首都师范大学873数学基础2010-2019真题
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题05三角函数与解三角形文(含解析)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年北京文科06】设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，∴函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选：C．2．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．3．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．4．【2013年北京文科05】在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A，则sin B＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a＝3，b＝5，sin A，∴由正弦定理得：sin B．故选：B．5．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinαcosα+3C．3sinαcosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．6．【2018年北京文科14】若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）ac sin B，，可得：tan B，所以B，∠C为钝角，A∈（0，），tan A，∈（，+∞）．cos B sin B∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．7．【2017年北京文科09】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα，则sinβ＝．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，∵sinα，∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα．故答案为：．8．【2016年北京文科13】在△ABC中，∠A，a c，则．【解答】解：在△ABC中，∠A，a c，由正弦定理可得：，，sin C，C，则B．三角形是等腰三角形，B＝C，则b＝c，则1．故答案为：1．9．【2015年北京文科11】在△ABC中，a＝3，b，∠A，则∠B＝．【解答】解：由正弦定理可得，，即有sin B，由b＜a，则B＜A，可得B．故答案为：．10．【2014年北京文科12】在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C，则c＝；sin A＝．【解答】解：∵在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+4﹣1＝4，即c＝2；∵cos C，C为三角形内角，∴sin C，∴由正弦定理得：sin A．故答案为：2；．11．【2012年北京文科11】在△ABC中，若a＝3，b，，则∠C的大小为．【解答】解：∵△ABC中，a＝3，b，，∴由正弦定理得：，∴sin∠B．又b＜a，∴∠B＜∠A．∴∠B．∴∠C＝π．故答案为：．12．【2011年北京文科09】在△ABC中．若b＝5，，sin A，则a＝．【解答】解：在△ABC中．若b＝5，，sin A，所以，a．故答案为：．13．【2010年北京文科10】在△ABC中，若b＝1，c，∠C，则a＝．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sin B，∵b＜c，故B，则A由正弦定理得∴a 1故答案为：114．【2019年北京文科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（2）在△ABC中，∵cos B，∴sin B，由正弦定理有：，∴sin A，∴sin（B+C）＝sin（A）＝sin A．15．【2018年北京文科16】已知函数f（x）＝sin2x sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x sin x cos x sin2x＝sin（2x），f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，可得2x∈[，2m]，即有2m，解得m，则m的最小值为．16．【2017年北京文科16】已知函数f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[，]时，f（x）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x，（co2x sin2x）﹣sin2x，cos2x sin2x，＝sin（2x），∴Tπ，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴sin（2x）≤1，∴f（x）17．【2016年北京文科16】已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，，由于函数的最小正周期为π，则：T，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x），令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．18．【2015年北京文科15】已知函数f（x）＝sin x﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x﹣2sin2＝sin x﹣2＝sin x cos x＝2sin（x）∴f（x）的最小正周期T2π；（2）∵x∈[0，]，∴x∈[，π]，∴sin（x）∈[0，1]，即有：f（x）＝2sin（x）∈[，2]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：．19．【2014年北京文科16】函数f（x）＝3sin（2x）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝3sin（2x），∴f（x）的最小正周期Tπ，可知y0为函数的最大值3，x0；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，0]，∴当2x0，即x时，f（x）取最大值0，当2x，即x时，f（x）取最小值﹣320．【2013年北京文科15】已知函数f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x cos4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α），求α的值．【解答】解：（Ⅰ）因为∴T，函数的最大值为：．（Ⅱ）∵f（x），，所以，∴，k∈Z，∴，又∵，∴．21．【2013年北京文科18】已知函数f（x）＝x2+x sin x+cos x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【解答】解：（I）f′（x）＝2x+x cos x＝x（2+cos x），∵曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，∴f′（a）＝a（2+cos a）＝0，f（a）＝b，联立，解得，故a＝0，b＝1．（II）∵f′（x）＝x（2+cos x）．令f′（x）＝0，得x＝0，x，f（x），f′（x）的变化情况如表：所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1是f（x）的最小值．当b≤1时，曲线y＝f（x）与直线x＝b最多只有一个交点；当b＞1时，f（﹣2b）＝f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）＝1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）＝f（x2）＝b．由于函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均单调，所以当b＞1时曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点．综上可知，如果曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点，那么b的取值范围是（1，+∞）．22．【2012年北京文科15】已知函数f（x）．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）由sin x≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）＝sin2x﹣cos2x﹣1sin（2x）﹣1∴f（x）的最小正周期Tπ．（2）∵函数y＝sin x的单调递减区间为[2kπ，2kπ]（k∈Z）∴由2kπ2x2kπ，x≠kπ（k∈Z）得kπx≤kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]（k∈Z）23．【2011年北京文科15】已知f（x）＝4cos x sin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，＝4cos x（）﹣1sin2x+2cos2x﹣1sin2x+cos2x＝2sin（2x），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵x，∴2x，∴当2x，即x时，f（x）取最大值2，当2x时，即x时，f（x）取得最小值﹣1．24．【2010年北京文科15】已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cos x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）f（x）＝2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cos x＝3cos2x﹣4cos x﹣1，因为cos x∈[﹣1，1]，所以当cos x ＝﹣1时，f （x ）取最大值6；当时，取最小值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈ B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( )A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 3．将函数222()2cos 4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭5．已知函数()cos f x x x =，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1B ．2C ．3D ．46．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -+=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.10．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________11．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______15．在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且c o s c o s A B a b +=，b =则a c +的取值范围为_____．16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.17．在ABC ∆中，AB C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积.19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知AD =BD =．。
