数学建模思想在线性代数教学中的应用
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵数 学 模 型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。
2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。
培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。
3． 巩固矩阵的概念和计算。
生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。
一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。
该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。
举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。
如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。
上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。
根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。
数学建模中的线性代数应用
数学建模中的线性代数应用作者：郑婷来源：《新一代》2017年第20期摘要：数学建模教学中，主要是为了大学生能够通过数学知识解决实际生活中的问题，这些是数学教学中比较重要的内容。
数学建模的主要目的就是将实际问题转变成数学模型。
本文将会对数学建模线性代数和涵义进行分析，通过线性代数中的向量、矩阵、行列在线性模型中的使用进行分析，通过实例方法对线性代数方法建模进行探讨。
关键词：数学建模；析线性代数；使用科技的发展与数学离不开，很多问题的存在基本上都离不开数据问题。
利用数学知识来解决实际问题，应该是新时代的学生需要具备的能力和素质，同时也是考察学生掌握的数学知识。
一、模型的建立对于大学生来说，建模是比较困难的。
对于比较复杂的实际问题，学生分析的不是很全面，这个过程中教师要重视将实际问题转变成数学模型，从数学语言，通俗的描述客观对象的规律，进行数学建模。
在数学建模中，主要执行几个步骤：假设模型、建立模型、计算模型，推广模型等。
在解决实际问题上，学生要掌握到基本问题的原理，具有全局分析的能力，根据求解目的来分析问题。
数据建模的关键就是解决实际问题，教师要重视学生对实际问题的分析，培养学生更好的逻辑思维，这样才能学习数学建模的意义。
二、实例的分析（一）投入的产出模型例如：在我国某个地区中，一条铁路、一个发电厂、一个煤矿。
经过市场调查，开采煤的价值是1元钱，需要的煤矿资源是0.25元电费，同时进行煤运开采到目的地，需要0.25元的运费；发电厂使用了1元的电力资源，价值是煤的0.65元，还需要0.05元的运费和0.05元的电费；铁路运输过程中需要1元运费，铁路还需要0.1元电费和0.55元煤炭资源。
在市场调查中，煤矿价值订货单有85000元，发电厂的订货单价值36800元，而本条路线无任何要求。
根据数据建模，对这一周发电厂、煤矿和铁路上想要满足订单和本地区的需求需要多少产值。
模型的建立：假设本周总产值煤矿是x1，铁路总产值是x3，发电厂的产值是x2，根据市场调查，发电厂价值是36800元，煤矿订货单价值是85000元，而本条铁路是没有任何要求的，如果列出的线性方程是如下：矩阵中的B是完全的消耗矩阵，它与A直接消耗在部门不同的情况下产出的投入是平衡的。
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
最新-研究线性代数中的数学建模 精品
