北师大版选修(1-1)3.1《变化的快慢与变化率》word教案
31《函数的变化率》教案(1)(北师大版选修1-1)[1].doc
![31《函数的变化率》教案(1)(北师大版选修1-1)[1].doc](https://img.taocdn.com/s3/m/a8b86a0c360cba1aa911daa7.png)
课题：3.1变化的快慢与变化率教学目标：1、知识口标：通过牛活实例使学牛理解函数增量、两数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础。
2、能力目标：使学牛在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力。
3、情感目标：使学牛•通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一-般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。
并养成学生探究——总结型的学习习惯。
教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。
教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。
教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用教学过程：一、引入：1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡哨程度不同的图片2、问题：当陡悄程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。
二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶，登山路线用y=f（x）表示C XO XI X2 X3 Xk Xk+1问题：当自变量X表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选収平直山路AB放大研究若人(兀0，儿)，3(兀1』1)自变量x的改变量：Ax = X)- x()函数值y的改变最：Ay = X -儿直线AB的斜率：—R二儿_凡二AyX, -x0 Ax说切：当登山者移动的水平距离变化量一定(心为定值)时，垂直距离变化量(Ay )越大，则这段山路越陡悄；2、选収弯曲山路CD放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD】的陡峭程度可用直线CD】的斜率表示。
高中数学：3.1变化的快慢与变化率二教案(北师大选修1-1)
3.1变化的快慢与变化率一、问题情境1、情境：现有南京市某年 3 月和时间3月18日4 月某天日最高气温记录4月18日.4 月20 日日最高气温 3.5℃18.6℃33.4℃察看：3月18日到 4月 18日与 4月18日到4 月20 日的温度变化，用曲线图表示为：（理解图中A、 B、 C 点的坐标的含义）T (℃)C (34, 33.4) 30B (32, 18.6)2010A (1, 3.5)2t(d) 021*******问题 1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数双方面）问题 2：怎样量化（数学化）曲线上涨的峻峭程度？二、学生活动1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想怎样量化直线的倾斜程度。
2、由点 B 上涨到 C 点，一定观察 y C—y B的大小，但只是注意 y C— y B的大小可否精准量化 BC 段峻峭程度，为何？3、在观察 y C— y B的同时一定观察 x C— x B，函数的实质在于一个量的改变自己就隐含着这类改变必然相关于另一个量的改变。
三、建构数学1．经过比较气温在区间 [1，32]上的变化率 0． 5 与气温 [32,34] 上的变化率 7． 4，感知曲线峻峭程度的量化。
2.一般地 ,给出函数f(x) 在区间 [x1， x2 ]上的均匀变化率f ( x2)f ( x1)。
x2x13．回到气温曲线图中，从数和形双方面对均匀变化率进行意义建构。
4。
均匀变化率量化一段曲线的峻峭程度是“粗拙不精准的”，但应注意当 x2— x1很小时，这类量化便有“粗拙”迫近“精准” 。
四、数学运用例 1、在经营某商品中，甲挣到 10 万元，乙挣到 2 万元，怎样比较和评论甲，乙两人的经营成就？变：在经营某商品中，甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个月时间挣到 2 万元，怎样比较和评论甲，乙两人的经营成就？小结：仅考虑一个变量的变化是不可以的。
例 2、水经过虹吸管冷静器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 V (t ) 5 2 0.1t（单位： cm3），计算第一个 10s 内 V 的均匀变化率。
高中数学北师大版选修1-1课件：第3章 §1 变化的快慢与变化率
【知识点拨】 1.对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球
的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念 .
定义为函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值 y . x (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线 陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
为
二、瞬时变化率 对于函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中 (1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为___________ 平均变化率 ，
y f x1 f x 0 f (x 0 x) f x 0 记作：__________________________________. x x1 x 0 x
类型 一
求函数的平均变化率
【典型例题】1.在曲线 y=x2+1的图像上取一点(1，2)及附近 一点(1+Δ x,2+Δ y),则 y 为( ) x A. x 1 2 B. x 1 2 x x C.Δ x+2 D.2 x 1 x 2.求y=2x2+1在x0到x0+Δ x之间的平均变化率，并求x0=1，
2.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别：平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数
值在区间［x1,x2］上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在
x0点处变化的快慢.
y 趋于一个常数， x 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率
3.对瞬时变化率的两点说明 (1) 平均变化率随着自变量，区间的变化而变化，在某一点 处的瞬时变化率是一个固定值. (2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值，但在一 定精确度的情况下，不影响其取值的严谨性.
