波利亚及其解题理论_李忠如共38页文档
波利亚的解题理论_2022年学习资料
解题过程：-·第1弄清问题-·条件（已知）：-■1c-10:-2CosA/cosB-b/a=4/3-·③点 为△ABC内切圆上的动点、-口问题（未知）：-·求点P到项点A、B、C的距离的平方和的-最小值和最大值。6
第2拟订计划-回忆原来有没有见过同类问题（没有），但见-过相关的问题：-o-1已知三角形的某些边角关系，判 三角形-的形状、解三角形等（知三求一，已知的三个-边角元素中至少有一个是边，题目基本符-合-·②如果三角形 以确定，那么此题就是求这-个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶-点的距离的平方和的最值问题。-17
如何解题-1.积累认识的资源-2.掌握转化的方法-3。及时调控的能力-4.良好信念系统的支持
波利亚的怎样解题表-解题过程分为以下四个阶段：-1.弄清问题-2.拟订计划-3.实现计划-4.回顾
波利亚的怎样解题表-1弄清问题-1未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？-满足条件是否可能？要确定未知 ，条件是否充分？或-者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？-2画张图，并引入适当的符号.-3把条件的 部分分开，并把它们写下来。
波利亚《怎样解题表》简介-波利亚的数学教育思想概述-波利亚George Polya数学教育思想的核心问题数 学教育的目的是什么？-1波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素-养：首先和主要的目标应当是教会青年 考、-2教什么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？对数-学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用。
我国数学解题研究的代表人物和代表作-罗增儒-戴再平-单蹲-朱华伟-·中学数学解题的-理论与实践M.-数学习 理论-南宁：广西教育-[M上海：上-出版社，2008-解题研究M.-海教育出版社，-年9：前言-南京：南京 -•数学解题策略-范大学出版社，-1991.3:-·数学解题学引论-2002.6-1996.10.-[M西 .陕西-•北京：科学出-师范大学出版社，-版社，2009.8.-1997.6-4
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
列方程(组)解应用题的一般步骤： 审题 ； (1)_______ 设元 ； (2)_______ 等量关系 (3)找出包含未知数的___________； 列出方程(组) ； (4)_______________ 求出方程(组)的解 ； (5)___________________ 检验并作答 ． (6)_____________
在列方程（组）解应用题时，一般采用直 接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用 什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系 ，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量 关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的 个数要与未知数的个数相同。 根据题意列出的方程（组）可能是各种各样 的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时 解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用 学过的知识来判断是什么方程（组），然后， 根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组 ）。
初中数学应用题类型分类
方程应用题
一次函数应用题
统计应用题 其他应用题
不等式应用题
二次函数应用题
解直角三角形应用题
一、方程应用题芈月传中的数学题
• 例1：为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人 类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植 树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面 积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平 均每年增长的百分率。 • 例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按 定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折 出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。 方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即 审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解 方程)，检(检验)，答。 考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄 问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问 题等。
(完整版)波利亚的解题理论
波利亚的解题理论（讲稿）同学们好!今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。
首先，让我们了解一下波利亚的生平.乔治·波利亚（George Polya,1887-1985）美籍匈牙利数学家，生于匈牙利,青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学,1912年获数学博士学位。
他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家,也是享有国际盛誉的数学方法论大师,为数学方法论的现代研究,特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。
他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论,发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944)、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961)等。
其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题,而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。
在数学方面,对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献,留下了以他的名字命名的术语和定理。
在数学解题研究领域,波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。
这里主要介绍他的解题理论。
学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。
波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事"（苏格拉底语),由此,数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力.为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书,与1948年出版，风靡世界.其中“怎样解题"表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。
概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。
波利亚的《怎样解题》(word版)
1．帮助学生第一部分在教室中目的教师最重要的任务之一是帮助学生。
这个任务并不很简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。
学生应当有尽可能多的独立工作经验。
但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。
那么他很可能没有进步。
但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合理的工作。
如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。
为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。
不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。
教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。
2．问题、建议、思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。
这样，在大量的问题中，我们总是问：未知数是什么?我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。
有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。
问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。
从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。
前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。
读者充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。
这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。
3．普遍性表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。
它们的用途不限于任何题目。
我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。
波利亚的解题理论PPT课件
• (8) 把条件的各个部分分开，你能否把它
们写下来?
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第19页/共36页
• 第2 找出已知数与未知数之间的关系；如果找 不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题： 你应该最终得出一个求解的计划——拟定计 划．
• (1) 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? • (2) 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? • (3) 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题．
• 第2拟订计划
• 回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见过相关的问题： • (1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形的形状、解三角形等(知三求三，
已知的三个边角元素中至少有一个是边)，题目基本符合． • (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这个三角形的某个特征曲线上的动
点到三个顶点的距离的平方和的最值问题．
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怎样解题表的解释
• 第1 你必须了解问题(弄清问题)
• (1) 未知数是什么?
• (2) 已知数据是什么?
• (3) 条件是什么?
• (4) 满足条件是否可能?
• (5) 要确定未知数，条件是否充分?
