说明 3.10 根据A矩阵来确定T6 3.11 斯坦福机械手的运动方程 3.12 肘机械手的运动方程 3.13 小结
一旦方向被确定之后，用一个相应的p向量的位移变换 可得到机器人末端执行器在基坐标中的位置：
1 0 0 px
旋转
0 1 0 来自百度文库y
变换
T6 = 0 0 1 pz 0001
矩阵
（3.16）
机器人运动学—刚体位姿描述和齐次变换
一、齐次坐标
在选定的直角坐标系{A}中,空间 任一点P的位置可用3×1的位置矢量 Ap表示,其左上标代表选定的参考坐 标系:
o·a ＝ 0
（3.5）
（3.6）
构成与o和a正交的n
n o×a
（3.7）
在o和a形成的平面上旋转o，使得o与n和a正交
单位向量o是
o a×n
o o
|o|
（3.8） （3.9）
根据第三章（1）给出的一般性的旋转矩阵Ｒot (k ,θ)，它把机械手末端的姿态 规定为绕k轴旋转θ角。
z z’
3.３欧拉角 ( Euler Angles )