全国甲2022年高考数学压轴卷理(含答案)

（全国甲）2022年高考数学压轴卷 理一．选择题（本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{x|2x ﹣8＜2﹣3x}，B ＝{x|x 2﹣4x+3＜0}，则A∪B＝（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（﹣∞，3）D ．（1，3）2.设复数z 满足（1+i ）z ＝4i ，则|z|＝（ ） A ．22 B ．2C ．2D ．223.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝21xB ．y ＝2﹣xC ．y ＝x 21logD ．y ＝x1 4.刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A. 0.00873B. 0.01745C. 0.02618D. 0.034915.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A.33B.43C. 2D.836.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的结果是（ ）A. 32B.16 C. 2512D. 137607.我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7，在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（） A.356B.328C.17D.158.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为 A. 1B. 2C. 4D. 59.在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A. －80B. －40C. 40D. 12010.已知实数x ，y 满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则z ＝l y x -的最小值为（ ）A ．43B ．45C ．2D ．311.已知双曲线5422y x -＝1的右焦点为F ，点M 在双曲线上且在第一象限，若线段MF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF 的斜率是（ ） A ．35-B ．7115-C ．7115 D ．3512.已知函数()()()22210,0xax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),e +∞B. ()2e ,+∞C. ()20,eD. ()0,e第II 卷（非选择题）二．填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当10x -<<时，()3xf x =，则()3log 2f =______．14.在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治、地理、技术5科中任选2科，则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有 种．15.已知点O （0，0），A （1，2），B （m ，0）（m ＞0），则cos ＜OA ，OB ＞＝ ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m ＝ ． 16.数列{a n }是首项10a ≠，公差为d 的等差数列，其前n 和为S n ，存在非零实数t ，对任意*n N ∈有(1)n n nS a n t a =+-⋅恒成立，则t 的值为__________．三、解答题（本题共5个小题,第17-21题没题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）＝c ． （1）求C ；（2）若c ＝7，△ABC 的面积为233，求△ABC 的周长． 18.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且S n ＝2n 2+n ，n∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n +3，n∈N *． （Ⅰ）求a n 和b n 的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．19.如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E 为棱PD 的中点，PF PC λ=（λ为常数，且01λ<<）．（1）若直线BF∥平面ACE ，求实数λ的值； （2）当14λ=时，求二面角C −AE −F 的大小．20.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a >，0b >）的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C过点P （2，1）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为1k ，2k ，且1212k k ⋅=-，当坐标原点O 到直线AB 的距离最大时，求直线AB 的方程．21.已知函数f （x ）＝22+-+x a x •e x（a≥0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当b∈[0，1）时，设函数g （x ）＝2)1(x x b e x +-（x ＞0）有最小值h （b ），求h （b ）的最大值．选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝θ2sin 314+，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1．若正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（1，6π）．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PC|2的取值范围． 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x ﹣1|．（1）求不等式f （x ）+f （2x ）≤4的解集M ；（2）记集合M 中的最大元素为m ，若不等式f 2（mx ）+f （ax ）≤m 在[1，+∞）上有解，求实数a 的取值范围．参考答案1.【答案】 C【解析】解：∵2x﹣8＜2﹣3x ，∴x＜2，∴A＝（﹣∞，2）， ∵x 2﹣4x+3＜0，∴1＜x ＜3，∴B＝（1，3）， ∴A∪B＝（﹣∞，3）． 故选：C ． 2.【答案】D【解析】解：由（1+i ）z ＝4i ， 得z ＝＝＝2+2i ， 则|z|＝＝2．故选：D ． 3. 【答案】A【解析】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数． 故选：A ． 4.【答案】B【解析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解.【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B5.【答案】B【解析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据椎体的体积公式以及三视图中的数据可求该几何体的体积. 