【合集打印】2010-2019年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学一)真题【 40页 】
真题汇总一2010-20192019年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）(I )当X ----+ 0时，若x -ta n x 与x k是同阶无穷小，则k =((A )l .(B)2.(C)3.、丿(D)4.(2)设函数f(x )= {XIXI 'X 冬O ＇则X = 0是f (x)的（）x l n x, x > 0,(A )可导点，极值点(B )不可导点，极值点(C)可导点，非极值点(D)不可导点，非极值点(3)设飞｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）C B)Ic-1尸—1 ""'u ; (C )�(i-2:;)·(D )�(u !., 一式）．(4)设函数Q(x ,y )=今．如果对上半平面(y > O )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有乎P(x,y )d x + Q (x,y )d y = 0, 那么函数P(X ,y )可取为（）(A )y -子 1 x 2(B)—-—1 1 (C)—-—.1(D)x-—. yy(5)设A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵．若A 2+ A = 2E , 且IA I =4, 则二次型x T A x 的规范形为（）00u(A )I 二n=ln(A ) Y i + y ; + y ; ·(B) Y i + y ; -y ; ·(C) Y i -y ; -Yi·(D)-Yi -y ; -y ; ·(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a i l x + a i2y + a i3z = d;(i = l , 2 , 3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A,则（(A )r (A) =2, r (A ) = 3.(B)r (A) =2, r (A ) = 2.(C)r(A) = 1,r (A ) = 2.(D)r(A) = 1,r (A ) = 1.(7)设A,B为随机事件，则P(A)= P (B )的充分必要条件是（）(A ) P (A U B ) = P (A ) + P (B ) .(B ) P (AB ) = P (A) P (B) .(C) p (A B) = p (B A) .(D) p (AB) = p (A B ).(8)设随机变豐X 与Y相互独立，且都服从正态分布N(µ,矿），则P l I X -Y I < 1 f ()(A)与µ无关，而与矿有关.(B)与µ有关，而与矿无关(C)与µ,矿都有关(D)µ,矿都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）(9)设函数八u)可导，z = /(sin y -sin x ) + x y, 则一—-. -+ . 一1加1加COS X彻co s y 切(10)微分方程2yy'-r 2-2 = 0满足条件y(O )= 1的特解y =(11)幕级数2(-1)"几=O(2n ) ! x"在(0,+oo)内的和函数S(x)=(12)设凶设为曲面x 2+ y 2+ 4z 2 = 4(z�0)的上侧，则ff J 4 -x 2-4z 2d x d y =(13)设A = (a 1 , a 2 , a 3)为3阶矩阵．若a 1'a 2线性无关，且a 3= -a 1 + 2a 2 , 则线性方程组Ax =0的通解为(14)设随机变掀X的概率密度为八x)= (f'O <x < 2'F(x)为X的分布函数，E(X)为X的0, 其他，数学期望，则Pj F(X) > E(X) -1 l—,•三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）(15)(本题满分10分）设函数y(x)是微分方程y'+xy = e 寻满足条件y(O )= 0的特解(I )求y(x);(II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点．(16)(本题满分10分）设a ,b为实数，函数z = 2 + a x 2 + by 2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l = -3i -4j 的方向导数最大，最大值为10.(I )求a,b ;(II)求曲面z = 2 + ax 2+ by 2 (z ;;,: 0)的面积．(17)(本题满分10分）求曲线y = e 一允sin x (x�0)与x轴之间图形的面积(18)(本题满分10分）1设a ,.=Lx "Jl了五x (n = 0, 1 , 2,…）． (I)证明数列｛叮单调递减，且a ,.=—一－n -1 n + 2a 几一2(n = 2, 3,-·· );(II ) .a求hm n .n----+oo a几一1(19)(本题满分10分）设0是由锥面忒+(y-z)2 = (l -z)2(0�z�1)与平面z = 0围成的锥体，求0的形心坐标(20)(本题满分11分）设向量组a (1 2 1 ＝ ）平=(1 , 3, 2) T ,a 3 = (1 , a , 3尸为R 3的一个基，/J =(l,1,l)T 在这个基下的坐标为(b,c, 1)飞(I )求a,b,c;(II )证明生立3/J 为R 3的一个基，并求生立3/J 到叮生立3的过渡矩阵．(21)(本题满分11分）已知矩阵A=厂。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题03函数概念与基本初等函数文(含解析)
专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．2．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．3．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：B．4．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．5．【2016年北京文科04】下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y B．y＝cos x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x 减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y＝cos x在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．6．【2016年北京文科08】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．7．【2015年北京文科03】下列函数中为偶函数的是（）A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|lnx| D．y＝2﹣x【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sin x；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）＝x2cos x；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）＝2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选：B．8．【2015年北京文科08】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8；故选：B．9．【2014年北京文科02】下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y＝e﹣x B．y＝x C．y＝lnx D．y＝|x|【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．10．【2014年北京文科06】已知函数f（x）log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）log2x，∴f（2）＝2＞0，f（4）0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．11．【2014年北京文科08】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p＝at2+bt+c，可得，解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t 3.75．故选：B．12．【2013年北京文科03】下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝e﹣x C．y＝lg|x| D．y＝﹣x2+1【解答】解：A中，y为奇函数，故排除A；B中，y＝e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y＝lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y＝lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y＝﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．13．【2012年北京文科05】函数f（x）（）x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y在定义域上为增函数，y在定义域上为增函数∴函数f（x）在定义域上为增函数而f（0）＝﹣1＜0，f（1）0故函数f（x）的零点个数为1个故选：B．14．【2012年北京文科08】某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选：C．15．【2011年北京文科03】如果x y＜0，那么（）A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数0 1故函数为减函数∴x＞y＞1故选：D．16．【2010年北京文科06】给定函数①，②，③y＝|x﹣1|，④y＝2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y＝x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选：B．