河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2012—2013学年度河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试数学（理）高三数学(理科试卷)（满分：150分，时间：120分钟）注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合},3125|{R x x x A ∈≤-≤-=，},0)8(|{Z x x x x B ∈≤-=，则A B =I ( ) A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．如果复数mii m -+12是实数，则实数=m ( )A.1-B. 1C. 2-D.23．焦点为（0，6）且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A.1241222=-y x B .1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为( )A ． 060B ． 030C ． 0150D ．0455. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的 点构成的区域。
在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ． 13D ．12 6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的 点落在坐标轴上的个数是（ ）A.0B. 1C. 2D. 37．在ABC ∆中, AM AC AB 2=+， 1AM =u u u u r,点P 在AM 上且满足PM AP 2=,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r等于( )A ．49 B ．43 C ．43- D ．49- 8. 函数)sin()(ϕω+=x x f （R x ∈）)20(πϕω<>,的部分图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =， 则=+)(21x x f （ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．19. 如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面BD A 1的垂线，垂足 为H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是BD A 1∆的垂心 B ．AH 垂直平面11D CB C ．AH 的延长线经过点1C D ．直线AH 和1BB 所成角为04510.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A.（0，）12-B.（122，） C.（0，22） D.（12-，1）11．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满 足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,012．已知函数()()21(0)()110x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝（ ） A ．15 B ．22 C ．45 D ． 50xy O6π-3π12012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学(理科试卷) 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分。
）13.直线31y kx b y x ax =+=++与曲线相切于点（2，3），则b 的值为 。
14.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角 形，则该三棱锥的外接球的体积为_______________.15.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、 乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言 时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 . 16.设1a ，2a ，…，n a 是各项不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数 对⎪⎭⎫⎝⎛d a n 1,所组成的集合为________． 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
） （17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知bc a c b +=+222．（1）求角A 的大小； （2）若12sin 22sin 222=+CB ，试判断ABC ∆的形状．（18）（本小题满分12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对 “楼市限购令”赞成人数如下表．月收入（单位百元） [15,25)[25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65,75)频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数4812521（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异； 月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计 赞成 a = c =不赞成 b =d =合计（Ⅱ)若对月收入在[15，25） ，[25，35）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 参考数据：）（k ≥2K P0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（19）（本小题满分12分）如图，几何体1111D C B A ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=o ，AB a =，面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、 1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,且12BB a =，E 为1CC 的中点，F 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1DB E ∆为等腰直角三角形；ABCDEF1B 1C 1D ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（Ⅱ）求二面角1B DE F --的余弦值.（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点1(,0)2A ，向量(0,1)e =r ，点B 为直线12x =-上的动点，点C 满足2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，点M 满足0,0BM e CM AB ⋅=⋅=u u u u r r u u u u r u u u r .(1)试求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设点P 是轨迹E 上的动点，点R 、N 在y 轴上，圆()2211x y -+=内切于PRN ∆，求PRN ∆ 的面积的最小值.（21）（本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值； （2）如果函数()g x ，1()f x ，2()f x ，在公共定义域D 上，满足12()()()f x g x f x <<，那么就称为()g x 为12(),()f x f x 的“活动函数”．已知函数2211()()2(1)ln 2f x a x ax a x =-++-，221()22f x x ax =+．若在区间()1,+∞上，函数()f x 是1()f x ，2()f x 的“活动函数”，求a 的取值范围。
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。
（本小题满分10分）22. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连结CE ． （1）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；（2）求证：.22CEEF AG GF =23. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），曲线P 在以该直角坐标系的原点O 的为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为24cos 30p p θ-+=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求|AB|.24. 设函数212)(--+=x x x f ． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集； （Ⅱ）R x ∈∀，使t t x f 211)(2-≥，求实数的取值范围．· · A BCDGE F O M2012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学(理科答案)一、选择题 1.【答案】D试题分析：]2,2[A -=，}8,7,6,5,4,3,2,1,0{=B ，所以A B =I {}0,1,2，选D 。
2．【答案】A试题分析：2322221)1(1)1)((1mi m m m m mi i m mi i m +++-=+++=-+是实数，则虚部31m +为 0，所以 1-=m ，选A3．【答案】B试题分析：设双曲线方程为λ=-222y x ，又因为焦点为（0,6），则12363-==λλ，，选B 。
4.【答案】B试题分析：由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0<B<π，所以B=45o ，又因为2a =，2b =，所以在ABC ∆中，由正弦定理得：22=sin A sin 45o ，解得1sin A 2=，又<b a ，所以A<B=45o，所以A=30o。
5.【答案】C试题分析：31631223212==--⎰x dx x ，所以3116316P ==，选C 。
河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试数学(理)试题-Word版含答案
2012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学(理科试卷)〔总分值：150分，时间：120分钟〕注息事项:Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.答复第Ⅰ卷时。