版高中数学北师大版选修11教案：第三章节1变化的快慢以及变化率[001]正式版
![版高中数学北师大版选修11教案：第三章节1变化的快慢以及变化率[001]正式版](https://img.taocdn.com/s3/m/644d1feebed5b9f3f80f1c40.png)
学习目标1.理解函数的均匀变化率和刹时变化率的观点.2.会求物体运动的均匀速度并估计刹时速度．知识点一函数的均匀变化率察看图形，回答以下问题：思虑1函数f(x)在区间[x1，x2]上均匀变化率的大小与曲线在区间上的峻峭程度有何关系？思虑2如何理解自变量的增量、函数值的增量？梳理均匀变化率(1)定义式：y＝________________.x本质：___________________________________________之比．作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的__________________________________________．y(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)图像上的两点，则均匀变化率x fx2－fx1表示割线P1P2的________．x2－x1知识点二刹时变化率思虑1物体的均匀速度可否精准反应物体的运动状态？思虑2如何描绘物体在某一时辰的运动状态？梳理要求物体在t0时辰的刹时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋t)内的均匀速度s＝________________，而后t趋于0，获得物体在t时辰的____________．t0种类一函数的均匀变化率命题角度1求函数的均匀变化率例1求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3周边的均匀变化率，取x都为1，哪一点周边的均匀变3化率最大？反省与感悟求均匀变化率的主要步骤y先计算函数值的改变量y＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量x＝x2－x1；fx2－fx1(3)得均匀变化率x＝x2－x1.追踪训练1(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及周边一点B(－1＋x，－6＋y)，则yx＝________.(2)如下图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[－1,1]上的均匀变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的均匀变化率为________．命题角度2均匀变化率的几何意义例2过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和的斜率为2，求x的值．Q(1＋x，y)作曲线的割线，已知割线PQ反省与感悟函数y＝f(x)从x1到x2的均匀变化率的本质是函数y＝f(x)图像上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝y＝fx2－fx1.x x2－x1追踪训练2(1)甲，乙两人走过的行程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如下图，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的均匀速度v甲，v乙的关系是()A．v甲>v乙B．v甲<v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确立x(2)过曲线 y ＝f(x)＝ 图像上一点(2，－2)及周边一点(2＋ x ，－2＋ y)作割线，则当 x时割线的斜率为________． 种类二求函数的刹时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为1 2，求 s ＝v 0t －gt2物体在时辰t 0处的刹时速度．反省与感悟 (1)求刹时速度的步骤①求位移改变量s ＝s(t 0＋t)－s(t 0)；②求均匀速度v ＝s；t③当t 趋于0s时，均匀速度t 趋于刹时速度．(2)求当 x 无穷趋近于 y的值0时x①在表达式中，可把x 作为一个数来参加运算；yx 无穷趋近于0就是令 x ＝0，求出结果即可．②求出 x 的表达式后， 追踪训练 3一质点M 按运动方程 s(t)＝at 2＋1 做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2s 时的刹时速度为 8m/s ，求常数a 的值．1．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数()A．在x0处的变化率B．在区间[x0，x1]上的均匀变化率C．在x1处的变化率D．以上结论都不对2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的均匀速度是()A．B．2C．D．3．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时辰的刹时速度为零，则相应的时辰为()A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝44．球的半径从1增添到2时，球的体积均匀膨胀率为________．2＋2在x0＝1,2,3周边x取1时的均匀变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，5．设函数f(x)＝3x2k2，k3的大小．1．均匀变化率反应函数在某个范围内变化的快慢；刹时变化率反应函数在某点处变化的快慢．2．能够使用迫近的思想理解刹时变化率，同时联合变化率的本质意义．答案精析问题导学知识点一思虑1 (1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的均匀变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上峻峭程度的“数目化”，曲线峻峭程度是均匀变化率的“视觉化”．均匀变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“峻峭”，反之亦然．思虑2 (1)自变量的增量：用 x表示，即x＝x2－x1，表示自变量相对于x1的“增添量”．(2)函数值的增量：用y表示，即y＝f(x2)－f(x1)，也表示为f(x1＋x)－f(x1)，表示函数值在x1的“增添量”．(3)增量其实不必定都是正当，也能够是负值，函数值的增量还能够是0，比方常数函数，其函数值的增量就是0.梳理(1)fx2－fx1(2)函数值的改变量与自变量的改变量(3)快慢(4)斜率x2－x1知识点二思虑1不可以．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点而后回到起跳高度的过程中，均匀速度为0，而运动员向来处于运动状态．思虑2能够使用刹时速度精准描绘物体在某一时辰的运动状态．