17．【2017年北京文科11】已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x，开口向上，所以函数的最小值为：f（）．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．18．【2016年北京文科10】函数f（x）（x≥2）的最大值为．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x＝2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．19．【2016年北京文科14】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．20．【2015年北京文科10】2﹣3，，log25三个数中最大数的是．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，12，log25＞log24＝2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．21．【2014年北京文科14】顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为个工作日．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15＝42 个工作日．故答案为：42．22．【2013年北京文科13】函数f（x）的值域为．【解答】解：当x≥1时，f（x）；当x＜1时，0＜f（x）＝2x＜21＝2．所以函数的值域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．23．【2012年北京文科12】已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝．【解答】解：∵函数f（x）＝lgx，f（ab）＝lg（ab）＝1，f（a2）+f（b2）＝lga2+lgb2＝lg（ab）2＝2lg（ab）＝2．故答案为：2．24．【2012年北京文科14】已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2．若∀x∈R，f（x）＜0或g （x）＜0，则m的取值范围是．【解答】解：∵g（x）＝2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴此时f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0故答案为：（﹣4，0）25．【2011年北京文科13】已知函数若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则数k的取值范围是．【解答】解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f（x）＝k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）26．【2011年北京文科14】设A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）＝，N（t）的所有可能取值为．【解答】解：当t＝0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6个点，所以N（0）＝6作出平行四边形ABCD将边OD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为6，7，8故答案为：6；6，7，827．【2010年北京文科09】已知函数y，如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y 的程序框图，①处应填写；②处应填写．【解答】解：由题目可知：该程序的作用是计算分段函数y的值，由于分段函数的分类标准是x是否大于2，而满足条件时执行的语句为y＝2﹣x，易得条件语句中的条件为x＜2不满足条件时②中的语句为y＝log2x故答案为：x＜2，y＝log2x．28．【2010年北京文科14】（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则f（x）的最小正周期为；y＝f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．【解答】解：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+1．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34CD ．4 【答案】B【解析】∵f （x ）在[a ，a +1]上是偶函数，∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （x ）的定义域为[12-，12]， 故：f （x ）12=-x 2﹣bx +1， ∵f （x ）在区间[12-，12]上是偶函数， 有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0； ∴2b a a -13144=-=． 故选：B ．2．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足.若(3)1f =,则不等式的解集为（ ） A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．D ．【答案】A【解析】因为对121x x ∀<≤,满足，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，当2log 1x >时，即当2x >时，，综上所述：不等式的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.3．函数的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞ 【答案】A【解析】 函数,所以或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题11平面解析几何解答题文(含解析)
专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 椭圆2019年北京文科19解答题2018 椭圆2018年北京文科20解答题2017 椭圆2017年北京文科19解答题2016 椭圆2016年北京文科19解答题2015 椭圆2015年北京文科20解答题2014 椭圆2014年北京文科19解答题2013 椭圆2013年北京文科19解答题2012 椭圆2012年北京文科19解答题2011 椭圆2011年北京文科19解答题2010 椭圆2010年北京文科19历年高考真题汇编1．【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．可得b＝c＝1，a，则椭圆方程为y2＝1；（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2，x1x2，AP的方程为y x+1，令y＝0，可得y，即M（，0）；AQ的方程为y x+1，令y＝0，可得y．即N（，0）．（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）＝（1+t2﹣2t）+k2•（kt﹣k）•（），|OM|•|ON|＝2，即为|•|＝2，即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0，即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．2．【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D 和点Q（，）共线，求k．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c＝2，则c，椭圆的离心率e，则a，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，△＝（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2，x1x2，∴|AB|，∴当m＝0时，|AB|取最大值，最大值为；（Ⅲ）设直线PA的斜率k PA，直线PA的方程为：y（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）＝0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，x1•x C，x C，则y C（2），则C（，），同理可得：D（，），由Q（，），则（，），（，），由与共线，则，整理得：y2﹣x2＝y1﹣x1，则直线AB的斜率k1，∴k的值为1．3．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），则a＝2，e，则c，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，则直线AM的斜率k AM，直线DE的斜率k DE，直线DE的方程：y（x﹣x0），直线BN的斜率k BN，直线BN的方程y（x﹣2），，解得：，过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，则|EH|，则，∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．4．【2016年北京文科19】已知椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【解答】（1）解：∵椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a＝2，b＝1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y，取x＝0，得；，PB所在直线方程为，取y＝0，得．∴|AN|，|BM|＝1．∴．∴四边形ABNM的面积为定值2．5．【2015年北京文科20】已知椭圆C：x2+3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2＝3，∴椭圆C的标准方程为：y2＝1，∴a，b＝1，c，∴椭圆C的离心率e；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1＝（1﹣y1）（x﹣2），令x＝3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM＝1，又∵直线DE的斜率k DE1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1（x﹣2），令x＝3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0，由韦达定理，得x1+x2，x1x2，∵k BM﹣1＝0，∴k BM＝1＝k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．6．