选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.Ⅱ·第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合},3125|{R x x x A ∈≤-≤-=，},0)8(|{Z x x x x B ∈≤-=，则A B =( )A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．如果复数m iim -+12是实数，则实数=m ( )A.1-B. 1C. 2-D.23．焦点为〔0，6〕且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是〔 〕 A.1241222=-y x B .1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,假设2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为( )A ． 060 B ． 030 C ． 0150 D ．0455. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域。
在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为〔 〕 A ．15 B ．14 C ． 13D ．12 6. 利用如下图的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的 点落在坐标轴上的个数是〔 〕A.0B. 1C. 2D. 37．在ABC ∆中, AM AC AB 2=+， 1AM =,点P 在AM 上且满足PM AP 2=,则()PA PB PC ⋅+等于( )A ．49 B ．43 C ．43- D ．49- 8. 函数)sin()(ϕω+=x x f 〔R x ∈〕)20(πϕω<>,的部分图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =， 则=+)(21x x f 〔 〕A ．21B ．22C ．23D ．19. 如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面BD A 1的垂线，垂足 为H ．则以下命题中，错误．．的命题是〔 〕 A ．点H 是BD A 1∆的垂心 B ．AH 垂直平面11D CB C ．AH 的延长线经过点1C D ．直线AH 和1BB 所成角为04510.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，假设椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为〔 〕A.〔0，）12-B.〔122，〕 C.〔0，22〕 D.〔12-，1〕11．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点〔1,0〕对称， ,x y 满 足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 〔 〕A ．[)+∞,12 B ．[]3,0 C ．[]12,3 D ．[]12,0 12．已知函数()()21(0)()110xx f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝〔 〕 A ．15 B ．22 C ．45 D ． 50xyO6π-3π1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试英语试题 Word版含答案.pdf
2012～2013学年度高三年级六模考试 英语试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.二卷试题用黑色中性笔作答。
第一卷（选择题 共115分） 第一部分 听力 (共两节，满分30分) 第一节： (共5小题；每小题1.5分，满分7.5分) 听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What are the speakers mainly talking about?A. A libraryB. A writerC. A book 2. Where is George now?A. In GermanyB. In CanadaC. In Italy. 3. How are the prices in the restaurant?A. ReasonableB. HighC. Low 4. What did the woman do last night? A. She attended a lecture. B. She went to the hospital. C. She made a speech going on education. 5. Where is the woman probably going on Sunday?A. To an art exhibitionB. To a museumC. To a wedding 第二节（共15小题：每小题1.5分，共22.5分） 听下面5段对话或独白。
河北省衡水中学2013届高三上学期二调考试数学理(附答案)
河北衡水中学2013届高三上学期二调考试数学（理）试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．满分 150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题 5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设全集U=R ，(2){|21},{|ln(1)}x x A x B x y x -=<==-，则右图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤2．“3co s 5α=”是“7cos 225α=-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2sin cos y x x x =A ．2(,3πB ．5(,6πC ．2(3π-D ．(,3π4．函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如右下，此函数的解析式为A ．y=2sin （2x+23π）B ．y=2sin （2x+3π）C ．y=2sin （23x π-）D ．y=2sin （2x —3π） 5．10(2)x e x dx +⎰等于 A ． 1B ．e —1C ．eD ．1e + 6．已知00()()lim 3x f x x f x x x→∞+--=1，则0()f x '的值为A ．13B ．23C ．1D ．327．已知1)6()(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为A ．63>-<a a 或B ． 63<<-aC ．21<<-aD ．21>-<a a 或8．设函数()cos ,()f x x f x =把的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数()y f x =-的图象，则m 的值可以为A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．已知向量(cos ,sin ),(3,1),a b θθ==，则||a b -的最大值为A ．1BC ．3D ．910．已知△ABC ，若对任意||||k R BA kBC CA ∈-≥有则△ABC 一定是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定11．若2sin cos 2,sin 2cos αβαβ-=+则的取值范围是A ．[3,3]-B ．37[,]22-C ．[-2，2]D ．3[,1]2- 12．下列说法：①若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f x f x +=--，则6为函数()f x 的周期；②若对于任意(1,3)x ∈，不等式220x ax -+<恒成立，则113a >； ③定义：“若函数()f x 对于任意x R ∈，都存在正常数M ，使|()|||f x M x ≤恒成立，则称函数()f x 为有界泛函．”由该定义可知，函数2()1f x x =+为有界泛函；④对于函数23211(),()[()],()[()],,()[()]1n n x f x f x f f x f x f f x f x f f x x +-====+设*(2)n N n ∈≥且，令集合2009{(),}M xf x x x R ==∈，则集合M 为空集。
河北省衡水中学2013届高三上学期三调考试数学理试题
高三数学理科试题 第1页(共 4 页) 高三数学理科试题 第2页(共 4 页)高考资源网（ ），您身边的高考专高考资源网（ ），您身边的高考专家⎩ 2012～2013 学年度上学期三调考试π⎛ π ⎫A ． f ( x ) 的图像关于直线 x = 对称B ． f ( x ) 的图像关于点3⎝ 4 ,0 ⎪ 对称⎭高三年级数学试卷（理）C ．把 f ( x ) 的图像向左平移π个单位，得到一个偶函数的图像 12⎡ π ⎤本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）D ． f ( x ) 的最小正周期为π ，且在 ⎢⎣0, 6 ⎥⎦ 上为增函数8. 函数y = log a (| x | +1), (a > 1) 的图像大致是（ ）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 若a > b > 0 ，则下列不等式不成立的是（）A.a + b < 2ab1B.a 2 1> 2C. ln a > ln bD. 0.3a< 0.3b2. 函数 f ( x ) =2x 2 - 3x - 2的定义域是( )A.B.C.D.log 2 ( x - 1)9. 已知偶函数 y = f (x )在[-1,0] 上为减函数，又 α，β 为锐角三角形的两内角，则必须 A. (- 1,2 )B. 2(-∞,- 1] ⋃ [2,+∞)2C. (2,+ ∞ )D. [1,+ ∞ )（）A ． f (sin α ) >f (cos β )B ． f (sin α ) <f (cos β ) 3. 下列命题中的真命题为 （ ）A.{ a n }为等比数列，则数列{a n + a n +3 }一定是等比数列 ;C ． f (sin α ) >f (sin β )D ． f (cos α ) >f (cos β )B.等比数列{a n } 的首项为 a 1 ，公比为 q . 若 a 1 >0 且 q >1，则对于任意正整数n ,都有 a n +1 > a n ; 10. 设曲线 y = x n (n ∈ N * ) 与 x 轴 及 直 线 x=1 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 a n ，设nn -1b = a a , 则b + b + + b =（ ）C. 已知数列{ a n }的前 n 项和 S n = 3 + 1 ,则 a n =2⋅ 3 . nn n +11 220122503 2011 2012 2013 D.已知等差数列{ a n }的前 n 项和 S n = 2(n - 1) + m ,则 m =0.A ．B ．C ．D ．10072012201320144. 已知公差不为 0 的正项等差数列{a n } 中， S n 为其前 n 项和，若 l g a 1 ， l g a 2 ， l g a 4 也成等差数列， a 5 = 10 ，则 S 5 等于（ ）11. 若实数 t 满足 f (t )= -t ，则称 t 是函数 f (x )的一个次不动点．设函数 f (x )= ln x 与函数 g (x )= ex（其中 e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为 m ，则（ ） A ．30B ．40C ．50D ．605. 在直角坐标平面内，已知函数 f (x ) = log a (x + 2) + 3(a > 0 且 a ≠ 1) 的图像恒过定点 P ，若角θA ． m < 0⎧ x > 0B ． m = 0C ． 0 < m < 1D ． m > 1的终边过点 P ，则 c os 2θ + sin 2θ 的值等于（ ）12. 设不等式组 ⎪y > 0 表示的平面区域为 D , a 表示区域 D 中整点的个数(其中17 A ．B ．210C. -7 D ． - 1102⎨ ⎪ y ≤ -nx + 4n (n ∈ N * )1 n n n整点是指横、纵坐标都是整数的点），则 (a + a + a + ...... + a ) = ( ) 6. 已知数列{a n } 的前 n 项和 S n= n (n - 40) ，则下列判断正确的是（）2 4 6 2012 A ．a 19 > 0, a 21 < 0 B ． a 20 > 0, a 21 < 0 C ． a 19 < 0, a 21 > 0 D ．a 19 < 0, a 20 > 0 A. 1012B. 2012C. 3021D. 4001高三数学理科试题 第1页(共 4 页) 高三数学理科试题 第2页(共 4 页)高考资源网（ ），您身边的高考专高考资源网（ ），您身边的高考专家7. 设函数 f ( x ) = sin ⎛2x + π ⎫ ，则下列结论正确的是( )第Ⅱ卷（非选择题 共90分）3 ⎪ ⎝ ⎭高考资源网（），您身边的高考专*二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学2013-2014学年高一下学期一调考试 数学理试题 Word版含答案
