相关系数 协方差
协方差与相关系数公式详解了解变量之间的关联程度
协方差与相关系数公式详解了解变量之间的关联程度协方差与相关系数公式详解：了解变量之间的关联程度在统计学中，协方差和相关系数是了解变量之间关联程度的重要指标。
它们能够帮助我们判断两个或多个变量之间的关系以及它们对彼此的影响程度。
本文将详细解释协方差和相关系数的公式以及如何使用它们来进行分析。
一、协方差协方差用于衡量两个变量的总体误差。
它的公式如下：协方差= Σ[(Xi- X均) * (Yi - Y均)] / N其中，Xi和Yi是样本的观测值，X均和Y均是样本的均值，N是样本量。
协方差具有以下几个性质：1. 如果两个变量的协方差大于0，则它们正相关；如果协方差小于0，则它们负相关；如果协方差等于0，则它们不相关。
2. 协方差的绝对值大小不能反映出变量之间的强度和方向。
3. 协方差受到变量单位的影响，不便于比较不同数据集之间的关联程度。
二、相关系数相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向，它可以消除变量单位的影响。
最常用的是皮尔逊相关系数，其计算公式如下：相关系数 = 协方差 / (X标准差 * Y标准差)其中，X标准差和Y标准差分别是X和Y的标准差。
相关系数取值范围在-1到1之间，具有以下特点：1. 相关系数为1时，表示两个变量完全正相关，即存在着线性关系。
2. 相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关，即一个变量的增加与另一个变量的减小呈线性关系。
3. 相关系数接近0时，表示两个变量之间关系较弱，接近随机关系。
4. 若相关系数为0，表示两个变量之间不存在线性关系。
通过计算相关系数，我们可以了解到变量之间关联程度的强弱。
然而，需要注意的是相关系数只能衡量线性关系，若变量之间存在非线性关系，则相关系数可能无法准确刻画它们之间的关系。
三、协方差和相关系数的应用协方差和相关系数广泛应用于金融学、经济学、社会科学等领域。
它们能够提供关于变量之间关系的重要信息，有助于数据分析和决策制定。
在金融领域，协方差和相关系数可用于评估资产之间的风险和收益关系。
协方差与相关系数 PPT
D(V ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 17
所以
Cov(U ,V ) Cov(2X Y , 2X Y )
Cov(2X , 2X ) Cov(2X ,Y ) Cov(Y , 2X ) Cov(Y ,Y )
所以D(t0X*-Y*)=0,由方差得性质知它等价于 P{t0X*-Y* =0}=1,即P{Y=aX+b}=1
其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X)、
• 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0、 证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y), 又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
协方差与相关系数
一、协方差得概念及性质 二、相关系数得概念及性质 三、协方差得关系式
§1 协方差
• 定义:设二维随机向量(X,Y)得数学期望 (E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称 它为随机变量X与Y得协方差,记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] • 协方差有计算公式
9 ， XY
1 3
，设
U
2X
Y
，
V 2X Y ， 求 UV .
解
Cov( X ,Y ) XY
D( X ) D(Y ) 1 3
49 2
D(U ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 33
E( X ) (1) 0.15 1 0.35 0.20
协方差与相关系数
其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的 线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设 服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,
协方差与相关系数
D( X + Y ) = ? D( X + Y ) = E ( X + Y )2 − [ E ( X + Y )]2
= D( X ) + D(Y ) + 2 E {[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}.
协方差
(2) 定义
称 E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} 为随机变量 X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X , Y ), 即 C ov( X , Y ) = E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}. 称 ρXY = Cov( X , Y ) D( X ) ⋅ D(Y ) ( D( X ) ≠ 0, D(Y ) ≠ 0)
G
O
x
D(Y ) = D( X ) = 153 / 2800,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400 = 0.0475,
Cov( ,Y ) X ρXY = = 0.87, D( X ) ⋅ D(Y )
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ) = 0.2043.
a ,b
2 = E {[Y − (a0 + b0 X )]2 } = (1 − ρXY ) D(Y )
⇒ ρXY = 1.
(4) 不相关与相互独立的关系 若随机变量X， 相互独立 相互独立， 定理 若随机变量 ，Y相互独立， 则 ρ xy = 0 ,即X，Y不相关。 不相关。 ， 不相关 不相关 注 1) 相互独立 如后面例２ 如后面例２． 2) 不相关的充要条件
2) D( X +Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ).