【2014年北京文科19】已知椭圆C：x2+2y2＝4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，∴a＝2，b，c，∴椭圆C的离心率e；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴0，∴tx0+2y0＝0，∴t，∵，∴|AB|2＝（x0﹣t）2+（y0﹣2）2＝（x0）2+（y0﹣2）2＝x02+y024＝x0244（0＜x02≤4），因为4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．7．【2013年北京文科19】直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴线段OB的垂直平分线为y，将y代入椭圆方程得x＝±，因此A、C的坐标为（，），如图，于是AC＝2．（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA＝OC，设OA＝OC＝r，则A、C为圆x2+y2＝r2与椭圆的交点，故，x2（r2﹣1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．于是结论得证．8．【2012年北京文科19】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，∴∴b∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，∴|MN|∵A（2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S∵△AMN的面积为，∴∴k＝±1．9．【2011年北京文科19】已知椭圆G：1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c，，解得a，又b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0，y0＝x0+m，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k，解得m＝2．此时方程①为4x2+12x＝0．解得x1＝﹣3，x2＝0，所以y1＝﹣1，y2＝2，所以|AB|＝3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y＝x+2距离d，所以△PAB的面积s|AB|d．10．【2010年北京文科19】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y ＝t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（Ⅱ）由题意知p（0，t）（﹣1＜t＜1）由得所以圆P的半径为，则有t2＝3（1﹣t2），解得所以点P的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y﹣t）2＝3（1﹣t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以设t＝cosθ，θ∈（0，π），则当，即，且x＝0，y取最大值2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=； （2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C， 所以22619b a=-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u vu u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得3λ=（3λ=-舍去）， 所以3ON MO =u u u vu u u u v，从而()31NM OM =+.又因为点O 到直线l 的距离为21m d k=+，所以点N 到直线l 的距离为()(231311m d k+⋅+=+，所以()()221126131312231NABmk S d AB m k∆+=+⋅=+⋅⋅+ 62=+，综上，NAB ∆的面积为定值62+. 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3，由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得m =20y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0）， 则PM•PN＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号， 又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r ，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r． （1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)3【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+， 以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur 3=≤， 当2219k k =时，即k =时取等号，max ||3PQ =u u u r ，又||AB =u u u r，maxλ==，∴λ取得最大值时的PQ的长为3． 5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；.【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y kx m =+， 因为直线l 与圆O 相切，1=，∴221m k =+，由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x m k k +=-+=++=++，. 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即 24015kmx ky k++=+.所以MN =.将m =MN =得2441155||||kMNk kk====++…（当且仅当k=，即m=取等号）.所以三角形MON的面积为11122S OM MN=⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON.7．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，F是椭圆C的一个焦点．点(02)M,，直线MF的．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A B，两点，线段AB的中点为N，且AB MN＝．求l的方程．【答案】（1）22182x y+=；（2）2y x=+【解析】（1）由题意，可得23cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c=-，故椭圆C的方程为22182x y+=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN≠=，，，不合题意，故l的斜率存在．设l的方程为2y kx=+，联立221822x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx+++＝，设1122(()A x yB x y，)，，，则12122216k8,14k14kx x x x+=-=++，()222(16)3214128320k k k∆=-+=->即214k>，设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+整理得21124k =>．故k =，l 的方程为2y x =+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b +=， 又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r .①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r ，(2,3)QN m =--u u u r， 由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r， 由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明 【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y+=， 因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=， 所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=， 当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥， 若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=， 则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+， ()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 2202281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+， 要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-， 所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【答案】(1) 24y x = (2)见解析 【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =， 所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=， 依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=， 即221616ba k k-=， 整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k∆∆-=-=， 由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••， 由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】 （1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Qy x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=， 不妨设()1,P P y -，0P y >， 直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+()222212()||212221P P Q y m d P PF m y y m m m +-=-+=+++ 2212122m m m m m+-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p =所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-；记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线，故||||PE PF +的最小值为2（2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=，由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-，由()0,2M 到直线l 的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：x=-12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程； （2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （-1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，证明：22212112k k k+-为定值．