高中数学必修5等差数列精选题目(附答案)

高中数学必修5等差数列精选题目（附答案）

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2

，其中A 叫做a ，b 的等差中项．

2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋

n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )

2

. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系

(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．

(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．

(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差

是{a n }公差的1

2

.

(7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇

S 偶

＝

a n

a n ＋1

.

(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；

S 奇S 偶＝n n －1

. (9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎨⎧

a m ≥0，

a m ＋1≤0的项数m 使得S n

取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎨⎧

a m ≤0，

a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值

S m .

一、等差数列的基本运算

1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10

注：

(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．

(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．

3．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )

A ．420

B ．340

C ．－420

D ．－340

5．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12

B ．18

C ．24

D ．30

二、等差数列的判定与证明

6.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1

2.

(1)求证：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 是等差数列．

(2)求a n 的表达式．

注： 等差数列的判定与证明方法 方 法 解 读

适合题型 定义法

对于任意自然数n (n ≥2)，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列

解答题中证明问题

等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a

n }是等差数列

通项公式法

a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列

选择、填空题中的判定

问题

前n 项和公式法 验证

S n ＝An 2＋Bn (A ，B

是常数)对任意的正整数n 都

成立⇔{a n }是等差数列

7．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )

A ．13

B ．49

C ．35

D ．63

8．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1

(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝

1

a n －1

(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．

三、等差数列的性质与应用

(一)等差数列项的性质

9.已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40

D ．2＋log 25

10.(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5