第6章 方差分析

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第一个例题的R程序及其计算结果
• • • • • • • • lamp=data.frame( x=c(1600,1610,1650,1680,1700,1700,1780,1500,1640,1400, 1700,1750,1640,1550,1600,1620,1640,1600,1740,1800, 1510,1520,1530,1570,1640,1600), A=factor(c(rep(1,7),rep(2,5),rep(3,8),rep(4,6))) ) lamp.aov=aov(x~A,data=lamp) summary(lamp.aov)
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方差分析表
F0.05(3,22)=3.05
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◆ 结论 查表得F0.05(3,22)=3.05，由于F< F0.05(3,22)，因此认为原假设H0 成立，也就是说，四种生铁式样的抗疲劳性能无显著差异
2
S A S B Se
A
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其中
S A s ( xij xi )
i 1 s
r
2
S B r ( xij x j )
i 1 r s
2
S e ( xij xi x j x )
• • • • • • • • •
anova.tab=function(fm){ tab=summary(fm) k=length(tab[[1]])-2 temp=c(sum(tab[[1]][,1]),sum(tab[[1]][,2]),rep(NA,k)) tab[[1]]["Total",]=temp tab } anova.tab(lamp.aov) plot(lamp$x~lamp$A,main="元件寿命试验的箱线图")
及误差偏差平方和
F
的取值
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单因素方差分析表
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例题 某试验室对钢锭模进行选材试验，将四种成份做成式样 作疲劳测定，试问四种生铁式样的抗疲劳性能是否存在显著 差异？
…
xknk
…
N(µk,σ 2)
7
…
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对单因子
A
取个不同水平：
A1 , A2 ,, Ak
k i 1
，分别进行了
n1, n2 ,, nk
次重复试验，共得到
n ni 个观测数据：
xij , i 1,2,, k , j 1,2,, ni
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表中
xij
表示因素
A
的第i 水平与因素
B
的第
j 水平组
合的试验观测值，假定相应的数据结构模型为
xij i j ij , i 1,2,, r, j 1,2,, s
其中
表示总体均值，i , j 分别表示 A, B
的主效应，
2
ij
为随机误差项，并且 ij 相互独立同分布
因此
S A /(k 1) F ~ F (k 1, n k ) Se /(n k )
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方差分析的基本步骤 （1）计算样本均值
xi , i 1,2,, k
Se
及总均值
x
SA
（2）计算组间偏差平方和 （3）计算检验统计量 （4）进行判断分析
N (0, )
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检验问题
H 0 A : 1 2 r H 0 B : 1 2 s
记
1 1 1 xi xij , i; x j xij , j; x xij s j 1 r i 1 rs i 1 j 1
H0 : 1 2 k 0
记
1 xi ni
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1 k xij , x xi n i 1 j 1
ni
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总偏差平方和
ni
ST ( xij x ) 2
i 1 j 1 ni
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几个基本概念 （1）因素：在所考察的试验中，影响指标的原因称为因素 （2）水平：因素在试验中所处的状态或等级称为水平 （3）单因素试验：仅考虑一个因素对指标有无显著影响的试验 （4）双因素试验：同时考虑两个因素对指标有无显著影响的试 验
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SPSS的操作步骤
• • • • •
SPSS主菜单选择 Analysis 选项 选择 Compare Means 选项 选择 One-Way ANOVA 选项 Dependent List 输入因变量 “品种（灯泡寿命）” Factor 输入自变量 “品种”
称为组间偏差平方和；
Se
表示由组内随机因素而产生的偏差平方和，简称为组内
偏差平方和；
ST= 组内偏差平方和 + 组内偏差平方和
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S A 与 Se 相互独立，并且
Se SA 2 2 ~ ( k 1 ), ~ (n k ) 2 2
• 问题：不同配方元件的使用寿命有无显著差异？
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一般性问题 水平 A1 A2 x11 x21 x12 x22 观察值 总体
… … …
x1n1 x2n2
N(µ1,σ 2) N(µ2,σ 2)
…
Ak
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…