【答案】（1）y 2=2x ；（2）见解析【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F 的抛物线，p122=，p=1．∴抛物线的方程为y 2=2x ；（2）根据已知，设直线AB 的方程为y=k （x -1）（k ≠0）， 由()2y k x 1y 2x ⎧=-⎨=⎩，可得ky 2-2y -2k=0．设A （211y y 2，），B （222y y 2，），则122y y k +=，y 1y 2=-2． ∵1112211y2y k y y 212==++，2222222y 2y k y y 212==++． ∴22221222221212(y 2)(y 2)11k k 4y 4y +++=+=22222212212212(y 2)y (y 2)y 4y y +++ =()42422222122112122212y y y y 8y y 4y y 4y y ++++=()2221212128y y 32(y y )2y y 4162+++-+= =22482k 42k +=+．∴222121124k k k +-=．。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文(含解析)
专题04导数及其应用历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 导数综合问题2019年北京文科20解答题2018 导数综合问题2018年北京文科19解答题2017 导数综合问题2017年北京文科20解答题2016 导数综合问题2016年北京文科20解答题2015 导数综合问题2015年北京文科19解答题2014 导数综合问题2014年北京文科20解答题2012 导数综合问题2012年北京文科18解答题2011 导数综合问题2011年北京文科18解答题2010 导数综合问题2010年北京文科18历年高考真题汇编1．【2019年北京文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．2．【2018年北京文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x＝（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（1，+∞）．3．【2017年北京文科20】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．4．【2016年北京文科20】设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为．由函数f（x）有三个不同零点，可得c＜0，解得0＜c，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c＝0，a＝b＝4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）＝x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．5．【2015年北京文科19】设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X（0，）（）f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．6．【2014年北京文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y＝f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0得，x或x，∵f（﹣2）＝﹣10，f（），f（），f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝23x0，且切线斜率为k＝63，∴切线方程为y﹣y0＝（63）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（63）（1﹣x0），即46t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣ 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．7．【2012年北京文科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a＝3，b＝﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f′（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．（2）当a＝3，b＝﹣9时，设h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+3x2﹣9x+1则h′（x）＝3x2+6x﹣9，令h'（x）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）＝28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]8．【2011年北京文科18】已知函数f（x）＝（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x﹣k+1）e x，令f′（x）＝0，得x＝k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）＝﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1﹣k）e；综上所述f（x）min．9．【2010年北京文科18】设定函数f（x）x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x＝0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【解答】解：由得f′（x）＝ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x＝ax2+2bx+c﹣9x＝0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a＝3时，又由（*）式得解得b＝﹣3，c＝12又因为曲线y＝f（x）过原点，所以d＝0，故f（x）＝x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2+2bx+c ≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b＝9﹣5a，c＝4a．又△＝（2b）2﹣4ac＝9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈[1，9]即a的取值范围[1，9]考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数，若有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e-，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 【答案】C 【解析】由题意，函数，要使得函数在R 上有3个零点，当0x >时，令，可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x=有两个交点，又由，令，可得x e =，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x e =时，，若直线y k =和()2ln x g x x=有两个交点，则1(0,)2k e ∈， 当0x <时，y k =和()1g x x=有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e，故选C.2．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】由题意，，，设，，设，，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，αβ∴<，故选C.3．已知函数（a 为大于1的整数），若()y f x =与的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：，，）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故，又当，所以函数()f x 的值域为，令因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ，令由上可知：，，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，2,a a Z ≥∈，，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，，，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足，则的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．2【答案】D 【解析】Q，∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x=Q ∴当时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴5．若函数在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】因为函数，所以令，因为，当(1,)x ∈+∞ 时，，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，，因为，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D. 6．已知函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,2e -? C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)2,e é-+?