梳理st0＋t－st0刹时速度t题型研究例1解在x＝1周边的均匀变化率为k1＝f1＋x－f1＝1＋x2－1x x2＋x；在x＝2周边的均匀变化率为k2＝f2＋x－f2＝2＋x2－22x x4＋x；在x＝3周边的均匀变化率为k3＝f3＋x－f3＝3＋x2－32x x6＋x.当x＝1时，k1＝2＋1＝7，333k 2＝4＋1＝13，k 3＝6＋1＝19.3 3 3 3因为k 1<k 2<k 3，所以在 x ＝3周边的均匀变化率最大．13 追踪训练1 (1) x(2)24分析(1)y ＝f －1＋x －f －1xx2＝－1＋ x＋2－1＋ x －5－－6x.函数f(x)在区间[－1,1]上的均匀变化率为f1－f －12－1 1＝＝.1－－1 2 2由函数f(x)的图像知，x ＋3，－1≤x ≤1， x ＋1，1<x ≤3.所以函数f(x)在区间[0,2]上的均匀变化率为3f2－f0＝3－2＝3.2－024例2解割线 PQ 的斜率即为函数 f(x)从1到1＋x 的均匀变化率yx .∵Δy ＝f(1＋ x)－f(1)(1＋x)2－(1＋x)－(12－1) x ＋(x)2， y∴割线PQ 的斜率k ＝x ＝1＋x. 又∵割线PQ 的斜率为 2，∴1＋ x ＝2，∴x ＝1. 追踪训练 2 (1)B(2)23分析(1)设直线 AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由均匀变化率的几何意义知，s 1(t)在[0，t 0]上的均匀变化率 v 甲＝k AC ，s 2(t)在[0，t 0]上的均匀变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲 <v 乙．(2)当x ＝时，2＋x ＝，故－2＋y ＝＝－5，1－3－ 5＋22故k PQ ＝－2＝3.1212例3解因为 s ＝v 0(t 0＋t)－2g(t 0＋t)－v 0t 0－ 2gt 0＝(v 0－gt 0) 1 2，t －g(t)2所以s ＝v 0－gt 0－1gt.t2s当t 趋于 0时，t 趋于v 0－gt 0，故物体在时辰 t 0处的刹时速度为v 0－gt 0.追踪训练3解 质点M 在t ＝2时的刹时速度即为函数在t ＝2处的刹时变化率．∵质点M 在t ＝2周边的均匀变化率s ＝s2＋t －s2tt＝a2＋t 2－4at＝4a ＋at ，当 t 趋于0 时，s趋于4a ，t4a ＝8，得a ＝2.当堂训练28π1．B 2.B 3.B 4.35．解函数在[x 0，x 0＋x]上的均匀变化率为 6x 0＋3x.当x 0＝1， x ＝12时，函数在[1,1.5]上的均匀变化率为k 1＝6×1＋3×＝； 当x 0＝2， x ＝12时，函数在[2,2.5]上的均匀变化率为k 2＝6×2＋3×＝；当x 0＝3，x ＝1时，函数在[3,3.5]上的均匀变化率为 2k 3＝6×3＋3×＝，所以k 1<k 2<k 3.学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。
2021学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率学案含解析北师大版选修1_1.doc
§1 变化的快慢与变化率授课提示：对应学生用书第30页一、平均变化率定义对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)．它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1实质 函数的平均变化率可表示为函数值的改变量(Δy ＝f (x 2)－f (x 1))与自变量的改变量(Δx ＝x 2－x 1)的比值作用 刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢二、瞬时变化率定义对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 趋于函数在x 0点的瞬时变化率实质 平均变化率为当自变量的改变量趋于0时的值 作用 刻画函数值在x 0点处变化的快慢[疑难提示]对平均变化率的正确理解(1)Δx 的意义：Δx 是相对于x 1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x 1＋Δx 代替x 2.(2)Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0，式子中Δx ，Δy 的值都可正可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0，当f (x )为常数函数时，Δy ＝0.(3)一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率的问题可以转化为函数的变化率．(4)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达形式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[想一想]1．“瞬时变化率”刻画了函数的什么特征？ 提示：它刻画了函数在一点处变化的快慢．[练一练]2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)解析：根据定义，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 答案：D3．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ________0.(填“>”“<”或“≠”) 答案：≠授课提示：对应学生用书第31页探究一 求平均变化率[典例1] 已知函数f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[解析] (1)由已知得Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx＝4x 0＋2Δx . (2)由(1)可知：Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝2，Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)由(1)可知Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝1，Δx ＝12时，Δy Δx ＝4×1＋2×12＝5.1．求函数f (x )在[x 1，x 2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)先求Δx ＝x 2－x 1； (2)再求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)由定义求出Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0表示点(x 0，f (x 0))与点(x 1，f (x 1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”；(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式；(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．