初中数学因式分解中的换元法学法指导
初中数学换元法的学习技巧
初中数学换元法的学习技巧初中数学换元法的学习技巧初中数学10种解题方法之换元法我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
上面的内容是初中数学10种解题方法之换元法，希望同学们看过后可以做好笔记并灵活运用了。
接下来还有更多的初中数学讯息尽在哦。
初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。
对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。
总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。
你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。
初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。
学会画图画图是一个翻译的过程。
读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。
这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。
有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。
尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。
所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。
画图时应注意尽量画得准确。
画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。
初中数学解题方法之审题对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。
审题认真、仔细地审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
初中数学 什么是换元法
初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。
通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。
一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。
通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。
换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。
二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。
新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。
通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。
三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。
下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。
1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。
b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。
2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。
b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
因式分解的数学方法
因式分解的数学方法因式分解的数学方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，方便大家查阅。
一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
因式分解换元法解题技巧和方法
因式分解换元法解题技巧和方法我折腾了好久因式分解换元法解题，总算找到点门道。
就说这换元法吧，一开始我真是瞎摸索。
比如说有这么一个式子：(x ²+ 2x + 1)(x²+ 2x + 3)+1。
我就看着这式子发蒙，完全不知道从哪下手。
我最开始就想着常规的因式分解方法，提公因式啊，公式法啊，但是在这个式子上完全用不上。
后来我就想尝试换元法。
我就盯着这个式子看，发现x²+ 2x是重复出现的部分。
那我就设u = x²+ 2x。
这时候式子就变成了(u + 1)(u + 3)+1。
这个看起来就简单多了，就像是把复杂的一堆东西装到一个小盒子里去简化它。
然后我就按照正常的多项式乘法展开，得到u²+3u+u + 3 + 1 ，也就是u²+4u + 4。
这一看不就是个完全平方式嘛，就是(u + 2)²。
最后再把u = x²+ 2x换回来，就得到(x²+ 2x+2)²。
我还犯过一些错呢。
有一回啊，我设换元的部分设错了。
式子好像是那种很复杂的混合了高次幂和低次幂的式子，我光看到一个数重复就设元了，结果越做越复杂。
这就告诉我啊，设元的时候一定要找准关键的部分，这个部分最好是多次重复，而且设元之后整个式子能够大大简化才行。
再比如说，有些式子看起来并不是很明显能找到换元的部分。
我有一次遇到一个式子像2(x²- 3x + 1)²- 3(x²- 3x+1)(x²- 3x - 3)-2(x²- 3x- 3)²。
我一开始都没看出来能换元，还在那死磕呢。
后来我才发现可以设y = x²- 3x+1，z = x²- 3x - 3。
那式子就变成2y²- 3yz - 2z²。
这一下就变成我们熟悉的可以因式分解的式子啦，最后再把y和z代回去换回来。
从这些经历里啊，我就得出这么些个心得体会。
换元法因式分解
换元法因式分解
【原创实用版】
目录
1.换元法因式分解的概念
2.换元法的基本步骤
3.换元法因式分解的实际应用
4.换元法因式分解的优点与局限性
正文
一、换元法因式分解的概念
换元法因式分解，是一种将复杂多项式进行因式分解的有效方法。
它通过引入一个新的变量，将原多项式转化为一个新的多项式，从而简化因式分解的过程。
这种方法在代数学、解析几何等领域有着广泛的应用。
二、换元法的基本步骤
1.选择一个合适的换元函数，通常记为 y=f(x)。
2.将原多项式中的 x 用换元函数表示，即用 y 代替 x，得到一个新的多项式。
3.对新多项式进行因式分解。
4.将因式分解后的新多项式中的 y 用 x 替换，得到原多项式的因式分解式。
三、换元法因式分解的实际应用
例如，对多项式 x^3 - 3x^2 - 12x + 9 进行因式分解，可以采用换元法。
1.选择换元函数 y=x^2-3x，将原多项式写成 (x^2-3x)^2 -
12(x^2-3x) + 9 的形式。
2.对新多项式进行因式分解，得到 (y-3)^2。
3.将 y 用 x 替换，得到原多项式的因式分解式为 (x^2-3x-3)^2。
四、换元法因式分解的优点与局限性
换元法因式分解的优点在于，通过引入新的变量，可以将原多项式转化为一个更容易因式分解的新多项式，从而简化因式分解的过程。
（八年级数学教案）《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
（八年级数学教案）《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳八年级数学教案知识体系梳理添项拆项法有的多项式由于缺项”或并项”因此不能直接分解。
通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），贝惟使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。
换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式回归”★★典型例题、方法导航方法一：添项拆项法【例1】分解因式：分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1 ±2因此我们可猜想分解的结果可能是或或，但的中间项是，因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。
下面请看：解:其结果是我们猜想中的第一种。
此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。
方法二：方法三：方法四：方法五：方法六：（余下过程同学自己完成）方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。
中考数学复习知识点专题讲解43---换元法在初中数学中的应用
中考数学复习知识点专题讲解 换元法在初中数学中的应用利用换元法解题，具有极大的灵活性。
关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简驭繁，化难为易的目的。
在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的。
要在解题的实践中，不断摸索规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力。
下面举例说明换元法在初中数学中应用。
一、用换元法分解因式例1 把(4)(2)(1)(1)72x x x x −−−+−分解因式。
本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于x 的四次式，分解起来比较困难。
认真观察题目的结构，可以发现2(4)(1)34,x x x x −+=−−2(4)(2)(1)32x x x x x −−−=−+，它们的二次项、一次项完全相同，这就具备了换元的条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易行。
在设辅助未知数时，方法比较灵活，如可设23y x x =−，或设234y x x =−−等，一般地，设y 等于234x x −−和232x x −+的算术平均式比较简捷。
解 22(4)(2)(1)(1)72(34)(32)72x x x x x x x x −−−+−=−−−+−设231y x x =−−，则22343,323x x y x x y −−=−−+=+原式=2(3)(3)72972(9)(9)y y y y y −+−=−−=+−=22(38)(310)x x x x −+−−=2(38)(5)(2)x x x x −+−+总结提示 当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换元法来解决问题。
二、换元法在解方程中作用 掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程时，要注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程。
例2 解下列方程:①222(23)64x x −+=解 原方程变形为222(23)2(23)0x x −−−=。
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初中数学因式分解中的换元法学法指导
徐卫东 刘建英
因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。
但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。
把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。
举例简解如下。
一、整体换元
例1 因式分解.2)1x x ()1x x (2424--++-+
解：设A 1x x 24=-+，原式)1x x )(2x x ()2A )(1A (2A A 24242++-+=+-=-+= ).