êë【答案】D 【解析】令，则，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，所以在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即在(0,)x ∈+∞上恒成立；即在(0,)x ∈+∞上恒成立；令，(0,)x ∈+∞，则，由()0h x '=得，解得1x =-（舍）或12x =， 所以，当102x <<时，，单调递减；当12x >时，，单调递增；所以，因为在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需24a e -≤，解得2a e ≥-. 故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有，则不等式的解集为( ) A ．B ．C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】 设，因为()f x 为R 上奇函数， 所以，即()g x 为R 上奇函数 对()g x 求导，得， 而当0x >时，有故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 所以()g x 在R 上单调递增 不等式，即所以，解得2016x <-故选A 项. 8．已知函数，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】D 【解析】 根据题意，函数，其导数，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有，函数()f x 在R 上为增函数， 又由，，则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，，又由21t -<<-，则，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0； 故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____． 【答案】1 【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'=设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：．即：它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =， ∴11a m==． 故答案为：1． 10．函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】1a …关于x 轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以与的图象有交点，方程有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意， 0a ≠时转化为有解， 即的图象有交点，是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设相切时，切点的坐标为(),mm e，则111m m e m ae a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a≥，即1a ≤且0a ≠时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤，故答案为1a ≤. 11．已知函数，若存在实数,()a b a b <使得，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln27作出函数图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得或，因为a b <，所以，，因此，令，01m <<， 则，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以，因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．【答案】15【解析】 设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0),所以，即e 1x x ≥+；可知，当且仅当时取等； 因为 所以，．所以，解得，当且仅当15c =时，取等号． 故答案为：1513．已知直线x t =与曲线分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】 令，，显然为增函数，且'(0)0h =所以当(1,0)t ∈-时，单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，单调递增.所以.故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 【答案】【解析】解：曲线cos y a x =，可得，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，可得，所以1a =-.所以切点坐标为：3(,)62π-， 则切线l 的方程为：.即：．故答案为：．15．已知函数若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由，可得， 即1a >，不妨设12x x < ，则，令，则，，令，则，∴当 18t <<时，()'0g t >，()g t 在()1,8上递增；当8t >时，()'0g t <，()g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，()g t 取得最大值,故答案为3ln 22-. 16．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______.【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限， 当0x >时，，所以，①若1a -…时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解，所以()f x 在10,3a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,23a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 又所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得13a x +=若123a +<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为 ，令.若时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得13a x -=， 若，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，令，所以1113a ≤<； 若，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，显然，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >. 17．已知函数.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）比较与的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为，当0x a <<时，，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以.18．已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，，对于函数，①当时，即22a -≤≤时，在0x >恒成立．在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得或，，()f x ∴在为增函数，减函数，为增函数，当2a >时，由在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数． （2）由（1）知2a <-，且，故故只需证明，令2at =-，故1t >， 原不等式等价于ln 1t t <-对1t >成立， 令，所以单调递减，有得证. 19．已知函数.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()ef x e+…对恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】 （Ⅰ）当1a =时，，定义域为(1,)-+∞..令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以.（Ⅱ），1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；当时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以.依题意有，设，则，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增.又，故1e a ⇒剟，即实数a 的取值范围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数（1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】 （1）当2a =时，∴当0x >时，，则：，又()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：即：（2）列表如下：x(),0-∞0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭ 2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '-+ 0-()f x]Z极大值]设函数()f x 存在“单调倍区间”是①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有两式相减得：即，代入得：要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦②当时，由()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则有即：1ln 41ln 4m a mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4xg x x=，则当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点结合两函数图象，则，即：2ln 122114a e a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值范围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有两式相减得：，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间”综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是21．已知函数.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当[0,1)b ∈时，设函数有最小值()h b ，求()h b 的值域.【答案】(1)见解析；(2)【解析】解：（1）()f x 定义域为，.