1．求函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率． 解析：∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx . 即平均变化率为－8－2Δx . 2．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)若设x 2＝x 1＋Δx ，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义． 解析：(1)Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－2x 21－3x 1＋5 ＝4x 1Δx ＋2(Δx )2＋3Δx .当x 1＝4，且Δx ＝1时，Δy ＝4×4×1＋2＋3＝21， 所以平均变化率Δy Δx ＝211＝21.(2)当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，Δy ＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92， 所以平均变化率Δy Δx ＝1.920.1＝19.2.(3)在(1)中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示曲线上点P 0(4,39)与P 1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示曲线上点P 0(4,39)与P 2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．探究二 求瞬时变化率[典例2] 在赛车中，赛车位移与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时，Δs 与ΔsΔt 的值；(2)求t ＝20时的瞬时速度．[解析] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05(m)．Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)Δs Δt ＝10×(20＋Δt )＋5×(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210.当Δt 趋于0时，5Δt ＋210→210(m/s)， 因此，t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.1．求瞬时变化率时首先要明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率．2．瞬时速度是平均速度在时间改变量趋向于零时，平均变化率逼近的值．3．一个物体的运动方程为s ＝1－t ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬间速度是( )A ．1米/秒B ．－1米/秒C ．2米/秒D ．－2米/秒解析：由Δs Δt ＝[1－(3＋Δt )]－(1－3)Δt ＝－ΔtΔt ＝－1，得物体在3秒末的瞬间速度是－1米/秒．答案：B4．已知s (t )＝5t 2，(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t ＝3秒时的瞬时速度． 解析：(1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)＝3.05， ∴Δs Δt ＝3.050.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01，Δs ＝s (3.01)－s (3) ＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)＝0.3005， ∴Δs Δt ＝0.30050.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32 ＝5·Δt ·(6＋Δt )，∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→30.∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.探究三 变化率的应用变化率的应用—⎪⎪⎪—平均变化率的几何意义—平均变化率的应用—瞬时变化率的应用5．过曲线f(x)＝x2＋1上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，求割线的斜率．解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－(1＋1)＝2Δx＋(Δx)2，所以ΔyΔx＝2Δx＋(Δx)2Δx＝2＋Δx.当Δx＝0.1时，2＋Δx＝2.1，所以直线PQ的斜率为2.1.6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但W1(t0)－W1(t0－Δt)Δt<W2(t0)－W2(t0－Δt)Δt，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．7．已知气球的体积V(L)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3.(1)写出r关于V的函数r(V)；(2)当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率为多少？当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率又是多少？(3)随着气球体积的增大，它的平均膨胀率变大还是变小了？解析：(1)∵V＝43πr3，∴r3＝3V4π，∴r＝33V4π(V>0)．(2)由已知可得，气球的平均膨胀率为：r(V2)－r(V1)V2－V1.∴由0 L到1 L的膨胀率为r(1)－r(0)1－0＝334π≈0.62(dm/L)．由1 L 到2 L 的膨胀率为：r (2)－r (1)2－1＝364π－334π≈0.16(dm/L)．(3)由(2)可知，随着气球体积的增大，它的半径增加得越来越慢，因此它的平均膨胀率逐渐减小．无限逼近(极限)思想的应用[典例] 求函数f (x )＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． [解析] 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx，所以Δy Δx＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 当Δx 趋于零时，Δy Δx 无限趋近于常数－12，故函数f (x )＝1x在x ＝1时的瞬时变化率为－12.[感悟提高] 定义法求函数瞬时变化率的步骤：第一步：计算Δy ；第二步：计算Δy Δx ；第三步：求Δ x 趋于零时，ΔyΔx的值．。
高中数学 3.1变化的快慢与变化率 北师大版选修1-1
均减速_____t2_－__t1____.
