(完整版)换元法在因式分解中的应用
人教版-数学-八年级上册-15.4因式分解 用“换元法”分解因式
用“换元法”分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的两种方法，比如提公因式法、运用公式法，这些方法都是最基础的因式分解方法．一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”．李老师欣然同意，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法———换元法．李老师把换元法分解因式分成了三种情况．一、换单项式例1分解因式x6+16x3y+64y2．析解：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3= m，则x6=m2，原式变形为m2+16my+64y2=（m+8y）2=（x3+8y）2．二、换多项式例2分解因式（x2+4x+6）（x2+6x+6）+x2．析解：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=（m+5x）2=（x2+6+5x）2=2=（x+2）2（x+3）2．以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”．当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”．比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2=2=（x+2）2（x+3）2．三、换系数例3分解因式x3+x2-2004×2005x．析解：此题若按照一般思路解答，很难奏效．注意到2004、2005两个数字之间的关系，把其中一个常数换元．比如，设2004＝m，则2005=m+1．于是，原式变形为x3+x2-2004×2005x=x2（x+1）-m（m+1）x=x=x（x2+x-m2-m）=x=x=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2004）（x+2004+1）=x（x-2004）（x+2005）．以上介绍的是用换元法进行因式分解的初步知识，同学们在以后解题时要多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法．也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的．最后请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其它解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧．。
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
因式分解的数学方法
因式分解的数学方法因式分解的数学方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，方便大家查阅。
一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
换元法因式分解
换元法因式分解
【原创实用版】
目录
1.换元法因式分解的概念
2.换元法的基本步骤
3.换元法因式分解的实际应用
4.换元法因式分解的优点与局限性
正文
一、换元法因式分解的概念
换元法因式分解，是一种将复杂多项式进行因式分解的有效方法。
它通过引入一个新的变量，将原多项式转化为一个新的多项式，从而简化因式分解的过程。
这种方法在代数学、解析几何等领域有着广泛的应用。
二、换元法的基本步骤
1.选择一个合适的换元函数，通常记为 y=f(x)。
2.将原多项式中的 x 用换元函数表示，即用 y 代替 x，得到一个新的多项式。
3.对新多项式进行因式分解。
4.将因式分解后的新多项式中的 y 用 x 替换，得到原多项式的因式分解式。
三、换元法因式分解的实际应用
例如，对多项式 x^3 - 3x^2 - 12x + 9 进行因式分解，可以采用换元法。
1.选择换元函数 y=x^2-3x，将原多项式写成 (x^2-3x)^2 -
12(x^2-3x) + 9 的形式。
2.对新多项式进行因式分解，得到 (y-3)^2。
3.将 y 用 x 替换，得到原多项式的因式分解式为 (x^2-3x-3)^2。
四、换元法因式分解的优点与局限性
换元法因式分解的优点在于，通过引入新的变量，可以将原多项式转化为一个更容易因式分解的新多项式，从而简化因式分解的过程。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
因式分解有妙方,化繁为简“换元法”
因式分解有妙方,化繁为简“换元法”“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法。
在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的。
下面，我们谈谈因式分解中的“换元法”。
一、整体代换例1 因式分解：a2（__y）-b2（__y）。
题目中出现了相同的因式__y。
我们可以将__y看作一个整体，提取公因式，运用整体代换的方法。
解：a2（__y）-b2（__y）=（__y）（a2-b2）=（__y）（a+b ）（a-b）。
当题中出现相同因式，我们可以将其看作一个整体进行运算。
为让式子更为简约，我们也可以在这道题中令u=__y，变原式为a2u-b2u，那么下一步的提取公因式就更为明朗。
这种方法我们称之为“换元法”。
要注意的是，最终的结果不能写成u·（a+b）（a-b），要将换掉的“元”重新换回去，将结果书写为（__y）（a+b）（a-b）的形式。
例2 因式分解：（x+y）2-4（x+y）+4。
题目中出现了相同因式（x+y），我们用整体代换，将x+y看作整体，令u=x+y。
解：令u=x+y，得原式=u2-4u+4=（u-2）2，即原式=（x+y-2）2。
例3 因式分解：（m2-3m+2）（m2-3m-4）+9。
本题如果利用整式乘法将两个多项式相乘，会得到一个四次多项式。
高次多项式因式分解是比较困难的。
我们可以看到题目中两个括号内也有相同因式m2-3m，利用换元法，令t=m2-3m。
解：令t=m2-3m，得（t+2）（t-4）+9=t2-2t+1=（t-1）2，即原式=（m2-3m-1）2。
本题利用整体代换达到降次目的，但要注意，最后将“元”换回去后，括号里的因式是否还能进行分解，如果可以，则要继续分解到不能分解为止。
二、平均代换对于例3，有同学会疑惑：能将m2-3m+2看成一个整体进行换元吗？当然可以。
那么m2-3m加上任意一个常數为新元可以吗？哪种换元法呈现出的因式最简洁？下面我们给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换。