2013～2014学年度下学期高一一调考试高一年级数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集{}{}{}32B 21A 4321，＝，，＝，，，，=U ，则)(A CuB ⋃等于( ) A ．{1，2，3} B ．{1，2，4} C ．{1} D ．{4} 2. 直线03=-+a y x 的倾斜角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°3．如图，三棱锥V ABC -底面为正三角形，侧面VAC 与底面 垂直,且VA VC =,已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为4.对于空间的两条直线m ，n 和一个平面α，下列命题中的真命题是 （ ）A ．若//m α，//n α，则//m n B. 若 //m α，n α⊂，则//m n C. 若//m α，n α⊥，则//m n D. 若m α⊥， n α⊥，则//m n 5..关于x 的方程3log 4log23a x a = 的解集是（ ）（A ）φ（B ）{－2} （C ）{2}（D ）{－2，2}6.圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D 相离7．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．AC⊥SBB ．AB∥平面SCDC ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角D ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角8.在区间)2,1(上,不等式042<---mx x 恒成立，则m 的取值范围为（ ） A.4-≥m B. 4-≤m C.5-≥m D. 5-≤m9.定义域为R 的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则)2011(f 等于( )A ．2-B ．0C ．1D ．210. 过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．2x-y-3=0B ．2x+y-3=0C ．4x-y-3=0D ．4x+y-3=011.已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A 1-BC ．6- D.4-12.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数m 满足对于任意)(D M M x ⊆∈，均有D m x ∈+，且)()(x f m x f ≥+，则称)(x f 为M 上的m 高调函数．如果定义域为R 的函数)(x f 是奇函数，当0≥x 时，22||)(a a x x f --=，且)(x f 为R 上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．[]2,2-D ．()2,2-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
2025届衡水中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析
2025届衡水中学高三下学期第六次检测数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 2．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+4．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π 5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点55P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．1010C ．7210D ．310106．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =8．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．25C ．2D ．239．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,1011．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．812．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2013届高三数学一模试题 理(含解析)新人教A版
A．
﹣1003
B．
1003
C．
1
D．
﹣1
考点：
函数的值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用函数的奇偶性，及平移变换，从而得到函数f（x）是以4为周期的函数，再求出f（1）、f（3）、f（4），即可得出答案．
A．
B．
C．
D．
考点：
椭圆的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
由已知求出设A（c，y）结合椭圆几何性质，进一步得出A（c， ），直线方程可求．
解答：
解：∵ ，∴AF2⊥F1F2设A（c，y）则 ∴y= ，椭圆的离心率e= = ，，a= ，
b2=a2﹣c2=c2∴A（c， ），又 ，∴A，B关于原点对称，则直线AB的方程是
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称
④当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是 ．
其中正确的命题的序号是（ ）
A．
①②④
B．
①③④
C．
②③④
D．
①②③
考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
压轴题；函数的性质及应用．
分析：
根据“奇”ד偶”=“奇”，“奇”+“奇”=“奇”，可得c=0时函数为奇函数，进而根据奇函数定义可判断①；
解答：
解：A={x|y= }=[0，2]
B={y|y=3x，x＞0}=[1，+∞）
衡水中学2022-2023学年度上学期高三年级六调考试数学试题及答案
2022-2023学年度上学期高三年级六调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某年级有男生180人，女生160人，现用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则样本中女生人数为（ ） A.40 B.36 C.34 D.322.设2i,ia a R z +∈=，则“1a >”是“z >的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.以模型(0)kx y ce c =>去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到经验回归方程21z x =−，则,k c 的值分别是（ ） A.2,e − B.12,e C.12,e− D.2,e 4.设向量a 与b 的夹角为θ，定义sin cos a b a b θθ⊕=+.已知向量a 为单位向量，2b =，1a b −=，则a b ⊕=（ ）A.2 C.2D.5.5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A.5B.-5C.15D.-156.用黑白两种颜色随机地染如图所示的5个格子，每个格子染一种颜色，则从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（ ）A.6B.10C.16D.207.为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育､美育､书法三门选修课程.该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为（ ）A.536 B.16 C.736D.7188.已知实数,,a b c 满足ln ln ln 0a a b ce b c==−<，则（ ）A.b a c <<B.c b a <<C.a b c <<D.c a b <<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生都参加且每人只参加其中一个社团，校团委从全校学生中随机选取一部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，则（ ）A.选取的这部分学生的总人数为500B.合唱社团的人数占样本总量的35%C.选取的学生中参加机器人社团的人数为75D.选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍10.在二项式8⎛⎝的展开式中（ ）A.常数项是第4项B.所有项的系数和为1C.第5项的二项式系数最大D.第4项的系数最小11.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A =“两个球颜色相同”，B =“第1次取出的是红球”.C =“第2次取出的是红球”，D =“两个球颜色不同”，则（ ）A.A 与B 相互独立B.A 与D 互为对立事件C.B 与C 互斥D.B 与D 相互独立12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1i a =或2i a =的概率均为()11,2,3,,2i n =.设nS 能被3整除的概率为n P ，则（ ） A.21P = B.314P = C.113411024P =D.当5n …时，13n P <第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13，有一组样本数据1234,,,x x x x .，该样本的平均数和方差均为m .在该组数据中加入一个数m ，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________.14，两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到这件产品是合格品的概率为__________.15.