4．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 当 Δx≠0 时，比值___f_x_x22_－－__fx_1x_1__＝ΔΔyx，为函数 f(x)从 x1 到 x2 的 平均变化率，即函数 f(x)图像上两点 A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2)) 连线的_斜__率__.
是从大于 t0 的一边趋近，平均速度都趋近于 t0 时的瞬时速度．
(2)|Δt|无限变小时，－v 无限接近于 v，故 v＝lim Δt→0
Δs Δt.
1.若函数 f(x)＝3x2＋1 的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋
Δx,1＋Δy)，
C．6＋3Δx
D．4＋2(Δx)2
(1)求自变量的增量 Δx＝x－x0. (2)求函数的增量 Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0. 2．要注意 Δx，Δy 的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy 可为零， 若函数 f(x)为常值函数，则 Δy＝0.
函数
Δt＝2.1－2＝0.1，
∴ΔΔst＝00..21＝2.
3．如果质点A的运动方程是s(t)＝2t3，则在t＝3秒时的
瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
[答案] C
[解析] Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，
ΔΔst＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为：
物理学里我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t0
北师大版高中数学(选修1-1)《第三章变化率与导数》word教案
=f (x +∆x )-f (x )第三章 变化率和导数 3．1．1 瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的 定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的 运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是 方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我 们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数 f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点 Q 运动，随着点 P 无限逼近点 Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点 Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用 Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点 Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ =f ( x ) - f ( x )1 0 x - x1 0，设 x 1－x 0△= x ，则 x 1 △= x ＋x 0，∴ k PQ =f ( x + ∆x ) - f ( x )0 0 ∆x当点 P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当 △x 无限趋近于 0 时， k0 0∆x无限趋近点 Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：k = f ( x 0 +∆x ) - f ( x 0 )∆x，当 △x 无限趋近于 0 时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
3.1变化的快慢与变化率 学案 高中数学北师大版选修1-1
第三章 变化率与导数§1变化的快慢与变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：(1)哪段时间体温变化较快．(2)如何刻画体温变化的快慢？【提示】 (1)从20 min 到30 min 变化快． (2)用平均变化率． 函数的平均变化率对一般的函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．通常自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy ．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．我们用它来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．问题：王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h 的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km ，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”(1)限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？ (2)瞬时速度与平均速度有区别吗？(3)王先生在该路段平均速度为60 km/h ，是否可能超速行驶？ 【提示】 (1)不是，是指瞬时速度．(2)瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢，平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．(3)有可能． 函数的瞬时变化率对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．求函数f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 直接代入公式Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx计算平均变化率，比较大小即可．【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝（1＋Δx ）2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝（2＋Δx ）2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13， 则k 1＝2＋13＝73， k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193. 由于k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．1. 计算时要对f (x 2)－f (x 1)进行合理的变形，以便化简．2. 求平均变化率的步骤通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx ＝x 2－x 1，再计算Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； ②对所求得的差作商，即得Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：变化的快慢与变化率