研究线性代数中的数学建模一、线性代数教学中融入数学建模的必要性线性代数是高职院校机电、信息、经济管理等专业的一门重要基础课程和工具课程．学生学习这门课程就是要用相应的数学方法解决实际问题，而数学建模就是培养数学实践能力的最有效最实用的方法．目前众多高校在线性代数教学中，教学内容更新缓慢，过多追求逻辑的严密性和理论体系的完整性，缺乏对学生动手能力和应用能力的培养，不利于与其它课程和所属专业的衔接，造成了学生学不会，用不了的局面．因此，在线性代数中融入数学建模思想是非常必要，也是势在必行的．二、在线性代数教学中融入数学建模思想的有益尝试1数学建模思想在线性代数理论背景中的渗透线性代数中诸多概念和定理都是对相关实际问题的抽象和概括．如果不介绍实际背景直接讲解，对高职生而言难以接受，他们往往靠机械记忆．因此在教学过程中，可借助于线性代数理论产生的来源和背景，通过对实际问题进行抽象、概括、分析和求解的过程，可让学生切实体会到由实际问题到数学理论的思想方法，从中渗透数学建模的思想方法．矩阵是课程各部分内容的纽带．在讲解矩阵和矩阵运算概念时，可引入此实例．三个炼油厂、、生成甲、乙、丙、丁四种油品，现要统计此三个分厂2010年与2011年生产四种油品的总产量．为了使学生体会数学建模思想，教学过程可如下进行．1问题分析与模型建立教师可以提问一年中各炼油厂生产各油品的数量如何表示?可以提示产品统计量按炼油厂与油品排成行与列，以数表的形式表示．经学生思考后，教师给出肯定答案．同时指出在数据上加上括号就得到了矩阵的定义．2模型求解用矩阵、分别表示2010、2011年三个炼油厂所生产的四种油品的产量，引导学生思考若要求两年各工厂生产各油品的总产量的计算方法，通过师生之间的分析讨论，从而水到渠成地引出矩阵运算+．通过这个实例，学生既了解到矩阵和矩阵运算产生的背景和在实际中的应用，又体会到了数学建模的过程，增强了学习的兴趣，也为后面学习打下良好的基础．2针对学生专业特点，融入相应的数学模型在线性代数教学中，对于不同的专业，可以有所侧重地补充相应的数学模型．而且确保融入的每一个数学模型都能反映出线性代数知识的本质，让学生通过这些模型对线性代数的知识点有充分的认识和理解，激发他们学习的积极性．在讲授面向专业的数学模型时，应遵循专业实际问题→数学模型→数学解答→应用于专业问题的教学过程．即通过案例分析，筛选变量要素，强调如何用数学语言描述和简化实际问题，进而揭示其内在规律，利用线性代数知识建立线性代数模型，然后引导学生运用所学知识求解模型和应用模型分析实际问题．当然，不同的模型，突出的重点也需要作适当的调整．如在讲解线性方程组解的问题时，对电信专业可以适当融入电路网络方面的数学模型;对于信息专业可以融入计算机图形处理模型;对经济类专业可以融入投入产出模型等等．教师引导学生分析和解决问题，使学生体会到线性方程组与专业课的结合，激发学生学习课程的积极性．由于课堂时间有限，我们可选用比较小的数学建模问题，难易程度可参考如下案例所示．投入产出模型某地区有三个重要企业一个煤矿，一个发电厂和一条铁路．开采1元的煤，煤矿要支付0．25元的电费及0．25元的运输费．生产1元的电力，发电厂要支付0．65元的煤费、0．05元的电费及0．05元的运输费．创收1元的运输费，铁路要支付0．55元的煤费及0．1元的电费．在某一周内，煤矿接到外地50000元的订货，发电厂接到外地金额为2500元的订货，问三个企业在一周内生产总值各位多少?三个企业互相支付多少金额?1模型假设与变量说明．假设该地区三个产业间需要的资金完全由该地区提供．设本周内煤矿的总产值为1，电厂的总产值为2，铁路总产值为2模型的分析与建立．煤的产值=订货值+发电+运输所需要煤的费用;同理，电厂的产值=订货值+开采煤+运输+发电;铁路的产值=订货值+开采煤+发电所需要的运输费用．3立足数学建模思想的有效融入，多种教学手段有机结合线性代数教学可以尝试采用多种教学手段相结合，以期达到很好的教学效果．1平衡多媒体教学与传统教学．多媒体教学有很好的辅助作用．在教学中引入数学模型时，需要利用多媒体课件呈现实际问题，以及引导学生对模型的分析与求解，使教学内容生动形象．例如，在基础理论教学中，对于比较抽象的概念，如矩阵的特征值、特征向量等，可以利用多媒体课件展示它们的几何意义，使学生从直观上加深对概念的理解，起到事倍功半的效果．可见，多媒体教学可以增加教学容量，扩大教学空间，延长教学时间．但是，传统的黑板教学在把握数学思维的发展、形成过程和知识反馈等方面，要技高一筹，教师所表现出的艺术感染力和魅力不是多媒体所能替代的．因此，我们要逐步找到传统教学手段与多媒体教学有机结合的平衡点，充分发挥多媒体对教学内容的补充和延伸优势，同时体现传统教学的逻辑性，不断提高教学质量．2增设适当的数学实验．根据线性代数计算程序化和独特的计算特征，增加数学软件的上机操作和数学实验，训练学生用。
将数学建模思想融入线性代数课程教学
