传染病模型080301054

0803010
传染病模型
一、问题重述：
由于传染病的传播会随时间而演变，根据一般的传播机理建立几种传染病模型。

数学符号说明：
N: 总人数
i(t)：已感染人数 (病人)
s(t)：病人治愈后即移出感染系统
λ：每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数 μ：病人每天治愈的比例
二、建立模型：
1、简单模型： 假设：每个病人每天有效接触人数(使人致病的人数)为λ。

设时刻t 的病人人数()i t 是连续可微的，且每天每个病人有效接触的人数为常数λ，考察时间t 到t t ∆+期间，病人人数的增加量，就有()()()i t t i t i t t λ+∆-=∆
再设0=t 时，有病人0x
个，这样可得微分方程：
0(0)di
i dt i i
λ⎧=⎪
⎨
⎪=⎩
求解可得：0()t
i t i e λ=。

其中当t →∞时，i →∞。

这个结果表明，随着t 的增加，病人人数()i t 无限制地增长，显然不符合实际。

之所以出现这样的结果，问题在于在病人有效接触病人的人群中，既有健康人也有病人，而只有健康人才可以被传染为病人。

所以下面我们改进模型，区别这两种人。

[()()][()]()N i t t i t s t Ni t t
λ+∆-=∆
2、SI 模型
假设：（1）总人数N 不变，病人和健康人的比例分别为i(t)、s(t)。

（2）每个病人每天有效接触人数为λ, 且使接触的健康人致病。

[()()][()]()N i t t i t s t Ni t t λ+∆-=∆
di si dt
λ=
()()1s t i t += 0(1)(0)di
i i dt i i
λ⎧=-⎪
⎨
⎪=⎩
在上述方程组中设98.0)0(,02.0)0(,3.0,1====s i μλ。

图1： SI 模型的i~t
曲线
图2：SI 模型的
i dt
di ~曲线
由图1可知，
一、当2
1=
i 时，
dt di
达到最大值max
⎪⎭⎫
⎝⎛dt di ，这个时刻为)11ln(01-=-i t m λ。

此时病人增加得最快，可以认为是医院门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医
疗卫生部门关注的时刻。

二、当t →∞时，1i →，即所有人终将被传染，全变为病人，这不符合实际情况。

原因在于未考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，而病人就不会再变成健康者。

基于以上分析，模型需要进一步被改进。

下面我们讨论病人可以被治愈的情况。

3、SIS 模型
增加假设：病人每天治愈的比例为μ。

病人治愈后仍可被感染的健康者。

[()()]()()()N i t t i t Ns t i t t Ni t t λμ+∆-=∆-∆ 0(1)(0)di
i i i dt
i i
λμ⎧=--⎪
⎨⎪=⎩
/σλμ= ：一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

(1)di i i i dt
λμ=--
1[(1)]di
i i dt
λσ
=---
1>σ时，设98.0)0(,02.0)0(,3.0,1====s i μλ。

图3：SIS 模型的
i dt
di ~曲线（1>σ） 图4： SIS 模型的t i ~曲线（1>σ）
1≤σ时，2.0)0(,7.0,5.0===i μλ
图5： SIS 模型的
i dt
di ~曲线（1≤σ） 图6： SIS 模型的t i ~曲线（1≤σ）
不难看出，接触数1=σ是一个阈值。

当1>σ时，)(t i 的增减性取决于0i 的大小（见图4），但其极限值随着σ的增加而增加；当1≤σ时，病人比例)(t i 越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故。

4.SIR 模型
有些传染病在治愈后均有较强的免疫力，所以病愈的人既非健康者，也非病人，他们已经推出了传染系统，这种情况相对复杂。

下面建立模型： 增加假设：
1总人数N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 2病人的日接触率λ , 日治愈率μ, 接触数： σ = λ / μ
()()()1s t i t r t ++=
建立(),(),()i t s t r t 的两个方程
[()()]()()()N i t t i t Ns t i t t Ni t t λμ+∆-=∆-∆ [()()]()()N s t t s t Ns t i t t λ+∆-=-∆
00(0),(0)di
si i dt ds
si dt i i s s λμλ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪
==⎪⎪⎩
在方程中，设98.0)0(,02.0)0(,3.0,1====s i μλ，利用MA TLAB 软件编程：、
程序编写：
function dy= wf(t,y)
dy=zeros(2,1); lambda=1; miu=0.3;
dy(1)=lambda*y(2)*y(1)-miu*y(1); dy(2)=-lambda*y(2)*y(1); 在命令窗口输入：
>> [T,Y] = ode45(@wf,[0 50],[0.02 0.98]); >> plot(T,Y(:,1)) >> hold on >> plot(T,Y(:,2))
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
图7： )()(t s t i 、图形
图8： i~s 的图形（相轨线）
为了分析)()(t s t i 、
的一般变化规律，需要进行相轨线分析。

图9：为SIR 模型的相轨线
0001((0)i s r r +≈=通常很小）
消去dt , 令/σλμ= 00
11
s s di
ds s i i σ=⎧=-⎪⎨
⎪=⎩ 得到相轨线000
1
()()ln
s i s s i s s σ
=+-+。

如图9所示，其中箭头方向表示了随着时间t 的增
加，)()(t s t i 、的变化趋向。

000
1
()()ln
s i s s i s s σ
=+-+
P1: →>σ1
0s )(t i 先升后降至0⇒传染病蔓延 P2: →<
σ
1
0s )(t i 单调降至0⇒传染病不蔓延
从而我们由模型得知：传染病不蔓延的条件为σ
1
0<
s 。

结果分析：
因此我们规定一个阈值：
σ
1。

要使得传染病不蔓延，就要提高阈值，即降低σ。

而μ
λσ=
，
降低σ，就意味着要降低λ，提高μ。

也就意味着提高卫生水平，提升医疗水平。

对于σ
1
0<
s ，还可考虑降低0s ，又001r s -=，即要提高0r ，也就是提高群体的免疫能力，这可以通过接种疫苗实现。

通过上面的分析得知，我们的模型分析所得的结果与现实生活中的经验基本吻合，从而该模型具有一定的可靠性和预测性。