xk1
…
xk2
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第一个例题的R程序及其计算结果
• anova.tab(lamp.aov)
•
• A • Residuals • Total
Df
3 22 25
Sum
49212 166622 215835
Sq Mean Sq
16404.1 7573.7
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H 0 A 和 H 0 B 的拒绝域
W1 {FA : FA F (r 1, (r 1)(s 1))} W1 {FB : FB F ( s 1, (r 1)(s 1))}
第6章 方差分析 Variance Analysis
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第6章 方差分析
6.1 引 言
6.2 单因素方差分析
6.3 双因素方差分析
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6.1 引 言
背景 在生产实践中，影响产品质量的因素往往很多，为了提 高产品质量，必须了解那些因素对其有显著影响，为此抽样 试验，根据样本信息对总体作出判断 方差分析是通过对各种结构的观测数据平方和分解，得以对多 种因素效应进行显著性检验的一种有广泛应用的统计方法
F value
2.1659
Pr(>F)
0.1208
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直观分析图
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6.3 双因素方差分析
背景：在实际问题中，经常遇到的情形是影响试验结果的因素不 止一个，存在两个或多个因素，也就是多因素试验。在多因素实
A
s
s
r
s
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◆ 平方和的分解
ST ( xij x )
i 1 j 1 r s
r
s
2
[(xij xi x j x ) ( xi x ) ( x j x )]
i 1 j 1
验中，如何用方差分析的方法分析实验结果，这就构成了多因素
方差分析的主要内容。本节仅讨论双因素方差分析，并且为了考
虑交互作用，讨论具有相同重复次数的试验
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6.3.1 无交互效应的双因素方差分析
设因素A有r个不同水平：A1, A2,… ,Ar，因素B有s个不同水平：
其中
S A ( xi x ) ni ( xi x )
2 i 1 j 1 k ni i 1
k
ni
k
2
S e ( xij xi )
i 1 j 1
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符号涵义
SA
表示各组不同水平之间的差异而产生的偏差平方和，简
i 1 j 1
2
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若H0成立，则
SA 2 VA ˆ 2 ~ (r 1) SB 2 VB ˆ 2 ~ ( s 1) Se 2 Ve ˆ 2 ~ ((r 1)(s 1))
并且三者相互独立。
i
Ai
对观测数据的影响， 次实验中的随 j
即水平
的效应， Ai
表示第 个水平在第 ij i
机误差，相互独立同分布
ij ~ N (0, ), 0
2 2
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根据以上分析，上述试验目的可以归结为假设检验问题
● 偏差平方和的分解
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6.2 单因素方差分析
• 例题 利用4种不同配方的材料A1，A2，A3，A4 生产出来 的元件，测量其使用寿命。 材料 使用寿命
A1
A2 A3 A4
1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780
1500 1640 1400 1700 1750 1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800 1510 1520 1530 1570 1640 1600
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检验统计量
VA FA ~ F (r 1, (r 1)(s 1)), if H 0 A is true ˆ Ve VB FB ~ F ( s 1, (r 1)(s 1)), if H 0 B is true ˆ Ve
试验目的：分析因子的不同水平对试验所考察的指标是否有显 著影响。
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假设 x
ij
ຫໍສະໝຸດ Baidu
具有如下统计结构模型
xij i ij , i 1,2,, k, j 1,2,, ni
其中

表示总体均值， 表示水平
k
( xij xi xi x )
i 1 j 1 k k ni
k
2
ni ( xi x ) 2 ( xij xi ) 2
i 1 i 1 j 1
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因此
ST S A Se
B1, B2,… ,Bs，假设因素A、 B没有交互作用，或者交互效应
很小，可以忽略不计，这时只需在因素A、B的各种组合水平
下各作一次试验；设全部试验数据如下表所示：
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试验数据表
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★ 例如，男女生学习成绩影响因素问题中，性别是一个影响因素？ ★ 男女生学习成绩影响因素问题中，性别和种族（白人、黑人、 黄种人）是两个影响因素？ ★ 在农产品（例如，水稻）产量影响因素问题中，品种是影响因
素之一？
★ 其他类似案例？