将数学建模思想融入线性代数课程教学摘要：本文探讨了如何在线性代数教学中融入数学建模思想，从线性代数课程的主要性质以及工科学生学习它的目的、研究型教学需要等方面探讨数学建模思想融入教学，进而分析如何在教学中融入数学建模思想以及这种教学对教师的要求。
关键词：数学建模思想；研究型教学；线性代数；教学改革作为国家工科数学教学基地，电子科技大学应用数学学院展开了一系列教学研讨。
作为国家精品课程，如何进行“线性代数与空间解析几何”这门课程的教学改革，特别是从培养创新型人才的战略角度将数学建模的思想融入该课程的教学当中，将应用数学学院的另一门国家精品课程“数学建模”的精华和“线性代数与空间解析几何”充分结合，并立足于电子科技大学的办学特色，以培养电子技术创新人才。
一、课程的重要性“线性代数与空间解析几何”是工科学生高等数学学习的主干课程之一(微积分、概率论与数理统计为其他二门)。
这门课程以矩阵、线性空间结构及线性变换为基本研究对象，和微积分的显著区别是：抽象以及和高中的数学截然不同，不像微积分同中学数学还有一定的关联。
课程的核心，正如通常的矩阵概念引入一样，是研究线性代数方程组解的情况以及如何更快地求解线性代数方程组(特征值或矩阵的谱相关)、线性空间结构及线性变换。
这样一门抽象的课程对工科大学生的培养有何帮助呢?1培养一种抽象思维方式。
抽象思维的能力不管它是不是与生俱有的，但很确定的一点是，它是可以被训练的，方法之一就是通过线性代数等相关数学课程的学习来培养。
这门课程会告诉你n维空间，甚至一般的仿射空间，这些都超出了现实的直观几何范畴，实际上，要利用现在发达的计算机技术处理实际问题，就必须将问题抽象化，经过计算机处理后再回到现实问题的处理上，这一点对工科类学生尤为重要。
2现代工程问题的处理很大程度上在最后都归结为(大规模)线性代数方程组的求解，比如，雷达散射截面，复合材料的开发，大规模集成电路设计，信号处理，优化设计等莫不需要求解线性代数方程组。
线性代数在数学建模中的应用
线性代数在数学建模中的应用线性代数是一门研究向量空间及其上的线性变换的数学学科。
在数学建模中，线性代数是一门重要的应用数学学科之一。
可以说，线性代数在数学建模中的应用是非常广泛的。
一、线性代数在矩阵计算中的应用在数学建模中矩阵计算是一个重要的应用领域。
矩阵计算中的线性代数运算尤为关键。
通过矩阵计算，我们可以进行线性变换。
例如，在机器学习中，我们可以对图像进行矩阵变换，从而实现对图像的分类和识别。
二、线性代数在图形学中的应用图形学是一门研究计算机图像和多媒体图像处理的学科。
在图形学中，矩阵和向量的运算是关键所在。
例如，在三维图像中，我们可以通过矩阵运算来表示三维空间中的向量，从而进行图形变换。
图形学在现代的娱乐产业、计算机游戏和虚拟现实等领域中得到了广泛的应用。
三、线性代数在金融学中的应用线性代数在金融学中的应用不可忽视。
在金融学中，线性代数可以用来建立金融模型。
例如，在经济学中，我们可以使用线性代数中的矩阵运算来对资产组合进行优化。
通过矩阵运算，我们可以通过协方差矩阵来计算风险和收益性。
这对于分析金融市场和制定投资策略非常重要。
四、线性代数在物理学中的应用在物理学中，线性代数也是一门非常重要的学科。
例如，在量子力学中，矩阵运算是非常核心的。
在计算机模拟中，我们可以使用线性代数的矩阵运算来模拟物理现象。
例如，在计算机游戏中，我们可以使用物理引擎来模拟现实世界中的物理效应，并且可以使用矩阵运算来实现。
总之，线性代数在数学建模中的应用是非常广泛的。
矩阵运算、图形学、金融学和物理学等领域都可以使用到线性代数。
因此，对于想从事这些领域的人来说，学好线性代数是非常必要的。
应用型本科大学线性代数中融入数学建模思想的教学探索
2.模型准备：设煤矿、电厂、铁路分别生产x元、y元、z元刚好可以满足需求，则根据题意有下表：
这是一个非齐次线性方程组，可以通过矩阵的初等变换来求解，也可以用matlab来求解；
3.模型求解：用Matlab解得：x=126 540，y=133 910, z=26040,可见10元的电才能刚好满足需求。
应用型本科大学线性代数中融入数学建模思想的教学探索
摘要：本文通过一些具体的实例，并结合作者的教学实践，探讨了在线性代数教学过程融入数学建模的思想，是一种行之有效的方法，以及这种教学方式对教师的要求。
关键词：数学建模思想；线性代数；应用型本科大学；教学
一、数学建模与线性代数