协方差与相关系数
= ρσ 1σ 2
ρ xy =
ρσ 1σ 2 = =ρ σ 1σ 2 D ( X ) D (Y )
Cov ( X , Y )
ρ=0, ,
从而说明二维正态分布随机变量X, 相互独立 从而说明二维正态分布随机变量 ,Y相互独立 相互独立与不相关是等价的. 即X,Y相互独立与不相关是等价的. , 相互独立与不相关是等价的
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人:程述汉 苏本堂
设二维( 例2 设二维(X,Y)随机变量的密度函数为
π π 1 cos( x + y ), 0 ≤ x ≤ , - ≤ y ≤ 0 f ( x, y ) =Y )
1 2 0 π 解 因为 E ( X ) = ∫ ∫ π x cos( x + y )dxdy = ≈ 0.7854, 2 0 -2 4 π 2 1 2 0 2 π π 2 D( X ) = ∫ ∫ π x cos( x + y)dxdy -[ E( X )] = + 2 ≈ 0.1876 2 0 -2 16 2 同理可得 E (Y ) ≈ 0.7854, D(Y ) ≈ 0.1876, 1 π 0 π 2 E ( XY ) = ∫ ∫ π xy × cos( x + y )dxdy1 ≈ -0.5708, 2 0 -2 2 cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y )
2aE[Y E (Y )][ X E ( X )] + 2 E[Y E (Y )][ E (Y ) aE ( X ) b]
2 aE [ X E ( X )][ E (Y ) aE ( X ) b ]
= D(Y ) + a D( X ) + [ E (Y ) aE ( X ) b] 2a cov( X , Y )
相关系数和协方差的计算公式
相关系数和协方差的计算公式
相关系数和协方差是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关联程度。
相关系数是一个介于-1到1之间的数值，用来衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
协方差则是一个描述两个变量之间关系的统计量。
相关系数的计算公式如下：
相关系数 = 协方差 / (变量1的标准差 * 变量2的标准差)
其中，协方差的计算公式如下：
协方差= Σ((变量1的值 - 变量1的均值) * (变量2的值 - 变量2的均值)) / 样本数
相关系数和协方差的计算公式可以帮助我们衡量两个变量之间的关联程度。
相关系数的取值范围为-1到1，当相关系数接近1时，表示两个变量之间存在强正相关关系；当相关系数接近-1时，表示两个变量之间存在强负相关关系；当相关系数接近0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
协方差的取值范围为负无穷到正无穷，协方差的正负表示了两个变量之间的关系方向。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系；当协方差接近于0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
通过计算相关系数和协方差，我们可以得出两个变量之间的关联程度。
这些概念和计算公式在统计学和数据分析中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解释变量之间的关系，从而做出更准确的预测和决策。
无论是在科学研究、经济分析还是市场营销等领域，相关系数和协方差都是非常重要的工具。
通过运用相关系数和协方差的计算公式，我们可以更好地理解数据背后的规律和趋势，从而做出更明智的决策。
相关系数和协方差的关系
相关系数和协方差的关系
一、首先要明白这2个的定义
1、相关系数是协方差与两个投资方案投资收益标准差之积的比值，
其计算公式为：
相关系数总是在-1到+1之间的范围内变动，-1代表完全负相关，+1代表完全正相关，0则表示不相关。
2、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另一投资项目风险的统计指标。
其计算公式为：
当协方差为正值时，表示两种资产的收益率呈同方向变动；协方差为负值时，表示两种资产的收益率呈反方向变动。
二、要辨清两者的关系
1、相关系数与协方差一定是在投资组合中出现的，只有组合才有相关系数和协方差。
单个资产是没有相关系数和协方差之说的。
2、相关系数和协方差的变动方向是一致的，相关系数的负的，协方差一定是负的。
3、（1）协方差表示两种证劵之间共同变动的程度：相关系数是变量之间相关程度的指标根据协方差的公式可知，协方差与相关系数的正负号相同，但是协方差是相关系数和两证券的标准差的乘积，所以协方差表示两种证劵之间共同变动的程度。
（2）相关系数是变量之间相关程度的指标，相关系数在0到1之间，表示两种报酬率的增长是同向的；相关系数在0到-1之间，表示两种报酬率的增长是反向的，所以说相关系数是变量之间相关程度的指标。
总体来说，两项资产收益率的协方差，反映的是收益率之间共同变动的程度；而相关系数反映的是两项资产的收益率之间相对运动的状态。
两项资产收益率的协方差等于两项资产的相关系数乘以各自的标准差。
协方差与相关系数
• 任意两个随机变量X与Y的和的方差为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
协方差的性质
1. C ov(X,X)D (X)
2. C o v(X ,Y ) C o v(Y ,X ) 3. C o v (a X ,b Y ) a b C o v ( Y ,X )a,b是常数
• 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0.
• 性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.
证明 则
令 XXE(X) YYE(Y)
D (X)
D (Y)
X 2 Y(E{X [E D((X X))D ]Y([Y )E(Y)]} 2 )
(E {X [E (X )]Y [E (Y )]} 2 [ )E (X * Y *2 )] D (X ) D (Y )
XY
Co(vX,Y) 0 D(X) D(Y)
§2.2 相关系数的含义
• 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y.以均方误差
e=E{[Y-(a+bX)]2}
=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)
来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e的值越小表示
a+bX与Y的近似程度越好.为此令
=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]} =abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =abCov(X,Y)
• 定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) 证明 Cov(X+Y,Z)
=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)] = E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]} = E{[X-E(X)][Z-E(Z)]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相关系数协方差
相关系数和协方差实际上是相同的概念，都是用来描述两个随机变量之间的相似程度的。
协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另
一投资项目风险的统计指标，通俗点就是投资组合中两个项目间收益率的相关程度，正数说明两个项目一个收益率上升，另一个也上升，收益率呈同方向变化。
如果是负数，则一个上升另一个下降，表明收益率是反方向变化。
协方差的绝对值越大，表示这两种资产收益率关系越密切；绝对值越小表明这两种资产收益率的关系越疏远。
由于协方差比较难理解，所以将协方差除以两个投资方案投资收益率的标准差之积，得出一个与协方差具有相同性质却没有量化的数。
这个数就是相关系数。
计算公式为相关系数=协方差/两个项目标准差之积。