用换元法分解因式
人教版-数学-八年级上册-15.4因式分解 用“换元法”分解因式
用“换元法”分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的两种方法，比如提公因式法、运用公式法，这些方法都是最基础的因式分解方法．一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”．李老师欣然同意，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法———换元法．李老师把换元法分解因式分成了三种情况．一、换单项式例1分解因式x6+16x3y+64y2．析解：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3= m，则x6=m2，原式变形为m2+16my+64y2=（m+8y）2=（x3+8y）2．二、换多项式例2分解因式（x2+4x+6）（x2+6x+6）+x2．析解：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=（m+5x）2=（x2+6+5x）2=2=（x+2）2（x+3）2．以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”．当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”．比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2=2=（x+2）2（x+3）2．三、换系数例3分解因式x3+x2-2004×2005x．析解：此题若按照一般思路解答，很难奏效．注意到2004、2005两个数字之间的关系，把其中一个常数换元．比如，设2004＝m，则2005=m+1．于是，原式变形为x3+x2-2004×2005x=x2（x+1）-m（m+1）x=x=x（x2+x-m2-m）=x=x=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2004）（x+2004+1）=x（x-2004）（x+2005）．以上介绍的是用换元法进行因式分解的初步知识，同学们在以后解题时要多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法．也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的．最后请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其它解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧．。
换元法解方程
换元法在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法.1.10)3)(4(22+++-+x x x x2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x4.90)384)(23(22-++++x x x x5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x7.4482--a a8.yz z y x 2222+--9. 644+x10. 2214176y xy x --11. 581337622-++--y x y xy x12.1433181892022-+--+y x y xy x13. 2820152-+--y x xy x14.12)2)(1(22-++++x x x x15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1.五.待定系数法1. 192256112--x x2.744272234+---x x x x3.156234+-+-x x x x六.因式定理余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即定理：是末项系的约数，是首项系数是它的根，则互质若是整系数多项式设q a p q p pq x x f n ),(.)(=.0的约数数a推论：., 1 000,0111a x x a x a x a x n n n 则是它的根若整数＋的整系数多项式对于首项系数为+++--1. 611623+++x x x2. 355223-+-x x x3.46423-+-x x x4.8292234+--+x x x x5.15132234----x x x x七.对称式 交代式 轮换式Ⅰ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式相等,那么这个多项式叫做关于这些字母的对称多项式.如: ,z y x ++abcc b a q p xz yz xy q z y x p 3 ,),( )()(333222-+++++++是系数等.Ⅱ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式只相差一个符号,那么这个多项式叫做关于这些字母的交代式. 如: ),)()((x z z y y x ---4433, b a b a --等.Ⅲ.在一个关于w z y x ,,,, 的多项式中,把它所含的字母按某种顺序进行轮换(把x 换成y,y 换成z,…,w 换成x)所得的多项式不变,那么这个多项式叫做关于这些字母的轮换式.如: ,z y x ++ ,222x z z y y x ++22 b a +, abc c b a 3 333-++等. 