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数()11rn n C +，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出()()1111111r r r n n n n C n C nC +−+=++，令()()221111111312306012n n n a n C n C+=++++++++，记n S 是{}n a 的前n 项和，则n S =__________.16.在三棱锥P ABC −中，,24,PAC PAB PA PB AC AB BC ∠∠======若三棱锥P ABC −的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min ），数据如下表所示：将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ，经计算可得50,60x y ==. （1）求2212,s s ；（2）假设路线一的全程时间X 服从正态分布()211,N μσ，路线二的全程时间Y 服从正态分布()222,N μσ，分别用2212,,,s x y s 作为221212,,,μμσσ的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过60min ，乙要求路上时间不超过70min ，为尽可能满足客人的要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？ 18.（12分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()cos cos cos 0a B C b c B C ++++=.（1）求A ；（2）若D 为线段BC 延长线上的一点，且,3BA AD BD CD ⊥=，求sin ACD ∠. 19.（12分）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检. （1）在试产初期，批次M 芯片生产前三道工序的次品率分别为123111,,605958P P P ===. （i ）求批次M 芯片的次品率M P ；（ii ）第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验，已知智能自动检测显示批次M 芯片的合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；（2）该企业改进生产工艺后生产了批次 N 的芯片.某手机生产厂商获得批次M 与批次N 的芯片，并在某款新型手机上使用，现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装批次M 芯片的有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N 芯片的有60部，其中对开机速度满意的有58人.依据0.005α=的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度的满意度有关？附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m （其中：100400m ≤≤），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：（2）从样本的B 级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350,400]的零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A 级零件的利润是10元，一个B 级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润. 21.（12分）如图，直三棱柱111A B C ABC −中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，D ，E ，F 分别为AC ，BC ，1B B 的中点，111C F A B ⊥，G 为线段DE 上一动点.（1）证明：11C F AG ⊥；（2）求平面11GA C 与平面11GA B 夹角的余弦值的最大值. 22.（12分）汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：x 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车. （i ）若95w =，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；（ii ）设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为()f p ，求当w 为何值时，()f p 最大.附：ˆˆy bx a =+为回归方程，1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==−=−∑∑，ˆˆa y bx=−.参考答案及解析2022-2023学年度上学期高三年级六调考试·数学一､选择题1.D 【解析】由题意得样本中女生人数为1606832180160⨯=+.2.A 【解析】由题意得22i 2i iaz a −==−，所以z ==.令z >1a >或1a <−，故“1a >”是“z >的充分不必要条件.3.B 【解析】由题意得()ln ln ln kxy cec kx ==+，设ln z y =，可得ln z c kx =+.又经验回归方程为21z x =−， 所以ln 1,2c k =−=，故1,2c k e==. 4.C 【解析】由题意得222211a b a a b b −=−⋅+=−=，解得cos 2θ=.又[]0,θπ∈，所以sin 2θ==.所以2222112a b a b a a b b ⊕=+=+⋅+=2=5.C 【解析】5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭可看作5个311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭相乘，展开式中3x 可由2种情况获得：①从中取2个式子提供3,3x 个式子提供1x ，则可得到()32233353110C x C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②从中取1个式子提供3,4x 个式子提供-1，则可得到()13435144(1)5C x C x −=，故5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为10515+=.6.B 【解析】由题意得从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有3种：①全染黑色，有1种方法；②第1个格子染黑色，另外4个格子中有1个格子染白色，剩余的格子都染黑色，有144C =种染色方法；③第1个格子染黑色，另外4个格子中有2个格子染白色，剩余的格子都染黑色，有2415C −=（种）染色方法，所以从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有1+4+5=10（种）. 7.D 【解析】6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一名同学选修，共有222112336266534333C C C C C C C A A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭540（种）选课方法，佮有2名同学选修传统体育的选课方法有222122642224210C C C C A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭（种），所以恰有2名同学选修传统体育的概率210754018P ==. 8.C 【解析】由题意知0,0,0a b c >>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==−<，得0 1.01,1a b c <<<<>.设()ln (01)xf x x x =<<，则()()21ln 0,x f x f x x−=>'单调递增.因为1x e x x +>…，所以0a e a >>.又ln 0a <，所以ln ln a a a e a>，故ln ln b ab a >，所以()()f b f a >，则b a >，故01a bc <<<<，即a b c <<. 二､多选题9.AC 【解析】由两个统计图可得参加演讲社团的人数为50，占选取的学生总人数的10%，所以选取的学生的总人数为50÷10%=500，故A 正确；合唱社团的人数为200，则合唱社团的人数占样本总量的200500⨯100%=40%，故B 错误；选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的1-40%-20%-15%-10%=15%，所以选取的学生中参加机器人社团的人数为500×15%=75，故C 正确；选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团的人数为75，故D 错误.10.BCD【解析】二项式8⎛⎝的展开式的通项为8818(1)2kk k k kk T C −−+⎛==− ⎝.48k k C x −，对于A ，令40k −=，得4k =，故常数项是第5项，故A 错误；对于B ，令1x =，则所有项的系数和是8(21)1−=，故B 正确；对于C ，展开式共9项，则第5项的二项式系数最大，故C 正确；对于D ，设第(1)k +项的系数的绝对值最大，则888819817822,22,k k k k k k k k C C C C −−−−+−⎧⋅⋅⎨⋅⋅⎩……解得23k 剟.又k Z ∈，所以2k =或3k =，当2k =时，231792T x =；当3k =时，41792T x =−，所以第4项的系数最小，故D 正确.11.ABD 【解析】设2个红球分别为12,,2a a 个白球分别为12,b b ，则样本空间为()(){1211Ω,,,a a a b =，()()()()()(12212122111,,,,,,,,,,a b a a a b a b b a b ,)()()()()}212212221,,,,,,,,a b b b a b a b b ，共12个基本事件，事件()()()({1221122,,,,,,A a a a a b b b =,)}1b ，共4个基本事件，事件()(){1211,,,B a a a b =，()()()()}12212122,,,,,,,a b a a a b a b ，共6个基本事件，事件()()()(){21112112,,,,,,,C a a b a b a a a =，()()}1222,,,b a b a ，共6个基本事件，事件({1D a =,)()()()()()11221221112,,,,,,,,,,b a b a b a b b a b a ，()()}2122,,,b a b a ，共8个基本事件.对于A ，因为()()()416121,,123122126P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =成立，则A 与B 相互独立，故A 正确；对于B ，因为,ΩA D A D ⋂=∅⋃=，所以A 与D 是对立事件，故B 正确；对于C ，因为B C ⋂≠∅，所以B 与C 不互斥，故C 错误；对于D ，因为()()()82141,,1232123P D P B P BD =====，所以()()()P B P D P BD =成立，则B与D 相互独立，故D 正确.12.BC 【解析】由题意得1233221210,,2224P P P =====，故A 错误､B 正确；n S 被3除的余数有3种情况，分别为0,1,2，所以1n P +()112n P =−，则1111323n n P P +⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭.所以1133n P −=−.112n −⎛⎫− ⎪⎝⎭，即1111323n n P −⎛⎫=−⋅−+ ⎪⎝⎭，所以10111113413231024P ⎛⎫=−⨯−+= ⎪⎝⎭，故C 正确；当6n =时，56111111323323P ⎛⎫=−⨯−+=> ⎪⎝⎭，故D 错误.三､填空题13.45m 【解析】样本数据1234,,,x x x x 的平均数和方差均为m ，在该组数据中加入一个数m ，则新样本数据的平均数()145x m m m =⨯⨯+=，方差22144()55s m m m m ⎡⎤=⨯⨯+−=⎣⎦. 14.0.957 【解析】设i A =“取到的产品来自第i 批”()1,2,i B ==“取到合格品”，则()()()()12120.3,0.7,0.95,0.96P A P A P B A P B A ====∣∣，由全概率公式得()()()()()11220.30.950.70.960.957P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=∣∣.15.1122n n −++ 【解析】由()()1111111r r r n n n n C n C nC +−+=++，得()()()12111111221n n nn C n C n C +++=+++，所以()()()()211112112n n C n n n n +=−++++， 所以111111223233434n a ⎛⎫⎛⎫⎛=−+−+−⎪ ⎪ ⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝()()()111145111n n n n n n ⎡⎤⎡⎫++−+−⎢⎥⎢⎪⨯−++⎭⎢⎥⎢⎣⎦⎣ ()()()()11111112212212n n n n n n ⎤=−=−+⎥++++++⎥⎦所以1211223n n n S a a a =+++=−+− 11111111341222222n n n n n n −+−−+=−+=+++++ 16.22π 【解析】由题意得222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，且45PAB ∠=，所以45PAC PAB ∠∠==.在PAC 中，由余弦定理得2222cos 1622410PC AC PA AC PA PAC ∠=+−⋅⋅=+−⨯=，所以22221012PB PC BC +=+==，所以PB PC ⊥.又,,PA PC P PA PC ⋂=⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，故可将三棱锥P ABC −补为直三棱柱11BA C PAC −，如图所示，则直三棱柱11BA C PAC −的外接球即为三棱锥P ABC−的外接球.设PAC外接圆圆心为211,O A BC 的外接圆圆心为1O ，则直三棱柱的外接球球心为12O O 的中点O ，连接OA ，则OA 即为外接球的半径.在PAC中，根据正弦定理可得22sin 2PC O A PAC ∠===，所以2O A =22222212222115222O O OA OO O A O A ⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该外接球的表面积为21144222OA πππ⋅=⨯=四､解答题17.解：（1）()2222222221168161681212610010s =+++++++= (22222222222124822118110s =+++++++++)2116=（2）由（1）知()()2250,10,60,4X N Y N ~~.因为()()6050P X P X >剟，且.()()150602P X P Y ==剟 所以()()6060P X P Y >剟. 因为()()()11702,70P X P X P Y μσ=+>剟?()()()2211682,2P Y P Y P X μσμσ=++=剟?()222P Y μσ+…，所以()()7070P X P Y <剟， 所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二. 18.解：（1）由已知得()()cos cos cos a B C b c A +=+， 由正弦定理，得()()sin cos cos sin sin cos A B C B C A +=+， 则sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A −=−， 即()()sin sin A B C A −=−，所以C B π−=（舍去）或2B C A +=， 故2A A π−=， 所以3A π=.（2）设ACB ∠θ=， 在ACD 中，由正弦定理，得sinsin 6CDACππθ=⎛− ⎝①， 在ABC 中，由正弦定理，得sinsin 33BCACππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭②，所以sin 3sin 6πθπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫− ⎪⎝⎭，1sin cos 222θθ+=，解得tan θ=所以sin 14θ=，即sin 14ACD ∠=. 19.（1）（i ）批次M 芯片的次品率为()()()12359585711111160595820M P P P P =−−−−=−⨯⨯=（ii ）设批次M 的芯片智能自功检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ， 由已知得98119(),()111002020M P A P AB P ==−=−=， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率为()1910095()()209898P AB P B A P A ==⨯=.（2）零假设为0H ：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联. 由已知可建立22⨯列联表如下：220.005100(1058230)10.6697.879.40601288x χ⨯⨯−⨯=≈>=⨯⨯⨯根据0.005α=的独立性检验，我们推断此推断0H 不成立，即认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联.此推断犯错误的概率不大于0.005. 20.解：（1）质量指标值在250以下的产品所占比例为()0.0010.0020.003500.30.6++⨯=<，在300以下的产品所占比例为0.30.008500.70.6+⨯=>. 所以60%分位数一定位于区间[)250,300内.由0.60.325050287.50.70.3−+⨯=−，可以估计该产品的质量指标值的60%分位数为287.5.（2）()0.0010.0015010010+⨯⨯=，所以样本的B 级零件个数为10个， 质量指标值在[350，400]的零件为5个， 故ξ可能取的值为0，1，2，3，30553101(0)12C C P C ξ===，()21553105112C C P C ξ===，()12553105212C C P C ξ===，03553101(3)12C C P C ξ===随机变量ξ的分布列为所以()1212122E ξ=++=. （3）设每箱零件中A 级零件有X 个，每箱零件的利润为Y 元，则B 级零件有()500X −个，由题意知：()10550052500Y X X X =+−=+，由（2）知：每箱零件中B 级零件的概率为()0.0010.001500.1+⨯=，A 级零件的概率为1-0.1=0.9所以()~500,0.9X B ， 所以()5000.9450E X =⨯=，所以()()()52500525004750E Y E X E X =+=+=（元）. 所以每箱零件的利润是4750元21.（1）证明：在直三棱柱111A B C ABC −中，侧面11AA B B 为正方形， 所以11111AB A B A B B B ⊥，∥，而111C F A B ⊥，1111,,B B C F F B B C F ⋂=⊂平面11BB C C ， 所以11A B ⊥平面11BB C C ， 所以AB ⊥平面11BB C C ，又BC ⊂平面11BB C C ，，所以BC ⊥，以B 为坐标原点，,,AB BC BB ，所在的直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则11(2,0,2),(0,2,2),(1,1,0),(0,1,0),A C D E1(0,0,1),(0,0,2),F B故()()11,0,0,0,2,1ED C F ==−−.设()01EG ED λλ=剟，则()1,0,0EG λ=，故(,1,0)G λ 所以()12,1,2AG λ=−−， 故()()110,2,12,1,20C F AG λ⋅=−−⋅−−=， 所以11C F AG ⊥，即11C F A G ⊥. （2）解由（1）可知：11111(2,2,0),(2,1.2),(2,0,0)AC AG A B λ=−=−−=−， 设平面11C A G 的法向量为(),,m x y z =，则11100m AC m AG⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2+20(2)20x y x y z λ−=⎧⎨−+−=⎩，令2x =，则2,1y z λ==−，则平面11GA C 的一个法向量为(2,2,1)m λ=−， 设平面11A GB 的法向量为(),,n a b c =，则1110n A B n A G ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20(2)20a a b c λ−=⎧⎨−+−=⎩，则0a =，令1c =，则2b =，则平面11GA B 的一个法向量为(0,2,1)n =， 设平面11GA C 与平面11GA B 的夹角为θ，故|||||cos |c |os ,|||5m n mm n n θ=〈〉==⋅=⋅令3,[3,4]t t λ+=∈，则cos |θ===， 而函数22481y t t =−+在111[,]43t ∈时单调递增，故114t =时，22481y t t=−+取最小值， 即当114t =，即4,1t λ==时，cos θ=5. 故平面11GA C 与平面11GA B . 22.（1）解：由题意得1234535x ++++==，1012172026175y ++++==，1110212317542052269ni ii x y==⨯+⨯+⨯++=⨯⨯∑22222211234555nii x==++++=∑.所以12212955317ˆ45545ni ii nii x ynx ybxnx ==−⋅−⨯⨯===−−∑∑，ˆˆ17435a y bx =−=−⨯=. 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ45y x =+， 令ˆ4550yx =+>，得11.25x >， 又x 为正整数，所以12x …. 所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆.（2）解：（i ）由题意知，该地区200名购车者中女性有200954560−−=名， 故其中购置新能源汽车的女性车主的有602040−=名.所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为408404517=+.所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为817.当7x =时，ˆ47533y=⨯+=， 所以预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆， 因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为83315.517⨯≈万人 （ii ）由题意知，45,013545p w w =≤≤+，11,4p 剟则()3325435()C (1)102f p p p p p p =−=−+所以()()43222()1058310583f p p p pp pp =−+−+'210(1)(53)p p p =−−当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，知()0f p '>所以函数()f p 单调递增 当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，知()0f p '<所以函数()f p 单调递减所以当()3,5p f p =取得最大值即323max 5333216()C 1555625f p f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 此时453455w =+，解得30w =， 故当30w =时()f p 取得最大值216625.。