1x x )(1x x ()2x )(1x )(1x (]x )1x )[(2x )(1x ()x 1x 2x )(2x x (2222222222424+-+++-+=-++-=-++-+=
例2 若βα、是方程0c bx x 2=++的两根。
因式分解.c ]c x )1b (x [b ]c x )1b (x [222++++++++
解：因为βα、是方程0c bx x 2=++的两根，所以.c ),(b αβ=β+α-=
设A c x )1b (x 2=+++，原式).A )(A (A )(A c bA A 22β-α-=αβ+β+α-=++= 但-αβ+β-α-+=α-αβ+β-α-+=α-+++=α-x x x x x )1(x c x )1b (x A 222 ),x )(1()1x ()1x (x )x ()x x x (2α-+β-α=+β-α-+β-=α+αβ-α-+β-=α
同理),x )(1x (A β-+α-=β-
所以原式).1x )(1x )(x )(x (+β-+α-β-α-=
二、局部换元
例3 因式分解.14)8x 5x )(5x 5x (22-++-+
解：设,A x 5x 2=+
原式14)8A )(5A (-+-=
).
9x 5x )(6x )(1x ()
9x 5x )(6x 5x ()
9A )(6A (54
A 3A 2222+++-=++-+=+-=-+=
例4 因式分解.x )6x 5x )(6x 7x (222+++++
解：设A 6x 5x 2=++，原式.)6x 6x ()x A (x Ax 2A x )x 2A (A 222222++=+=++=++=
三、局部分解后，重组再换元
例5 因式分解.91)9x )(35x 4x 4(22----
解：原式91)]3x )(5x 2[()]3x )(7x 2[(91)3x )(3x )(5x 2)(7x 2(--+⋅+-=--++-= ,A 21x x 291)15x x 2)(21x x 2(222=-------=设原式91A 6A 91)6A (A 2-+=-+= )8x x 2)(7x 2)(4x ()8x x 2)(28x x 2()13A )(7A (222--+-=----=+-=
例6 因式分解2x 3)12x )(10x )(16x )(5x (4-++++
解：原式)60x 16x )(60x 17x (4x 3)]10x )(6x )][(12x )(5x [(4222++++=-++++= .x 32-
设A 60x 16x 2=++，原式)x 3A 2)(x A 2(x 3Ax 4A 4x 3)x A (A 4222+-=-+=-+= )120x 35x 2)(8x )(15x 2()120x 35x 2)(120x 31x 2(222++++=++++=
注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。
四、多元换元
例7 因式分解).xy 2y x )(2y x ()1xy (2-+-++-
解：设,B x y ,A y x ==+
原式)B 2A )(2A ()1B (2--+-=
2
2
2
22222)y x 1xy ()A 1B (A )1B (A 2)1B (B
4AB 2A 2A 1B 2B )
B 4AB 2A 2A ()1B (--+=-+=++-+=+--++-=+--+-=
例8 因式分解.)y x )(a b ()y x 2)(b a (22--++-
解：设,C y x ,B y x 2,A b a =-=+=-
原式)y x y x 2)(b a ()C B )(C B (A )C B (A AC AB 2222-++-=-+=-=-=
)y 2x )(b a (x 3)y x y x 2(+-=+-+
例9 因式分解)c b a (b )b c a )(c b a (a )b a c )(a c b )(c b a (-++-+-++-+-+-+ ).a c b )(b c a (c )a c b (-+-++-+
解：设.C b a c ,B a c b ,A c b a =-+=-+=-+注意到+-+=++)c b a (C B A
.a 2A C ,c 2C B ,b 2B A ,c b a )b c a ()a c b (=+=+=+++=-++-+ 所以原式+++=⋅++⋅++⋅++
=)C A (AC ABC 2[2
1BC 2C B AB 2B A AC 2C A ABC )C B (A [2
1)]C B (BC )C B A (AB )C B A (AC [21)]C B (BC )B A (AB +=+++++++=+++ )BC AC AB A )(C B (2
1]BC )C B A (A )[C B (21)]C B (BC )C B A (2++++=++++=++++.abc 4c 2b 2a 22
1)C A )(B A )(C B (21=⋅⋅=+++= 注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。
由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。