对称式、交代式和轮换式的因式分解方法:对于一个对称(或交代,轮换)多项式有一个次数较低的因式,那么与这个因式同类型的式子也是多项式的因式,再借助因式定理或待定系数法进行分解.1.abc c b a 3333-++2.3333)(z y x z y x ---++3.444))(())(())((b a b a a c a c c b c b +-++-++-4. )()()(333y x z x z y z y x -+-+-5. )1)(1)(()1)(1)(()1)(1)((222222zy zx y x yx yz x z xz xy z y ++-+++-+++-6.3333)()()()(z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++7. xyz z y x y x z x z y z y x 2)()()()(333222-++-+++++八．因式分解的应用1.关于x,y 的二次式 x 2+7xy+my 2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.2.已知a=21m+1,b=21m+2,c=21m+3,求a 2+2ab+b 2-2ac-abc+c 2的值.3. 若a 为正整数，则a 4-3a 2+9是质数还是合数？ 给出你的证明。
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法1. 知识点概述因式分解是初等代数中的基础知识之一。
它指的是将一个多项式表示为两个或多个乘积的形式。
在因式分解过程中，我们可以使用不同的方法，如待定系数法、换元法和添项拆项法。
这些方法在因式分解中起到关键的作用。
本文将介绍待定系数法、换元法和添项拆项法这三种因式分解的方法，并对其应用进行归纳总结。
2. 待定系数法待定系数法是一种常用的因式分解方法，适用于形如ax2+bx+c的二次多项式。
待定系数法的基本思想是假设待分解式可以表示为(px+q)(rx+s)的形式，然后通过比较系数求得未知数 p、q、r 和 s。
具体步骤如下：2.1. 假设分解形式首先假设待分解的多项式为(px+q)(rx+s)。
2.2. 展开并比较系数将假设的分解形式展开，得到prx2+(ps+qr)x+qs，然后将其与原多项式的表达式进行系数比较。
2.3. 求解未知数根据比较系数的结果，列出方程组，并求解未知数 p、q、r 和 s。
最终得到待分解多项式的因式分解形式。
待定系数法的核心是通过比较系数来确定未知数的值，因此需要注意每个系数的对应关系，并合理选择分解形式以便于求解。
3. 换元法换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。
通过合理选择新的变量，可以将原多项式转化为更易于分解的形式。
具体步骤如下：3.1. 选择合适的变量首先根据多项式的结构和特点，选择一个合适的变量进行替代，使得新的多项式更容易进行因式分解。
3.2. 进行变量替换将选定的变量代入原多项式，进行变量替换。
这样可以得到一个新的多项式。
3.3. 因式分解根据替换后的新多项式的特点和结构，选择合适的因式分解方法进行分解。
换元法的关键在于合理选择变量，通过变量替换将原多项式转化为更易分解的形式，进而进行因式分解。
4. 添项拆项法添项拆项法是一种通过添加或拆分项来进行因式分解的方法。
在这种方法中，我们通过合理地添加或拆分多项式的项，使其具备因式分解的特性。
因式分解的方法
因式分解的方法因式分解是代数学中的重要概念，它在解决多项式的因式问题时起着至关重要的作用。
因式分解的方法有多种，本文将为大家介绍一些常见的因式分解方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看一下因式分解的基本原理。
当我们要对一个多项式进行因式分解时，其实就是要把这个多项式表示成几个因式的乘积的形式。
而要实现这个目标，我们就需要运用一些特定的方法和技巧来进行因式分解。
一、公因式提取法。
公因式提取法是因式分解中最基本的一种方法。
它适用于多项式中含有公因式的情况。
具体来说，就是先找到多项式中的公因式，然后将其提取出来，再将剩下的部分进行因式分解。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以提取出公因式2x，得到2x(1+2y)，这样就完成了因式分解。
二、配方法。
配方法是另一种常用的因式分解方法。
它适用于多项式中含有平方项的情况。
具体来说，就是通过加减平方项的方法，将多项式转化为一个完全平方的形式，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以将其转化为(x+y)^2，然后再进行因式分解。
三、分组分解法。
分组分解法是针对四项式的因式分解方法。
具体来说，就是将四项式中的四个项进行分组，然后再对每组进行公因式提取或者配方法，最终将四项式进行因式分解。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其分组为(x^2+2xy)+(2x+4y)，然后再进行因式分解。
四、换元法。
换元法是一种比较灵活的因式分解方法。
它适用于多项式中含有复杂因式的情况。
具体来说，就是通过变量替换的方法，将多项式转化为一个更容易进行因式分解的形式，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+3x^2+3x+1，我们可以通过令y=x+1，将其转化为y^3，然后再进行因式分解。
以上就是一些常见的因式分解方法，当然，实际问题中可能还会涉及到更多的情况和方法。
希望大家通过学习和练习，能够更好地掌握因式分解的方法，从而更好地解决代数学中的问题。
测试卷2：因式分解的方法二—换元法参考答案
因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。
用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。