【详解】复原后的几何体为如图所示的三棱锥，其底面为等腰三角形， 该三角形的底边长为2，高为2，棱锥的高为2，故体积为114222323⨯⨯⨯⨯=（）. 故选：B ． 6.【答案】C【解析】由题意，S 、S 初始值分别为1，0．当k 为小于5的正整数时，用1S k+的值代替S ，1k +代替k ，进入下一步运算．由此列出如下表格S 0 1 112+ 11123++ 1111234+++输出S值k 1 2 34 5因此，最后输出的123412S =+++=故选：C ． 7.【答案】D【解析】写出大于3且不超过20的素数，分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好是一组孪生素数的情况，再利用古典概型公式代入求解.【详解】大于3且不超过20的素数为：5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，共有65152⨯=个情况，恰好是一组孪生素数的情况为：5和7，11和13，17和19，共3个，所以概率为31155P ==. 故选：D8.【答案】A【解析】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.9.【答案】C【解析】针对()512x -部分，通项为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，∴()()51231x x -+中3x项为2?33?335512840C x C x x -=，故选：C10.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P连线的斜率，由图可知，，可知z＝的最小值为．故选：B．11.【答案】A【解析】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF 中，tanα＝＝，∴直线MF 的斜率是﹣．故选：A ． 12.【答案】B 分析：【解析】解答：当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x--'=， 得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B.13.【答案】12-【解析】】因为3log 2(0,1)∈，所以3log 2(1,0)-∈-由()f x 为奇函数得：()()31log 233311log 2log 2log 322f f f ⎛⎫=--=-=-=- ⎪⎝⎭． 故答案为：12-14.【答案】180【解析】】根据题意，按物理、历史2科中有或没有相同学科分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论： ①物理、历史2科中有相同学科．则有C ＝60种选法； ②物理、历史2科中没有相同学科．则有C＝120种选法．所以甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有60+120＝180种； 故答案为：180．15.【答案】，5解：根据题意，点O （0，0），A （1，2），B （m ，0）， 则＝（1，2），＝（m ，0），则||＝，||＝m ，•＝m ，故cos ＜，＞＝＝， 若B 是以OA 为边的矩形的顶点，而与不垂直，则必有⊥，又由＝（m ﹣1，﹣2），则有•＝（m ﹣1）+2×（﹣2）＝0，解可得m ＝5，故答案为：，5．16.【答案】1或12【解析】当1n =时，()1n n n S a n t a =+-⋅恒成立，当2n ≥时： 当数列的公差0d =时，()1n n n S a n t a =+-⋅即()1111na a n t a =+-⋅， 据此可得()()1111n a n t a -=-⋅⋅，则1t =，当数列的公差0d ≠时，由题意有：()1n n n S a n t a =+-⋅，()1112n n n S a n t a ---=+-⋅， 两式作差可得：()()1112n n n n n a a a n ta n ta --=-+---，整理可得：()()()1111n n n n t a a t a ---⋅⋅-=-，即：()111n ta n d t-=-⋅-，① 则1n ta n d t=⋅-，② ②-①整理可得：11n n ta a d d t--==-恒成立， 由于0d ≠，故11tt =-，据此可得：12t =， 综上可得：t 的值为1或12. 17.【答案】【解析】解：（1）由已知2cosC （acosB+bcosA ）＝c ， 正弦定理得：2cosC （sinAcosB+cosAsinB ）＝sinC ， 即2cosC•sinC＝sinC ， ∵0＜C ＜π，sinC≠0， ∴cosC＝， ∴C＝．（2）由c ＝，C ＝，△ABC 的面积为＝absin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c 2＝b 2+a 2﹣2abcosC ，可得：7＝b 2+a 2﹣ab ＝（a+b ）2﹣3ab ＝（a+b ）2﹣18， 可得：（a+b ）2＝25，解得：a+b ＝5， ∴△AB C 的周长a+b+c ＝5+．18.【答案】【解析】解：（Ⅰ）数列{a n }的前n 项和为S n 且S n ＝2n 2+n ，n∈N *， 则：a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n≥2）， ＝2n 2+n ﹣2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1） ＝4n ﹣1，当n ＝1时，a 1＝3符合通项公式， 所以：a n ＝4n ﹣1．由于：数列{b n }满足a n ＝4log 2b n +3，n∈N *．则：4n ﹣1＝4log 2b n +3， 所以：，（Ⅱ）由（Ⅰ）得：设c n ＝，则：T n ＝c 1+c 2+…+c n ＝3•20+7•21+…+（4n ﹣1）2n ﹣1①②①﹣②得：﹣（4n ﹣1）2n ﹣1，整理得：．19.【答案】 （1）12λ= （2）2π 【解析】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 由题意可知，AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()002P ,,，()0,2,1E ， 所以()2,2,0AC =，()0,2,1AE =，()2,0,2BP =-，()2,2,2PC =-， 则()2,2,2PF PC λλλλ==-，所以()22,2,22BF BP PF λλλ=+=--． 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =．由00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：220,20.x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令1x =，得()1,1,2m =-．因为BF ∥平面ACE ，所以222440BF m λλλ⋅=--+-=，解得12λ=．（2）由（1）知()0,0,2AP =，()2,2,2PF λλλ=-，()0,2,1AE =，平面ACE 的一个法向量为()1,1,2m =-，所以()1132,2,22,,222AF AP PF λλλ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭．设平面AEF 的一个法向量为()000,,n x y z =．