【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题
【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题2013年河北省衡水中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．（5分）设，B={x|x ＞a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．a ≤1 D ．a ＜1考点： 集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用． 专题：阅读型．分析： 根据题意A 集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A ⊆B ，求出a 符合的条件即可． 解答： 解：∵A={x|＜x ＜5，x ∈Z}，∴A={1，2，3，4} ∵A ⊆B ，∴a ＜1 故选DA ．B ．﹣ C ．D ．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析： 将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出•=﹣，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值． 解答： 解：∵|+|=1， ∴（+）2=2+2•+2=1∵||=||=1，得2=2=1∴代入上式得：2•=﹣1，•=﹣ 因此，向量，夹角的余弦为cos θ==﹣故选：B点评： 本题给出向量、满足的条件，求它们夹角的余弦之值，着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于基础题．5．（5分）已知点（2，3）在双曲线C ：上，C 的焦距为4，则它的离心率为（ ）A ． 2B ．C ．D ．考点： 双曲线的简单性质． 专题：计算题． 分析： 通过点在双曲线上，以及双曲线的焦距，列出方程组，求出a ，b ，然后求出双曲线的离心率． 解答：解：点（2，3）在双曲线C ：上，C 的焦距为4，所以，解得，a=1，b=；又c=2，所以e==2． 故选A ．点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，注意椭圆与双曲线中a 、b 、c 的区别，考查计算能力．6．（5分）（2007•重庆）若（x+）n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ． 10 B ．20 C ．30 D ．120考点： 二项式系数的性质． 专题：计算题． 分析： 根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n 的值，写出通项式，当x 的指数是0时，得到结果． 解答： 解：∵C n °+C n 1+…+C n n =2n =64， ∴n=6． T r+1=C 6r x 6﹣r x ﹣r =C 6r x 6﹣2r ，令6﹣2r=0，∴r=3， 常数项：T 4=C 63=20， 故选B ．点评： 本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．7．（5分）设集合A={0，1，2，3}，如果方程x 2﹣mx ﹣n=0（m ，n ∈A ）至少有一个根x 0∈A ，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ） A ． 7 B ．8 C ．9 D ．10考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用． 分析： 让m 分别取0，1，2，3，求出对应的n 值，则不同的（m ，n ）的个数即为所求．解答： 解：若方程为合格方程时，由于m ，n ∈A={0，1，2，3}，故对m 的取值进行分类讨论： 当m=0时，方程x 2﹣n=0，由于方程x 2﹣n=0至少有一个根x 0∈A ，故此时n=0，1； 同样地，当m=1时，n=0，2； 当m=2时，n=0，3； 当m=3时，n=0． 故合格方程的个数为7个， 故选A ．点评： 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，排列、组合以及简单的计数原理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．8．（5分）如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O ，且通过点C ，则阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 定积分． 专题：计算题． 分析： 以抛物线的顶点为原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，则阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去抛物线与x=0，x=1，及x 轴所围成的曲边梯形的面积．解解：建立如图所示的坐标系，答：因为正方形ABCD 的边长为1，所以C （1，）， 设抛物线方程为y=ax 2（a ＞0），则，所以，抛物线方程为，图中阴影部分的面积为：==． 故选D ．点评： 本题考差了定积分，考查了定积分的简单应用，解答此题的关键是，正确建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，找出被积函数的原函数，从而运用微积分基本定理求解，此题是中档题．9．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ． B ．C ．D ．3考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题：计算题；待定系数法． 分析： 求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．解答： 解：将y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2k π，即，又因为ω＞0，所以k ≥1，故≥， 故选C点评： 本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．10．（5分）（2010•马鞍山模拟）点P 到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 点到直线的距离公式；抛物线的应用． 专题：压轴题． 分析：到A 和到直线的距离相等，则P 点轨迹是抛物线方程，再注意B 点，用上P 到的距离和点P 到B 的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a 的值． 解答： 解：法一 由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，设P （，y ），则有（+）2=（﹣a ）2+（y ﹣2）2，化简得（﹣a ）y 2﹣4y+a 2+=0，当a=时，符合题意；当a ≠时，△=0，有a 3﹣++=0，（a+）（a 2﹣a+）=0，a=﹣．故选D ．法二 由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，B 在直线y=2上，当a=﹣时，B 为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B 为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D ． 故选D ．点评： 本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想．法一代数法，法二是几何法．11．（5分）（2011•大连二模）从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为，则OP 两点之间的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．2考点： 点、线、面间的距离计算． 专题：计算题． 分析： 连接OP 交平面ABC 于O'，由题意可得：O'A==．由AO'⊥PO ，OA ⊥PA 可得，根据球的体积可得半径OA=1，进而求出答案．解答： 解：连接OP 交平面ABC 于O'，由题意可得：△ABC 和△PAB 为正三角形， 所以O'A==．因为AO'⊥PO ，OA ⊥PA ，所以，所以．又因为球的体积为， 所以半径OA=1，所以OP=．故选B ．点评： 本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力．12．（5分）（2012•开封一模）已知以T=4为周期的函数，其中m ＞0，若方程3f（x ）=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． （，）B ． （，）C ． （，）D ．（，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性． 专题：计算题；压轴题． 分析： 根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x ）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．解答：解：∵当x ∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x 2+=1（y ≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示， 同时在坐标系中作出当x ∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆（x ﹣4）2+=1（y ≥0）相交，而与第三个半椭圆（x ﹣8）2+=1 （y ≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将 y=代入（x ﹣4）2+=1 （y ≥0）得，（9m 2+1）x 2﹣72m 2x+135m 2=0，令t=9m 2（t ＞0）， 则（t+1）x 2﹣8tx+15t=0，由△=（8t ）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t ＞15，由9m 2＞15，且m ＞0得 m ， 同样由 y=与第三个椭圆（x ﹣8）2+=1 （y ≥0）由△＜0可计算得 m ＜， 综上可知m ∈（ ，） 故选B点本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判评：断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知cos2θ=，则sin 4θ+cos 4θ= ．考点： 二倍角的余弦． 专题：计算题． 