令，①，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，∆>0，方程①两根为，，由于，.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增， 当4a >时，()f x 在单调递增，，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，0a =时，在(2,)-+∞单调递增，由于(0)0k b =≥，，故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，，又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故时，0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设，(2,0]x ∈-，，故()m x 单调递增，故，即，即.22．已知函数（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围： （2）当0a =时，设，证明：当0x >时，．【答案】（1）2]-∞（，； （2）见解析.【解析】（1）解：由题意可得在1（，）+∞上恒成立． ∴， 令，则， ∴函数在1（，）+∞上单调递增． ∴12a h ≤=（）． ∴实数a 的取值范围是2]-∞（，． （2）证明：当0a =时，． ，令， 则，可得2x ln =时，函数u x （）取得极小值，． ∵00g '=（），又． ∴存在，使得．由单调性可得：0x x =时，函数()g x 取得极小值，即最小值， ∴． 由，可得函数0y g x =（）单调递减，故．∴当0x >时，．。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题02复数文(含解析)
专题02复数历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 复数的四则运算2019年北京文科02 单选题2018 复数的四则运算2018年北京文科02 单选题2017 复数的四则运算2017年北京文科02 单选题2016 复数的四则运算2016年北京文科02 单选题2013 复数的四则运算2013年北京文科04 单选题2012 复数的四则运算2012年北京文科02 单选题2011 复数的四则运算2011年北京文科02单选题2010 数系的扩充与复数的定义2010年北京文科02填空题2015 复数的四则运算2015年北京文科09填空题2014 数系的扩充与复数的定义2014年北京文科09历年高考真题汇编1．【2019年北京文科02】已知复数z＝2+i，则z•（）A．B．C．3 D．5【解答】解：∵z＝2+i，∴z•．故选：D．2．【2018年北京文科02】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数，共轭复数对应点的坐标（，）在第四象限．故选：D．3．【2017年北京文科02】若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．4．【2016年北京文科02】复数（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【解答】解：i，故选：A．5．【2013年北京文科04】在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z＝i（2﹣i）＝﹣i2+2i＝1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选：A．6．【2012年北京文科02】在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣1，3）D．（3，﹣1）【解答】解：∵1+3i，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（1，3），故选：A．7．【2011年北京文科02】复数（）A．i B．﹣i C．D．【解答】解：i故选：A．8．【2010年北京文科02】在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A．4+8i B．8+2i C．2+4i D．4+i【解答】解：两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B（﹣2，3），则其中点的坐标为C（2，4），故其对应的复数为2+4i．故选：C．9．【2015年北京文科09】复数i（1+i）的实部为．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i，所求复数的实部为：﹣1．故答案为：﹣1．10．【2014年北京文科09】若（x+i）i＝﹣1+2i（x∈R），则x＝．【解答】解：∵（x+i）i＝﹣1+2i，∴﹣1+xi＝﹣1+2i，由复数相等可得x＝2故答案为：2考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等，历年考题主要以选择填空题题型出现，重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．复数52iz =-在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】()()()52i 52i 2i 2i 2i z +===+--+，在复平面上的对应点为()2,1，位于第一象限. 故选A. 2．设i z a b =+（a ，b ∈R ，i 是虚数单位），且22i z =-，则有（ ） A ．1a b +=- B ．1a b -=- C ．0a b -= D ．0a b +=【答案】D 【解析】因为2222()()22z a bi a b abi i =+=-+=-，所以220a b -=，22ab =-，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，所以0a b +=，故选D.3．若复数1i1ia z +=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1-C ．0D ．2【答案】B 【解析】()()()()()11111i 1i 112ai i a a ia z i i +-++-+===++- 故10,10a a +=-≠ ，解1a =- 故选：B4．复数i （1+i ）的虚部为（ ）A B ．1 C ．0 D ．1-【答案】B 【解析】∵i （1+i ）=-1+i ， ∴i （1+i ）的虚部为1．5．已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2z = ( )A ．2 BCD ．10【答案】B 【解析】 由题得222(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i -------====+-+-+--，所以2z 故选：B6．已知复数312i z i=+，则复数z 的实部为（ ）A ．25-B ．25i -C ．15-D ．15i -【答案】A 【解析】解：∵3(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i --===--++-， ∴复数z 的实部为25-． 故选A ． 7．复数122ii-=+（ ） A ．1i - B ．i -C ．iD ．1i +【答案】B 【解析】12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i ------===-++-. 故选B8．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D .9．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若3455z i z =+，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 解: z a i =+Qz a i ∴=- 343443++2555555z a a i a i i a z ⎛⎫∴=+⇒+=-⇒= ⎪⎝⎭10．已知i 是虚数单位，复数z 满足2(1)1i i z-=+，则z =（ ）A B ．2 C ．1D 【答案】A 【解析】22(1)(1)22(1)1(1)111(1)(1)i i i i i i z i i i z i i i i ----⋅-=+⇒====--=--+++⋅-，所以1z i =--==A.11．复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】解：∴()()212213z i i i i i =+-=-++=-， ∴z 的实部是312．已知复数(1)1z i i -=+，则复数z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．iD ．i -【答案】C 【解析】由题意，复数(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i iz i i i i +++====--+，故选C. 13．已知i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i=+∈-，则b a =（ ） A ．1 BCD ．2【答案】C 【解析】 i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112i a bi i +==+- 根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a ==故答案为：C.14．已知复数z 满足2(1i)(3i)z +=+，则||z =（ ） ABC．D ．8【答案】C 【解析】∵2(1)(3)z i i +=+，∴2(3)86(86)(1)(43)(1)711(1)(1)i i i i z i i i i i i i +++-====+-=-+++-，∴||z === 故选C ．15．已知i 是虚数单位，则复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1 B ．()1,0-C ．()1,0D ．()0,1-【答案】A 【解析】 ∵()()()()111111i i i i i i i ---==++-，∴该复数在复平面上对应的点的坐标为()0,1. 故选A.16．若复数z 满足(1i)|1|z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-， 所以1z i =+，所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限. 故选：A17．已知复数z 满足12iz i =+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i -C ．2D ．2i【答案】A 【解析】 因为12iz i =+所以221222i i i z i i i++===-所以虚部为1- 所以选A 18．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】 因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B.19．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为( )A ．