A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。
因式分解特殊解法之换元法
特殊解法之换元法【知识要点】换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原。
【典型例题】例1 因式分解（换一元）1、120)8(22)8(222++++a a a a2、222(231)22331x x x x -+-+-3、3)5)(3(22-----x x x x4、2223)67)(65(x x x x x -++++5、90)384)(23(22-++++x x x x6、2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++7、()()2723144-+++y y 8、19981999199824-+-x x x例2 因式分解（换二元）1、2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+2、)12)(1()21(22--+--b a a b a a3、22244)()()(b a b a b a -+++-4、22224(21)(32)(334)x x x x x x -++---+例3 因式分解：333)()()(cz ax cz by by ax ---+-例4 利用因式分解的方法进行计算：1、2199319931993199119931992222-+ 2、()()20032002199919972001399720002006200022⨯⨯⨯⨯+-【大展身手】1、因式分解：（1）12)2)(1(22-++++x x x x （2）22(815)(87)15x x x x +++++（3）15)7)(5)(3)(1(+++++x x x x （4）()()22212127123x x x x x -++++（5）()()224341256x x x x -+--+ （6）(1)(4)(2)(3)24x x x x ++++-（7）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （8）44(5)(3)82x x +++-2、因式分解：（1）、)1)(1()2)((-+++++xy xy xy y x y x（2）、2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-（3）、21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-3、计算：9991000199999910001999333⋅⋅--【小试锋芒】一、填空题（每空2分，共20分）1、把6x2y－8xy2 分解因式时应该提取公因式是_______________.2、3ay－3by=_______________.3、a2－14a＋49=_________________.4、n2－m2=____________ a2＋4ab＋4b2=_______________5、分解因式x2(a＋b) －y2(a＋b)=__________________6、利用因式分解计算：36×3.14＋47×3.14＋17×3.14=_________________.7、若4x2＋kxy＋9y2是一个完全平方式，则k的值是______________.8、如果方程x(ax＋2)=0的两根是x1=0,x2=4,那么a=______________.9、若x2y＋M=xy(N＋2y),则M=______________N=______________.二、选择题（每题3分，共30分）1、下列从左向右的变形是属于因式分解的是（）A、9－a2=(3＋a)(3－a)B、a2－2ax＋2x2=(a－x)2＋x2C、(2x＋1)(x＋2)=2x2－3x－2D、(y－2)(y－1)=(2－y)(1－y)2、下列提取公因式分解因式中，正确的是（）A、2x2－4xy=x(2x－4y)B、a3＋2a2＋a=a(a2＋2a)C、－2a－2b=2(a＋b)D、－a2＋a=－a(a－1)3、下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、x2＋4y2B、－4y2＋x2C、－x2－4y2D、x－4y24、下列各式中，不能用完全平方式分解因式的是（）A、x2－2xy－y2B、x2－2xy＋y2C、x2＋y2＋2xyD、－x2＋2xy－y25、下列因式分解正确的是（）A、6(x－2)＋x(2－x)=(x－2)(6＋x);B、x3＋2x2＋x=x(x2＋2x)C、a(a－b)2＋ab(a－b)=a(a－b);D、3x n＋1＋6x n=3x n(x＋2)6、计算（2ab2－8a2b）÷(4a－b)的结果为（）A、－2abB、2abC、3a2bD、－3ab7、分解因式6a(a－b)2－8(a－b)3时，应提取公因式是（）A、aB、6a(a－b)3C、8a(a－b)D、2(a－b)28、a2－9b2因式分解是（）9、x2＋8x＋16因式分解是（）A、(x＋8)2B、(x＋4)2C、(x－8)2D、(x－4)210、如果a2＋16与一个单项式的和是一个完全平方式，这个单项式是（）A、4aB、±8aC、±4aD、±8a或－16三、解答题1、分解因式：（每题4分，共32分）（1）16a2－9b2(2)4x2－12x＋9 (3)4x3＋8x2＋4x(4)3m(a－b)3－18n(b－a)3(5)20a3x－45ay2x (6)4x2y2－4xy＋1(7)(m＋n)2－(m－n)2(8)(x2＋1)2－4x22、计算：（a4－16）÷(a－2) ( 本题4分)3、解方程：（每题4分，共8分）（1）x2－5x=0 (2)(3x－2)2=(1－5x)24、如果在一个半径为a的圆内，挖去一个半径为b（b<a）的圆，（本题6分）（1）写出剩余部分面积的代数表达式，并因式分解它。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法因式分解是数学中的一种重要运算方法。