由0,0,AE n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0000020,1130.222y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩令01y =，得()5,1,2n =-， 所以cos ,0m nm n m n ⋅==.所以m n ⊥，所以二面角C AE F --的大小为2π．20.【答案】（1）22182x y +=（2）6350x y --=【解析】（1）由题意可得22242,411,a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩解方程组可求出2,a b ，从而可求出椭圆方程， （2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程中消去y ，利用根与系数的关系，然后由1212k k ⋅=-列方程可求出213k t +=-，则直线AB 的方程为213k y kx +=-，从而可得其过定点，②当直线AB 的斜率不存在时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，由1212k k ⋅=-可求出,A B 两点的坐标，从而可求出直线AB 过的定点，进而可求出直线方程 【详解】（1）由题意，知222411,a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立2248,,x y y kx t ⎧+=⎨=+⎩得()222418480k x ktx t +++-=．由韦达定理，得12221228,4148,41kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以122221222,418.41t y y k t k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为()()()()()22221212121222212121211411241122224416164421424y y y y t k y y t t k t kk k x x x x x x t kt k t k t k -++------+--⋅=⋅====---++++-+++-12=-，所以3210t k ++=，即213k t +=-，所以直线AB 的方程为213k y kx +=-，即(32)(31)0x k y --+=，由320310x y -=⎧⎨+=⎩，得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故直线AB 恒过点21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭． ②当直线AB 的斜率不存在时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以()()20000122000011121224222y y y x k k x x x x ----+⋅=⋅===-----，解得023x =，所以此时直线AB 也过点21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭．因为点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部， 所以当直线AB 垂直于OM 时，坐标原点O 到直线AB 的距离最大， 此时直线AB 的方程为6350x y --=．21.【答案】【解析】解：（1）函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）， 且f′（x ）＝e x[+]＝e x•，令x 2+ax+a ＝0，则△＝a 2﹣4a ， ①当0≤a≤4时，△≤0，x 2+ax+a≥0，即f′（x ）≥0且不恒为零，故f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）， ②当a ＞4时，△＞0，方程x 2+ax+a ＝0的两根为x 1＝，x 2＝，由于x 1﹣（﹣2）＝＜0，x 2﹣（﹣2）＝＞0，（或令φ（x ）＝x 2+ax+a ，φ（﹣2）＝4﹣a ＜0） 故x 1＜﹣2＜x 2，因此当x∈（﹣∞，x 1）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x∈（x 1，﹣2）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x∈（﹣2，x 2）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ∈（x 2，+∞）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增，综上，当0≤a≤4时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）； 当a ＞4时，f （x ）在（﹣∞，）单调递增，在（，﹣2）单调递减，在（﹣2，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由g′（x ）＝＝，设k（x）＝e x+b（x＞0），由（1）知，a＝0时，f（x）＝e x在（0，+∞）单调递增，故k（x）在区间（0，+∞）单调递增，由于k（2）＝b≥0，k（0）＝﹣1+b＜0，故在（0，2]上存在唯一x0，使k（x0）＝0，﹣b＝，又当x∈（0，x0）时，k（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，k（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，故x∈（0，+∞）时，h（b）＝g（x0）＝＝＝，x0∈（0，2]，又设m（x）＝，x∈（0，2]，故m′（x）＝＝＞0，所以m（x）在（0，2]上单调递增，故m（x）≤m（2）＝，即h（b）的最大值为．22.【答案】【解析】解：（1）点A的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），点B的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），点C的极坐标为（），根据转换为直角坐标为（），点D的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，根据转换为直角坐标方程为，设P（2cosθ，sinθ），则|PA|2+|PC|2＝．23.【答案】【解析】解：（1）由题意可知，f（x）+f（2x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|≤4，当x≥1时，原不等式可化为3x﹣2≤4，解答x≤2，所以1≤x≤2；当＜x＜1时，原不等式可化为1﹣x+2x1≤4，解得x≤4，所以＜x＜1；当x≤时，原不等式可化为1﹣x+1﹣2x≤4，解得x≥﹣，所以﹣≤x≤．综上，不等式的解集M＝{x|﹣≤x≤2}．（2）由题意，m＝2，在不等式等价为|2x﹣1|2+|ax﹣1|≤2，因为x≥1，所以|ax﹣1|≤2﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣4x2+4x+1，所以4x2﹣4x﹣1≤ax﹣1≤﹣4x2+4x+1，要使不等式在[1，+∞）上有解，则（4x﹣4）min≤a≤，所以0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0，2]．。