分析： 把sin 4θ+cos 4θ配方为完全平方式，然后根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简后，把cos2θ的值代入即可求出值． 解答： 解：==；故答案为．点评： 本题要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．14．（5分）在约束条件下，过点（1，1）目标函数z取得最大值10，则目标函数z=x+9y（写出一个适合题意的目标函数即可）．简单线性规划．考点：专不等式的解法及应用．题：分画出满足约束条件的可行域，设出目标函数析：的解析式，结合目标函数z在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，可构造出满足条件a，b的关系式，取一组满足条件的a，b的值，即可得到答案．解解：满足约束条件的可行域如下图所示：答：设目标函数为z=ax+by 则y=x+若目标函数z 在点（1，1）取得最大值10， 则令a=1，则b=9满足条件故答案为：x+9y （主观题，满足条件即可） 点评： 本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据目标函数z 在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，构造出满足条件a ，b 的关系式，是解答的关键．15．（5分）四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为 12π ．考点： 球内接多面体；由三视图还原实物图；球的体积和表面积． 专题：计算题；压轴题． 分析： 将三视图还原为直观图，得四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R ，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．解答： 解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 中点为G ，连接OG ，OA ，AG 根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是可得AG==a ，所以正方体棱长a=2 ∴Rt △OGA 中，OG=a=1，AO= 即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR 2=12π 故答案为：12π点评： 本题将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题．16．（5分）已知等差数列a n 的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9，设b n =2n a n ，则b 1+b 2+…+b n 的结果为 4+n •2n+1 ．考点：数列的求和． 专题：计算题；压轴题．分析： 由已知可得a 1+3d ＞3，3a 2≤9⇒d ＞，a 1+d ≤3⇒a 1≤3﹣d ＜3﹣==2结合等差数首项a 1及公差d 都是整数可得a 1=2 则＜d ≤1⇒d=1，从而可得a n =2+1×（n ﹣1）=n+1，b n =2n a n =2n （n+1），利用乘公比错位相减的方法求和即可解答：解：因为a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9， 所以a 1+3d ＞3，3a 2≤9⇒d ＞，a 1+d ≤3⇒a 1≤3﹣d ＜3﹣==2．∵等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数 ∴a 1=2 则＜d ≤1⇒d=1． ∴a n =2+1×（n ﹣1）=n+1． ∴b n =2n a n =2n （n+1） 令S n =b 1+b 2+…+b n=2•21+3•22+…+n •2n ﹣1+（n+1）•2n ①∴2S n =2•22+3•23+…+n •2n +（n+1）2n+1② ①﹣②得，﹣S n =2•21+22+…+2n ﹣（n+1）•2n+1==﹣n •2n+1 ∴S n =n •2n+1 故答案为：n •2n+1点等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综评：合一直是数列部分的考查重点之一，而数列的求和中“错位相减”的求和方法又是求和的重点和难点，要注意方法的把握．三.解答题（共6个小题，共70分）17．（10分）（2013•南开区二模）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）10 0.25[15，20）24 n[20，25）m p[25，30）20.05合计M 1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．考点： 随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．专题：计算题；图表型． 分析： （I ）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．（II ）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人． （III ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25，30）内的人为b 1，b 2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．解答： 解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4.．∵a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商， ∴ （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25，30）内的人为b 1，b 2．则任选2人共有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b 1，b 2）一种， ∴所求概率为． 点评： 本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．18．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=f （a n ）． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求证：数列{a n +1}为等比数列； （3）求数列{a n }的前n 项和S n ．考点：数列与函数的综合． 专题：综合题；转化思想． 分析：（1）由，将代入可求解，由α为锐角，得α=，从而计算得进而求得函数表达式．（2）由a n+1=2a n +1，变形得a n+1+1=2（a n +1），由等比数列的定义可知数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）得a n =2n ﹣1，转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式，可计算得．解答：解：（1）∵又∵α为锐角 ∴α=∴∴f （x ）=2x+1（2）∵a n+1=2a n +1，∴a n+1+1=2（a n +1） ∵a 1=1∴数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）由上步可得a n +1=2n ，∴a n =2n ﹣1 ∴点评： 本题主要考查数列与三角函数的综合运用，主要涉及了倍角公式，求函数解析式，证明数列以及前n 项和．19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中AD ∥BC ，PD ⊥平面ABCD ，AD=1，，BC=4．（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PDC 所成的角； （Ⅲ）设点E 在棱PC 上，，若DE ∥平面PAB ，求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角；空间向量及应用．分析：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F 分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）只要证明，即可得到BD⊥PC；（2）由（1）即可得到平面PDC 的法向量为，求出，求出向量与的夹角，即可得到线面角；（3）先求出平面PAB 的法向量，若DE∥平面PAB，则即可得出λ．解答：解：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）证明：设PD=a，得B，P（0，0，a），C则，∵，∴BD⊥PC．（2）由（1）知．由条件知A（1，0，0），B（1，，0），设AB与面PDC所成角大小为θ，则．∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，即直线AB与平面PDC所成角为60°．（3）由（2）知C（﹣3，，0），记P（0，0，a），则，，，，而，∴，==．设为平面PAB的法向量，则，即，即取z=1，得x=a，进而得，由DE∥平面PAB，得，∴﹣3aλ+a﹣aλ=0，而a≠0∴．点评： 熟练掌握通过建立空间直角坐标系．利用向量垂直与数量积的关系、平面PDC 的法向量为与斜线的夹角得到线面角DE ∥平面PAB ⇔等是解题的关键．20．（12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）经过点M （1，），且其右焦点与抛物线的焦点F 重合．①求椭圆C 1的方程；②直线l 经过点F 与椭圆C 1相交于A 、B 两点，与抛物线C 2相交于C 、D 两点．求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：①首先求出抛物线的焦点坐标，则c 可求，结合椭圆的隐含条件及点M （1，）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；②分直线l 的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A ，B ，C ，D 四点的坐标，则的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值． 解答： 解：如图，①解法1：由抛物线方程为y 2=4x ，得其焦点F （1，0），∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1． 故a 2﹣b 2=c 2=1 ① 又椭圆C 1经过点，∴②由①②消去a 2并整理，得，4b 4﹣9b 2﹣9=0，解得：b 2=3，或（舍去）， 从而a 2=b 2+1=4． 故椭圆的方程为．解法2：由抛物线方程，得焦点F （1，0）， ∴c=1．∴椭圆C 1的左右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）． ∵椭圆（a ＞b ＞0）经过点M （1，），∴=4．∴a=2，则a2=4，b2=a2﹣c2=4﹣1=3．故椭圆的方程为．②当直线l垂直于x轴时，则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，﹣2）．∴．当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x﹣1）．联立，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．△=（﹣8k2）2﹣4×（3+4k2）×（﹣12）=64k4+192k2+144＞0．∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B （x2，y2）．则，．所以，===．由，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=[﹣（2k 2+4）]2﹣4k 4=16k 2+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）． ∵k ≠0，∴，由抛物线的定义，得．∴=．综上，当直线l 垂直于x 轴时，取得最大值．点评： 本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．21．（12分）（2010•海淀区二模）给定椭圆，称圆心在原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F 的距离为．（I ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程．（II ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，且l 1，l 2分别交其“准圆”于点M ，N ．①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l 1，l 2的方程；②求证：|MN|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：综合题；压轴题；分类讨论． 分析： （I ）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II ）（1）由准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P （0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k ．从而得l 1，l 2方程（2）分两种情况①当l 1，l 2中有一条无斜率和②当l 1，l 2都有斜率处理． 解答： 解：（I ）因为，所以b=1 所以椭圆的方程为，准圆的方程为x 2+y 2=4．（II ）（1）因为准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P （0，2），设过点P （0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2， 所以，消去y ，得到（1+3k 2）x 2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点， 所以△=144k 2﹣4×9（1+3k 2）=0， 解得k=±1．所以l 1，l 2方程为y=x+2，y=﹣x+2．（2）①当l 1，l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率， 因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当l 1方程为时，此时l 1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1），即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l 1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0，△=[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]=0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，所以t 1•t 2=﹣1，即l 1，l 2垂直．综合①②知：因为l 1，l 2经过点P （x 0，y 0），又分别交其准圆于点M ，N ，且l 1，l 2垂直， 所以线段MN 为准圆x 2+y 2=4的直径，所以|MN|=4．点评： 本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力． 22．（12分）设函数．（Ⅰ）当时，求f （x ）的最大值；（Ⅱ）令，（0＜x ≤3），其图象上任意一点P （x 0，y 0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解，求正数m 的值．考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；压轴题．分（I ）函数的定义域是（0，+∞），把代入函析：数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（II ）即函数F （x ）的导数在（0，3]小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值； （III ）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解，得到m 所满足的方程，解方程求解m ．解答：解：（I ）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）令f'（x ）=0，解得x=1．（∵x ＞0）因为g （x ）=0有唯一解，所以g （x 2）=0，当0＜x ＜1时，f'（x ）＞0，此时f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f'（x ）＜0，此时f （x ）单调递减． 所以f （x ）的极大值为，此即为最大值…（4分） （II ），x ∈（0，3]，则有≤，在x 0∈（0，3]上恒成立， 所以a ≥，x 0∈（0，3]，当x 0=1时，取得最大值，所以a≥…（8分）（III）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因为m＞0，x＞0，所以（舍去），，当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）则既所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即，解得．…（12分）点本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方评：程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面．本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点x满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的解析中的方程组，由这个方程组求解m使用了构造函数通过函数的性质得到x2的方法也是值得仔细体会的技巧．。
衡水中学2013届高三上学期期中考试数学(理
河北衡水中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、已知集合R ，若集合{||23},{|21|1},()x R A x x B x C A B =−≤=−>∩则为A ．{x |1<x ≤5}B ．{x |x ≤ -1或x>5}C ．{x |x ≤—1或x>5}D ．{x -—1≤x ≤5}2．命题P ：若a,b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分不必要条件；命题q ：不等式||11x x x x >−−的解集为{x |0<x<1}，则A ．“p 或q”为假命题B ．“p 且q”为真命题A ．“¬p 或q”为假命题B ．“¬p 且q”为真命题3．已知{{}n a 为等比数列，若4617373910,2a a a a a a a a +=++则的值为A ．10B ．20C ．60D ．1004．已知直线α和平面 α，β，α∩β=l ，a ⊄α,a ⊄β,a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ,则b 和c 的位置关系是A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交﹑平行或异面5．已知sin()cos()2tan 2,sin()sin()2πθπθθπθπθ+−−=−−−则等于A ．2B ．—2C ．0D ．236．一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,实数解，则这个几何的体积为AB．(4π+CD ．7．函数32(0,1)x y a a a a +=−>≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线1,x y m n+=−上且m,n>0则3m ++n 的最小值为（）A ．13B ．16C ．11+D ．288．若函数21()log (2a f x x ax =++有最小值，则实数a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，1）∪（1，2）C ．（1，2）D ．[2,)+∞9．在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC=1，M 为AB 中点，将△ACM 沿CM 折起，使A 、B 间的距离为，则M 到面ABC 的距离为A ．12BC ．1D ．3210．若函数()sin ,,()2,()0,f x x x x R f a f ωωβ=+∈=−=又且|α-β|的最小值为3,4πω则正数的值为A ．13B ．23C ．43D ．3211．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足111(2)322OP OA OB OC =++����������������，则点P 一定为三角形的A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点（非重心）C ．重心D ．AB 边的中点12．已知函数21,0()21,0x x f x x x x +≤⎧=⎨−+>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x ==恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（0，3）二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．若点P （x ，y）满足线性约束条件020,0y x A y −≤−+≥⎨⎪≥⎪⎩点，O 为坐标原点，则OA OP ⋅��������的最大值_________．14．如图，四边形ABCD 为菱形，四边形CEFB 为正方形，平面ABCD ⊥平面CEFB,CE=1,∠AED=30°，则异面直线BC 与AE 所成角的大小_________．15．已知数列1{}331(*,2)n n n n a a a n N n −=+−∈≥满足，且115,()(*)3n n n a b a t n N ==+∈若且{}n b 的等差数列，则t=_________．16．已知函数()f x 的定义域为 [-1，5]，部分对应值如下表，()f x 的导函数y =()f x ′的图像如图所示，给出关于()f x的下列命题：①函数()y f x =在x=2时，取极小值②函数()f x 在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数，③当12a <<时，函数()y f x a =−有4个零点④如果当[1,]x t ∈−时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为5，其中所有正确命题序号为_________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且满足(2)cos 0.c a cosB b A −−=（1）若7,13b a c =+=求此三角形的面积;（2()6A sin C π+−的取值范围。