2018年中考数学复习第二部分题型研究题型五几何探究题类型三折叠问题针对演练

第二部分题型研究
题型五几何探究题
类型三折叠问题
针对演练
1. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB 边上的点，连接EF.
(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S
AE的长；
△EDF，求
(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长．
第1题图
2. (2017山西)背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为(3，4，5)型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或32，42，52的三角形就是(3，4，5)型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作如图①，在矩形纸片ABCD中，AD＝8 cm，AB＝12 cm.
第一步：如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.
第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿AH 折叠，得到△AD ′H ，再沿AD ′折叠，折痕为AM ，AM 与折痕EF 交于点N ，然后展平．
第2题图
问题解决
(1)请在图②中证明四边形AEFD 是正方形；
(2)请在图④中判断NF 与ND ′的数量关系，并加以证明；
(3)请在图④中证明△AEN 是(3，4，5)型三角形；
探索发现
(4)在不添加字母的情况下，图④中还有哪些三角形是(3，4，5)型三角形？请找出并直接写出它们的名称．
3. 问题探究
(1)如图①，边长为4的等边△OAB 位于平面直角坐标系中，将△OAB 折叠，使点B 落在OA 的中点处，则折痕长为________；
(2)如图②，矩形OABC 位于平面直角坐标系中，其中OA ＝8，AB ＝6，将矩形沿线段MN 折叠，点B
落在x 轴上，其中AN ＝13
AB ，求折痕MN 的长； 问题解决：
(3)如图③，四边形OABC 位于平面直角坐标系中，其中OA ＝AB ＝6，CB ＝4，BC ∥OA ，AB ⊥OA 于点A ，点Q (4，3)为四边形内部一点，将四边形折叠，使点B 落在x 轴上，问是否存在过点Q 的折痕，若存在，求出折痕长，若不存在，请说明理由．
第3题图
答案
1. 解：(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，
第1题解图①
∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF .
∴S △AEF ＝S △DEF .
∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，
∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .
∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，
∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF .
∴
S△AEF S△ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，
∴△AEF ∽△ABC .
∴
S△AEF S△ABC ＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14
. 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，
∴AB 2＝AC 2＋BC 2
，即AB ＝42＋32＝5； ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52
， (2)①四边形AEMF 是菱形．
证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，
∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，
又∵MF ∥CA ，
∴∠CEM ＝∠EMF ，
∴∠CAB ＝∠CEM ，
∴EM ∥AF ，
∴四边形AEMF 是平平四边形，
而AE ＝ME ，
∴四边形AEMF 是菱形，
②连接AM ，与EF 交于点O ，如解图②，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ，
第1题解图②
∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，
∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，
∴EC AC ＝EM AB
， ∵AB ＝5，
∴
4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169
. 在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，
∴CM 2＝EM 2－EC 2.
即CM ＝EM2－EC2＝
（209）2－（169）2＝43，
∵四边形AEMF 是菱形，
∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，
∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE·AO ，
在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，
∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，
∴OE AO ＝CM AC
， ∵CM ＝43
，AC ＝4， ∴AO ＝3OE ，
∴S 菱形AEMF ＝6OE 2
，
又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM，
∴6OE 2＝209×43， 解得OE ＝2109
， ∴EF ＝＝2OE ＝4109
. 2. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠DAE ＝90°， 由折叠知：AE ＝AD ，∠AEF ＝∠D ＝90°，
∴∠D ＝∠DAE ＝∠AEF ＝90°，
∴四边形AEFD 是矩形，
∵AE ＝AD ，
∴矩形AEFD 是正方形；
(2)解：NF ＝ND ′；
证明：如解图①，连接HN ，。