数学建模就是对实际问题进行一系列的分析，建立出数学模型，然后再利用数学知识对模型求解并用于实际问题的过程。这个过程体现了“用数学”的思想，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力提供了一种有效的方法，让学生不再觉得学习数学无用，这也是数学建模比赛能够迅速发展成为我国高等数学领域重要活动的原因。
另外，矩阵的乘法也是一个十分重要的概念，但是它的定义比较难以理解。在教学中我们可以通过一个计算某企业总收入、总利润的例子让学生理解该内容。用A矩阵表示该企业甲、乙、丙三个分店销售两种产品的日平均销售量，矩阵B表示这两种产品的单价和利润。
这样就知道，矩阵中的第行第列的元素是矩阵第行元素与矩阵第列对应元素的乘积之和，我们把矩阵称为矩阵与的乘积。在这个过程中就融入了数学建模中的思想，也让学生感觉到了矩阵的实用性。
二、数学建模思想融入线性代数教学环节
线性代数课程除了如前所述的特点之外，还有抽象概念多、定理多。如果一上来就直接讲概念、定理，学生会比较难以接受，而且觉得学之无用。因此在线性代数的教学过程中，可以借助定理概念产生的背景和来源，通过对实际问题进行抽象、分析和解答，让学生切实体会到线性代数的实际应用，从中融入数学建模思想，使学生更易理解和掌握，从而提高线性代数的教学效果。
线性代数在数学建模中的应用
模型求解 ：通过消元法求解得到
，
也 土血 模 型 建立 铲 ａｌ ａ２ 一 ａ ２ ａｌ ａ２ 一 ａ ｚ ａ； ｔ 对 于学生而 言 ，建立一 个合适 的数 学模型是 一件 困难 的 模型分析 ， ： 分母等 于方程组 系数交叉相乘之差 的式子 事情 。因为现实 的问题 相对 复杂 ，但 是学生 在解决现 实 问题 的 时候 也无法 做到全面 。所 以，在 教学过程 中，教师 需要 注 也 就 是 ：
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｋｕ ｎ ｍｉ ｎ ｇ Ｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｃａ ｄ ｒ ｅ ｓ Ａｃ ａ ｄ ｅ ｍｙ
Ｎ ｏ ． ７ ． ２ Ｏ １ ６
线性代数在数 学建模 中的应用
王 珍 萍
长治学院沁县师范分院 ，山西省长治 ，０ ４ ６ ４ ０ ０ 【 摘要】 一直 以来，数 学建模都是讲 实际问题转化成 为数 学问题 的桥梁。 因此，首先分析线性代 数在 数学建 模之 中应 用， 然后对具体 的生活实例进行讲解，希望可 以通过这样 的方式帮助 学生增 强动手能力，并且可 以通过 建模 的手法， 来解决数 学问题。 【 关键词】数 学建模 ：线性代数 ：学生
Ｉ ｄ ｌ Ｘ ｌ Ｘ ２ ＝ ｂ ｌ 【 ａ ２ Ｘ １ ＋ ａ ２ Ｘ ２ ｂ ２
ｌ ２一
２ ｛ ｌ ａｌ
｝
ａ２
将 一阶行 列式概念 引入 ，同时也可 以进行三 阶行列式 的 推出 ，等到 １ ２ 阶的时候 ，就可以进一步的对 其规律进行分析 。 在建模思想 当中引入矩阵、 线 性相关、 特征值 以及特征 向量等 ， 从实 际 的问题 来引 出概念 ，进而 帮助学生 培养其应 用能 力以 及学 习积极性 。 （ 二）矩阵乘积 在一 个城 市 中有 Ａ，Ｂ ，Ｃ，Ｄ，现在 要进行 一次旅 游 ， 方 式 ：先乘 坐火车 ，然 后坐汽 车 ，从第一 个城市坐 火车 前往 第二个城市 ， 然后第二个城市乘坐汽车到第三个城市 ，那么 ， 在 哪两个城 市之 间才 可 以实现一 次使 用两种交 通工具城 市 的 旅行 四个城 市的火车 交通线路 图和 汽车 交通线路 图如下 图 １ 和２ 所示 ，而火车和汽车 的交通路线实际情况见图 ３ 所示 。
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数学建模思想在线性代数教学中的应用
作者：刘逸轩
来源：《教育周报·教育论坛》2020年第19期
摘要：线性代数是现代高等院校理工科与经管类学科的专业基础课程，也是一门有着极强逻辑性与实际应用价值的重要学科。
它对学生的抽象思维与逻辑思维能力提出了一定的要求。
数学建模思想是数学思想当中的一种，它能帮助学生更加迅速地梳理线性代数知识点，同时完成对相关概念的高效吸收。
如何将数学建模思想融入到线性代数的教学工作当中，逐渐成为现代高校线性代数教学工作的核心教研课题。
关键词：数学建模思想;线性代数;教学探究
引言