设计：贾长江审核：_________________ 包科领导：______________ 2015年8月30日
课前预习案
一、预习目标：
通过预习课本，理解平均变化率和瞬时变化率的概念。
二、预习内容：
问题提出：世界上，变化无处不在，人们经常关心变化的快慢问题，如何刻画事物变化的快
慢呢？
情境某市2007年4月20日最高气温为33.4 C,而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4 C和18.6 C,短短两天时间，气温陡增14.8 C,闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”
问题1：你能说出A B C三点的坐标所表示意义吗？
问题2：分别计算AB BC段温差，温差能表示气温变化的快慢程度吗？
问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？
问题4: “气温陡增”它的数学意义是什么？（形与数两方面）
1、我们从课本上平均速度、体温的平均变化率我们可抽象概括函数y二f（X）的平均变化率：当自变量X从X1变为X2，函数值从f（XJ变为_______________ ，它的平均变化率为
用它可以刻画___________________________________________________ 。
2、通过减小自变量的改变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率：
i_S 二s 对平均速度而言，当时间的改变量t2 -t1趋于0 （无限缩小）时，比值会趋于一也t A t
个定值，这个定值称为t =t1时的瞬时速度，这是我们在物理学里已经熟知的。
类此，我们
可以概括出一般函数y二f （X）的瞬时变化率：在自变量X从x0变为x1的过程中，若设
“x =捲-X 0 , 勺=f （X 。
*x ） - f （X 。
）,则函数的平均变化率又可表示为
x
当x 趋于0时，平均变化率就趋于函数在
x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 ________。
3、平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的” ，但应注意当X 2 -兀很小
时，这种量化便有由"粗糙”逼近"精确”的趋势。
三、提出疑惑
课内探究案
一、 学习目标
1.感受变化广泛存在于日常生活之中， 理解平均变化率的意义， 为后续建立瞬时变化率和导 数的数学模型提供丰富的背景；
2.经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博
大精深以及学习数学的意义。
二、 学习过程：
1 2
平均速度 例1：物体自由落体的运动方程为 s gt ，计算t 从3s 到3.1s,3.01s,3.001s
2
各段时间内的平均速度(位移
s 的单位为m )
解：设t 在［3,3.1］内的平均速度为 w ，则
1 2 1 2 £ =3.1-3 =0.1(s), ◎二s(3.1)—s(3) g 3.12
g 3 -0.305g
2 2
0.305g
v 1
- 3.05g ，同理，得 v 2 = 3.005g,v 3 = 3.0005g
A t 1
0.1
瞬时速度：设物体运动的位移与时间的关系是 s = f(t)，当氏趋近于0时，函数f(t)在t 0
到t 0 •氏这段时间内的平均变化率
§ = f (t ° 心- f(t °)趋近于常数，我们把这个常数
：t 氏
称为t 0时刻的瞬时速度。
例2：物体自由落体的运动方程是 s =丄gt 2(g = 9.8m/s 2
)，求物体在t = 3s 这一时刻的速 2
度。
解：平均速度兰=g(6=t)，当氏趋于0时，v = g 6=29.4(m/s) A t 2 2
平均变化率例1在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲, 乙两人的经营成果？
变式1在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
、_.…_ 2 -
变式2求函数y =5x 6在区间［2,2 • Ax］内的平均变化率
瞬时变化率：认真研读P.29例2后完成下题
例3某个物体走过的路程s （单位：m）是时间t （单位：s）的函数：s二t2 -1，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：（1）t = 0 ；（2）t = 2 ；（3）t=4.
例4、已知函数y = f （x） = -2x - 1
（1 ）当x从1变为2时，函数值y改变了多少？此时函数值y关于x的平均变化率是多少?
（2）当x从-1变为1时，函数值y改变了多少？此时函数值y关于x的平均变化率是多少?
（3）这个函数变化的快慢有何特点？求这个函数在x =1,x =3处的瞬时变化率。
例5、设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数3t2 2t 1 o
（1）求从t =2到t =2 •氏的平均速度，并求当厶t =1,氏=0.1门t =0.01时的平均速度;
（2）求当t = 2时的瞬时速度。
例6、求函数y=3x2 - x在x=1处的瞬时变化率
小结与拓展：1.平均变化率可以近似描述函数在某一区间段里的变化快慢，而要精确刻画函
数在每一点处的变化快慢，就需要瞬时变化率了。
这两个概念分别对应于物理学中的平均速
度和瞬时速度。
2.瞬时变化率是平均变化率的极限值，可以通过让自变量的改变量无限趋近于0来得到。
其实际意义是函数在某一点处的变化快慢。
课后训练与提咼
1、在平均变化率的定义中，自变量的增量x是（）
A. x 0
B. • ：x ：：0
C. ：x=0
D. . ：x = 0
2、设函数y = f x，当自变量x由x0改变到x^ x时，函数的改变量.：y是（）
A. f X。
=X
B. f x^ r x
C. f X。
x
D. f 冷=X - f 冷
3、已知函数f x =2X2-4的图象上一点1,-2及附近一点1「x,-2ty , 则竺等
于（）
2
A. 4
B. 4x
C. 4 2 x
D. 4 2 x。