它可以将一个数或一个多项式分解成若干个乘积的形式，从而可以更好地理解和研究数与代数表达式的性质。
根据因式分解的对象和方法的不同，可以总结出以下14种因式分解的方法。
1.因数法：当一个数或一个多项式可以被一个常数因式整除时，可以使用因数法进行分解。
例如，对于多项式3x^2+6x，可以因式分解为3x（x+2）。
2.公因式法：当一个多项式中的每一项都有一个共同的因式时，可以使用公因式法进行分解。
例如，对于多项式6x^3+9x^2+15x，可以因式分解为3x（2x^2+3x+5）。
3.完全平方式：对于一个完全平方数，可以使用完全平方式进行分解。
例如，对于数16，可以因式分解为4^24.平方差公式：根据平方差公式，可以将两个平方差形式分解为两个因式的乘积。
例如，a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
5. 二次三项式因式分解：对于一个二次三项式（ax^2 + bx + c），可以使用二次三项式因式分解法进行分解。
例如，对于多项式 x^2 + 4x+ 4，可以因式分解为（x + 2）^26.分组因式法：当多项式中存在多个项，但无法直接应用其他因式分解法时，可以使用分组因式法进行分解。
例如，对于多项式x^3+x^2+2x+2，可以因式分解为（x^3+x^2）+（2x+2），然后再进行进一步的分解。
7.因式分解与除法结合：当一个多项式无法直接因式分解时，可以先进行除法运算，将其分解为两个因式相乘的形式。
例如，对于多项式x^4-1，可以使用除法运算将其分解为（x^2+1）（x^2-1）。
8.差两个平方公式：根据差两个平方公式，可以将两个平方和形式分解为两个因式相乘的形式。
例如，a^2+b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
9. 三次和三项式因式分解：对于一个三次和三项式（ax^3 + bx^2 + cx + d），可以使用三次和三项式因式分解法进行分解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用换元法分解因式
我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法.一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”.
李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换元法.李老师把换元法分解因式分成了三种情况：
一、换单项式
例1分解因式x6+14x3y+49y2.
分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原式变形为
m2+14my+49y2
=(m+7y)2
=(x3+7y)2.
二、换多项式
例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.
分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x2
=m2+10mx+24x2+x2
=m2+10mx+25x2
=(m+5x)2
=(x2+6+5x)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为
m(m+2x)+x2
=m2+2mx+x2
=(m+x)2
=(x2+4x+6+x)2
=(x2+5x+6)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m= [(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，
(m+x)(m-x)+x2
=m2-x2+x2
=m2
=(x2+5x+6)2
=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设m=[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为
(m+5)(m-5)+24
=m2-25+24
=m2-1
=(m+1)(m-1)
=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)
=(x2+x-6)(x2+x-8)
=(x-2)(x+3)(x2+x-8).
三、换常数
例3分解因式x2(x+1)-2003×2004x.
分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则2004=m+1.于是，原式变形为x2(x+1)–m(m+1)x
=x[x(x+1)-m(m+1)]
=x(x2+x-m2-m)
=x[(x2-m2)+(x-m)]
=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]
=x(x-m)(x+m+1)
=x(x-2003)(x+2003+1)
=x(x-2003)(x+2004).
以上介绍的是用换元法因式分解的初步知识，同学们在以后解题时可以多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法.也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的.最后，就请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其他解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧.。