(完整版)用换元法分解因式
用换元法分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法. 一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”.李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换元法. 李老师把换元法分解因式分成了三种情况：一、换单项式例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m，则x6= m2，原式变形为m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2= ( x3 + 7y)2.二、换多项式例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x 2+4x+6=m ，则x 2+6x+6=m+2x ，原式变形为m(m+2x)+ x 2= m 2+2mx+x 2= (m+x)2= ( x 2+4x+6+x)2= ( x 2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= 12 [(x 2+4x+6)+ (x 2+6x+6)]= x 2+5x+6，则x 2+4x+6=m-x ，x 2+6x+6=m+x ，(m+x)(m-x)+x 2= m 2-x 2+x 2= m 2= (x 2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x 2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x 2+x-2) (x 2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.我们采用“均值换元法”，设m= 12 [ (x 2+x-2)+ (x 2+x-12)]=x 2+x-7，则x 2+x-2=m+5，x 2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24= m2-25+24= m2-1= (m+1)(m-1)= ( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).三、换常数例3 分解因式x2(x+1)-2003×2004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) – m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)]= x(x2+x-m2-m)= x[(x2 -m2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).以上介绍的是用换元法因式分解的初步知识，同学们在以后解题时可以多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法. 也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的. 最后，就请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其他解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧.。
因式分解进阶——换元法的妙用.doc
因式分解进阶——换元法的妙用换元法换元法又称变量替换法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
-----引自百度百科上面的文字看起来有点懵，我们通俗一点讲就是，把某个式子看成一个整体用一个变量（字母）去替代它，从而使问题简化，这就叫换元法。
换元法是整体思想的体现，是非常重要的数学思维，也是高中阶段常用的数学方法，希望大家能好好研究一下。
数学解题思想之整体思想，快看看你家孩子会不会一、整体换元例1：乍一看，好像能提公因式，但是当我们尝试后发现，提完公因式就没法继续下一步了，后面的括号里也不满足十字相乘法，所以，我们今天使用换元法。
整体换元法通常把相同的部分设为一个字母。
整体换元我们可以看到，在综合练习中，一般不会只使用一种方法就解分解完全，一定是几个方法来回不断地使用，所以我们一定要记住每一种方法，并养成检查的习惯。
二、均值换元顾名思义，均值换元法就是求出两个部分的平均值，然后把这个平均值设为字母。
例2：仔细观察，两个括号中式子相差2，很容易求出他们的平均值：所以，我们可以这样做：均值换元三、双换元有时候根据题目需要，我们可以用双换元法，把其中的两个部分，分别设为两个字母，然后再根据和差关系推导出另外的部分，再代入原式进行分解。
例3：很明显，c-a、a-b、b-c这三个式子是首尾相连的，很容易得到他们的关系。
双换元还有两种比较罕见的换元法，正常的考试中碰到这类题的机率很小了，但是可以做一个了解，增加一下自己的认知度。
四、倒数换元例4：倒数换元这个题目没有太多需要讲的，基本上是比较佛系的题了，随缘，能碰到对的思路就对了，碰不到，可能想破脑袋都难想出思路。
但是提公因式后的设元，还是值得研究推敲！五、和差换元和差换元可以算是均值换元的进阶版，脑路清奇的可以记住有这么个方法，一般情况下用不到，我们直接来看个例题吧。
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换元法在因式分解中的应用
换元法是中学数学中一种重要的解题方法，属于非常规思维，带有试探性、不规则性及创造性．用换元法解题，不蹈常规，见解独特，是培养学生创造性思维能力的重要手段。
因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。
但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。
把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。
举例简解如下。
一、整体换元
例1因式分解
解：设，原式
例2若是方程的两根。
因式分解
解：因为是方程的两根，所以
设，原式
但
同理
所以原式
二、局部换元
例3因式分解
解：设
原式
例4因式分解
解：设，原式
三、局部分解后，重组再换元
例5因式分解
解：原式
原式
例6因式分解
解：原式
设，原式
注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。
四、多元换元
例7因式分解
解：设
原式
例8因式分解
解：设
原式
例9因式分解
解：设注意到
所以原式
注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。
由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。