现代高校的线性代数教学内容大多以矩阵运算及向量组线性相关性的研究为主，教师在实际的教学过程中，往往更加重视学生对数学概念的理论认知，却忽视了学生自身的个性化理解。
这在很大程度上降低了线性代数课程对学生未来发展的实际帮助，也让高校线性代数课程的实际价值变得较为片面。
数学建模思想本身作为一种思维能力，能够最大程度上引导学生完成知识于现实生活中的应用。
想要发挥数学建模思想的全部作用，首先就要求教师能够清晰地认识到数学建模思想在线性代数课程中的具体价值。
1.将数学建模思想应用到线性代数教学中的重要价值
1.1有效提升学生的学习动力
线性代数的教学任务本身就包含了对学生个人技能的有效培养，这也是高校线性代数基本素养的主要内容之一。
而传统的线性代数课程更加注重学生的理论认知，教师经常会采取灌输式教学法搭配题海战术的方式培养学生的线性代数计算能力。
这种教学方式不仅无法吸引学生的注意力，还很容易让学生产生厌烦和抵触心理。
数学建模思想的应用，能够使原本枯燥的数学形象变得更加生动立体，从而使学生的学习动力得到显著的提升。
1.2充分增强课程的应用价值
线性代数是一门十分注重实践性与应用型的课程，将数学建模思想应用到线性代数的教学工作当中，能够最大程度地启发学生利用数学思想来解决未来生活及工作中常见的数学问题。
另外，数学建模思想在教学过程中的使用，也能帮助学生另辟蹊径地处理复杂的数学概念。
这不仅可以有效提升学生的学习效率，也能使教师的教学工作事半功倍。
2.将数学建模思想应用到线性代数教学中的有效策略
2.1在概念教学中融入数学建模思想
概念教学是线性代数教学工作的核心内容，也是学生构建自身线性代数理论知识体系的重要基础。
教师如果可以在概念教学过程中应用数学建模思想，就能帮助学生更加有效地完成对这部分知识点的深度探究。
教师在对线性代数概念进行讲解时，可以将一些具有关联性的教学内容引入到课堂当中，进而引导学生基于自身的思维惯性来完成对复杂数学概念的理解与内化吸收。
例如在学习“矩阵的特征值及特征向量”这部分教学内容时，如果学生只对着单调的数据进行计算练习，很容易失去应有的学习兴趣。
这时教师就可以将现实中存在的企业的投入及生产数据引入到计算当中，这样学生就可以把抽象的数学概念转化为现实中存在的数学问题，进而通过数据模型的建立，更加轻松地完成对问题的解答。
这样不仅可以有效提升学生的动力，也能引导学生认识到线性代数的工具价值。
2.2在例题讲解中融入数学建模思想
很多教师在实际的教学过程中，都会采取例题讲解的方式帮助学生熟悉相关的线性代数知识。
这种教学方式虽然可以帮助学生加深对这部分知识的印象，但也很容易桎梏学生的思维方式，影响到学生对线性代数的拓展应用。
另一方面，由于线性代数本身是一门公开性较强的课程，很多教师在进行例题讲解时忽视了不同专业学生的实际需求，这也影响到了例题讲解的实际效果。
为了有效改变这一教学现状，教师可以基于不同专业的具体特点，为学生设计更加具有专业特征的线性代数例题。
例如在为土木专业的学生讲解矩阵例题时，教师就可以将弹性钢梁受外力发生形变的数据模型引入到课堂当中。
而在为计算机专业的学生讲解这部分知识点时，教师就可以将大数据信息处理方式的相关数据模型引入到教学过程当中。
这样不仅可以有效提升例题教学的专业性，也能让学生在学习过程中逐渐掌握处理实际问题的有效方式。
2.3在课后练习中融入数学建模思想
除了以上两点之外，教师还可以通过对学生课后练习环节的优化，将数学建模思想应用到线性代数的学习过程中。
教师可以基于对教材内容的了解，将教学工作分为不同的阶段。
在完成了一个阶段的教学任务之后，就可以让学生组合为整体水平相近的学习小组。
然后教师就可以将提前制作好的线性代数建模问题分发到每个小组手中，并且让学生以小组的形式完成对问题的分析与解答。
这样不仅可以有效培养学生的团队意识，也能让学生在合作与交流过程中不断完善自身的数学思维方式，最终在更加熟练应用数学建模思想的同时，使自己的线性代数水平得到持续稳定的提升。
3.结语
综上所述，将数学建模思想应用到高效的线性代数课堂上，更加符合现代学生对线性代数教学工作的具体需求。
教师必须不断提高自身的专业素养，基于数学建模思想的具体特点，从不同角度出发，给学生带来更加优质的线性代数课堂。
这样才能在提高高校教育水平的同时，实现学生自身数学综合素质的全面发展。
参考文献
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