复变函数留数详细版.ppt

C
ze z z2 1d
z
2π
i{Res[
f
(z),1]
Res[
f
(z),1]}.
优选文档
12
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim (z
z 1
1)
z ez z2 1
lim
z 1
z ez z 1
e 2
Res[
fwenku.baidu.com
( z ),1]
lim (z
z 1
1)
z ez z2 1
lim
z 1
z ez z 1
优选文档
7
2、留数的求法
求函数在奇点a处的留数即求它在以z0为中 心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-a)-1项的系数 即可. 如果a是f(z)的可去奇点, 则Res[f(z),a]=0, 如 果a是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将 其按洛朗级数展开。 如果a是极点, 则有一些对求c-1有用的规则.
在 a 的去心邻域 0 z a R 内解析，则称积
分
1
2i
f
zdz ：z a
，
0
R
为 f z 在点 a 的留数（Residue）记为：
Res f (z) Res[f (z);a] 1 f z dz
za
2 i
Re s za
f z c1
优选文档
4
定理6.1 （柯西留数定理） f z 在围线或
Res[ f (z), a] P(a) Q(a)
因为
( 5.3)
(z
a)
f
(z)
P(z) Q(z) Q(a)
za 令 za 即得(5.3)
优选文档
11
ze z
例1
计算积分
C
z
2
1
d
z
,
C
为正向圆周|z|=2.
[解]
由于
f (z)
z ez z2 1 有两个一级极点+1,1,
而这两个极点都在圆周|z|=2 内, 所以
复围线 C 所范围的区域 D 内，除
a1，a2，，an
外解析，在闭域 D D C 上除 a1，a2，，an 外连续，则
n
f z dz 2i Res f z
c
k 1 zak
优选文档
5
n
柯西留数定理： f (z) d z 2 π i Res f (z).
C
k 1 zak
a1
D
Cn an
9
事实上, 由于
f(z)=c-m(z-a)-m+...+c-2(z-a)-2+c-1(z-a)-1 +c0+c1(z-a)+...,
(z-a)mf(z)=c-m+c-m+1(z-a)+... +c-1(z-a)m-1+c0(z-a)m+...,
dm1 d zm1
{(z
a)m
f
(z)}
(m
1)!c1
a(z
a)
令两端za, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以 (m-1)!就是Res[f(z),a], 因此即得(5.2), 当m=1时 就是(5.1)
优选文档
10
规则 III
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)及
Q(z)在
a
都解析,
如果 P(a)0, Q(a)=0, Q'(a)0, 则 a 为 f(z)的一级极点, 而
e1 2
.
因此
C
z ez z2 1d
z
2π
i(
e 2
e1 2)
2π
i ch1
优选文档
13
我们也可以用规则III来求留数:
| Res[ f (z),1] z ez e ; 2z z1 2
| Res[ f (z),1] z ez
e1 .
2z z1 2
这比用规则1要简单些.
优选文档
14
z
例 2
优选文档
8
留数的计算规则 规则1 如果a为f(z)的一级极点, 则
Res f (z) lim(z a) f (z) （5.1)
za
zz0
规则2 如果a为f(z)的m级极点, 则
Res[
f
(z), a]
1 lim
(m 1)! za
d m 1 d zm1
{( z
a)m
f
( z )}
（5.2)
优选文档
f (z)dz ...cm (z a)m dz ... c1 (z a)1dz ...
2 ic1
其它项的积分均为零，只是剩下c1
这是由于
f (z) 2 i n 1
(z a)n dz= 0
n 1
对于这样的积分留下来的只有数c1，我们将其称为留数（残数）。
优选文档
3
定义5.1 设 f z以 a 为孤立奇点，即
C1
a3 C3
a2 C2
C
优选文档
6
证：作圆周 k : z ak k k 1，2，n 使全含于 D 内且两两不相交，则由柯西积分
定理
n
f z
c
i1 k
f zdz
n
2 i Re s f z k 1 z ak
注：留数定理：求积分转化为求留数；将积分 问题转化为代数问题，即求洛朗展式的负一次 幂的系数问题
P(z) Q(z)
z 4z3
1 4z2
,故
C
z
z 4
1
d
z
2π
i(
1 4
1 4
1 4
1 4
)
0
优选文档
16
ez
例3
计算积分
C
z(z
1)2
d
z
,
C
为正向圆周|z|=2.
[解] z=0 为被积函数的一级极点, z=1 为二级
极点, 而
Res[
f
(z),0]
lim
z 0
z
ez z(z 1)2
lim
z0
其中：cn
1
2 i
(z
f (z) a)n1
dz
n N, : 绕着a的围线(在0 z a R中)，
取n -1,
c1
1
2 i
f
(z)dz.
即：f (z)的洛朗展开式中(z a)1的系数c1为积分：21 i f (z)dz.
或者说：
f (z)dz＝2 ic1
优选文档
2
另一方面，取上述的，对级数 f (z) ...cm (z a)m ... c1(z a)1 ...c0 c1(z a) ...cn (z a)n ... 两端积分，得
ez (z 1)2
1.
优选文档
17
Res[
f
( z ),1]
(2
1
1)!
lim
z 1
d dz
计算积分
C
z4
d 1
z
,
C
为正向圆周|z|=2.
z [解] 被积函数 f (z) z4 1 有四个一级极点
1,i 都在圆周|z|=2 内, 所以
. C
z
4
z
1
d
z
2π
i{Res[
f
(z),1]
Res[
f
( z ),1]
Res[ f (z),i] Res[ f (z),i]}
优选文档
15
由规则 III,
第五章 留数
§1 留数的概念与计算 §2 用留数定理计算实积分 §3 辐角原理与儒歇定理
优选文档
1
§1留数的概念与计算
1、留数的定义与留数定理
设函数f (z)在0 z a R上解析，则
f (z) ...cm (z a)m ... c1(z a)1 ...c0 c1(z a) ...cn (z a)n ...