• (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？ 或者是矛盾的？
• (7) 画张图，引入适当的符号．
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变更题目的常用方法——题目
分解与组合——穷举法,中途点 • 等价的题目 回到定义
等价变换 映射到别的领域 简化 • 特殊的题目 约化 极端情形
一般化 • 更一般的题目 —— 强化 充分题
必要题 基本题 • 相关的题目 辅助题 类 似第3题4页/共36页
问题解决与数学思维的培 养
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
4、“解”就是解方程，求出未 知数的值． 5、“验”就是验解，即检验方程 的解能否保证实际问题有意义． 6、“答”就是写出答案(包括单 位名称)
数学教学就是数学语言的教学。 数学语言具有简洁、无歧义的特点， 但同时内涵丰富，具有一定的抽象性 。尤其是符号语言和图表语言要在阅 读中进行语意转换，给阅读带来了一 定的困难，因而指导学生进行科学有 效的阅读能起到事半功倍的效果。
学科的 学生的 知 识
教学设计
知 识
教学的 知 识
教学实施
PCK古已有之
波利亚及其解题理论介绍
一、波利亚数学教育思想简介
• 乔治· 波利亚(GeorgePolya,1887- 1985)，是美籍匈牙 利数学家、数学教育家。在数学教育方面他有3部 世界名著:《怎样解题》、《数学与猜想》、 《数学的发现———对解题的理解、研究和讲授》。 这3本书在我国有5个译本,其中《怎样解题》发行量 已过百万册。著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书 :“每个大学生、每个学者,特别是每个教师都应该 读这本引人入胜的书”。
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
开发生活中的应用题课程资源，发展学 生解决应用题的能力
在数学教学中，应用题教学始终是困扰学生和 教师的一个难点，学生害怕应用题，认为应用题 枯燥无味，老师害怕应用题，是因为应用题情景 平淡空洞，缺少情景载体，不能激发学生学习兴 趣。究其根源，教材中编写的应用题由于带有普 遍性、公共性，所以对人就是“甲、乙两人”， 对地点就是“A, B 两地”等，这样的应用题，缺 乏具体的、贴近学生生活的情感体验，没有学生 感兴趣的情景载体，仅仅是为了学会解决一类应 用题的方法。
波利亚及其解题理论
概括方法论因 素,建立数学 模型.
弄清题意
1) 已知是什么? 2) 未知是什么? 3) 题目要求你干什么? 4) 可否画一个图形? 5) 可否数学化?
拟定计划(核心)
6)你能否一眼看出结果? 7)是否见过形式上稍有不同的题目? 8) 你是否知道与此有关的题目,是否知道用得上的定 义,定理公式? 9) 有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你 能利用它吗? 10) 已知条件A,B,C……可否转化?可否建立一个等式或 不等式? 11) 你能否引入辅助元素? 12) 如果你不能解这个题,可先解一个有关的题,你能 否想出一个较易下手的,较一般的,特殊的,类似的题?
解题必须实践
• 解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑 雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践学 到它……你想学会游泳，你就必须下水，你 想成为解题的能手，你就必须去解题． ——波利亚 • 学习数学要做到熟练化．熟能生巧，进而 出神入化．而要这样，就必须练。 ——华罗庚
问题的种类
• 按数学内容来分，可以分成几何、代数、数 论(算术)、组合数学等． • 按问题的结论来分，可以分为计算题、求解 题、证明题． • 从形式上分，有选择题、填充题、综合题． • 从与已有经验关系分，有固定模式、没有或 较少固定模式．
• 图中D是小镇，E是傍晚休息处．D、E之间 的距离是 400千米．EB是CE的二分之一， AD是AC的三分之一，AC比CB多100千 米．求AB的长．
A D C E B
弄清问题
• 实际上，改变问题的提法已不仅是弄清题 意，可以说是向问题的解决进了一大步． • 波利亚主张‚不断地变换你的问题‛， ‚我们必须一再地变化它，重新叙述它， 变换它，直到最后成功地找到某些有用的 东西为止‛．
波利亚及其解题理论
弄清问题
• 例1 某市有n所中学，第i所中学派出Ci名学 生(1≤Ci≤39，1≤i≤n)到体育馆观看球赛，总 人数 =1990 C ．看台上每一横排有199 个座位．同一学校的学生必须坐在同一横 排，问至少要安排多少个横排才能保证学 生全部坐下？
n i 1 i
弄清问题
例1重述为：
• 一些学校派出学生看球赛，看台上每一排 有199个座位，同一学校的学生必须坐在同 一排．每个学校派出的学生不超过39人， 学生总数为 1990人，问至少要安排多少排 才能保证学生全部坐下？
弄清问题
• 例3 已知k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k + ab +bc+ ca ＞0
①
读题，读题，反复读题，这是解题时首先 要认真做的事，切莫忽视．
拟定计划
• 例3 已知k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k + ab +bc+ ca ＞ 0
①
拟定计划
• 抛物线y=x2－(a＋b＋c) x＋ab＋bc＋ca开口向 上．如果二次多项式 x2－(a＋b＋c) x＋ab＋bc＋ca ② 的判别式 △=(a＋b＋c) 2－4(ab＋bc＋ca) ③ 满足△＜0 ④ 那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上方，恒有 x2 －(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＞0． ⑤ 于是①成立． • 故，原问题化为证明④成立． • 这一计划也很清楚，但是无法证明④一定成立．
• 图中D是小镇，E是傍晚休息处．D、E之间 的距离是 400千米．EB是CE的二分之一， AD是AC的三分之一，AC比CB多100千 米．求AB的长．
A D C E B
弄清问题