1-B ．3-C ．1D ．2【答案】B 【解析】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项.20．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选：C ． 21．设复数z 满足2ii z+=，则z =（ ）A ．1BC ．3D ．5【答案】B 【解析】2ii z+=Q, 221i z i i +∴==+22112ii i=+=-,z ∴== B.22．已知复数1i z i=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】∵ ()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+，∴ 12z i =+，∴2z +在复平面内对应的点的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．23．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z =（ ） A ．1i - B ．12i +C ．1i +D ．1i --【答案】D 【解析】 由题意得：()()()2121111i i iz i i i i +===-+--+ 1z i ∴=-- 本题正确选项：D24．若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A ．i B ．i - C ．2iD ．2i -【答案】B 【解析】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0，解得m ＝0，故z ＝i ，故111iz i i i ⋅===-⋅i ．故选：B ．25．设i 为虚数单位，则复数22iz i -=+的共扼复数z =（ ）A ．3455i + B ．3455i -C ．3455i -+ D ．3455i --【答案】A【解析】 解：22i (2i)34i 2i (2i)(2i)55z --===-++-Q ，3455z i ∴=+故选：A ．26．已知复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，11z =，则12z z =( )A ．2 BCD ．1【答案】D【解析】由题意，复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，11z =，则21z =-，所以12212z z ====，故选D.27．已知复数z 1＝1+2i ，z 2＝l ﹣i ，则12z z =（ ）A ．13i 22-- B ．13i 22-+ C ．13i 22- D ．13i 22+【答案】B【解析】∵1212,1z i z i =+=-，∴1212(12)(1)131(1)(1)22z i i i i z i i i +++===-+--+． 故选：B ．28．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ）A ．2B ．-1C ．iD ．2i + 【答案】B【解析】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项：对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意；对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意；对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意；对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意；故选：B .29．已知i 为虚数单位，则复数3(1)i z i i +=-的虚部为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2- 【答案】C【解析】 因为3(3)(1)122(1)2i i i i i i i i i++++===--，所以z 的虚部为1-. 30．已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．13- 【答案】D【解析】因为(i)(1i)1(1)z a a a i =+-=++-，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线2y x =上，所以12(1)a a -=+，解得13a =-. 故选D.。
十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何文(含解析)
专题09立体几何历年考题细目表质17解答题2013垂直关系的判定与性质2013年北京文科17解答题2012垂直关系的判定与性质2012年北京文科16解答题2011空间角与空间距离2011年北京文科17解答题2010垂直关系的判定与性质2010年北京文科17历年高考真题汇编1．【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解:四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC,CD，PC＝3，PD＝2,可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．2．【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知:该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积10．故选：D．3．【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD,PD．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．4．【2013年北京文科08】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有（)A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长｜AB｜＝3,则A（3,0，0），B（3，3，0），C（0,3,0），D（0,0，0），A1（3，0，3），B1（3，3,3）,C1（0,3,3）,D1（0，0,3)，∴（﹣3，﹣3，3），设P（x,y,z)，∵(﹣1，﹣1,1）,∴（2，2,1）．∴｜PA|＝｜PC|＝|PB1|，｜PD｜＝｜PA1|＝｜PC1｜，|PB｜，|PD1｜．故P到各顶点的距离的不同取值有,3,，共4个．故选：B．5．【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4,底边长为5，如图，所以S底10，S后,S右10，S左6．几何体的表面积为：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．故选：B．6．【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16,棱锥的高为2,故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为：4,故棱锥的表面积为：16+16,故选：B．7．【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧(左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为( )A．B．C．D．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选:C．8．【2010年北京文科08】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点,动点P在棱AD上，若EF＝1，DP＝x，A1E＝y（x，y大于零）,则三棱锥P﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关,与x无关【解答】解：三棱锥P﹣EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图形可知，平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面，故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段A1D 的距离,此距离只与x有关，因为EF＝1，点Q到EF的距离为线段B1C的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关．故选：C．9．【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l,那么该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V．故答案为：40．10．【2019年北京文科13】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α,l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．11．【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【解答】解:由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S(1+2）×1，棱柱的高为1，故棱柱的体积V，故答案为：12．【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE ⊥AC，且AE＝CE＝1；由主视图知CD＝2，由左视图知BE＝1，在Rt△BCE中，BC，在Rt△BCD中,BD，在Rt△ACD中，AD＝2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．13．【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积．故答案为：3．14．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°,求证:平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形,∴BD⊥PA,BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．(Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°,∴AB⊥AE，PA⊥AE,∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解:（Ⅲ)棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下:取AB中点G,连结GF，CG，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴CG∥AE，FG∥PA，∵CG∩FG＝G,AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．15．【2018年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E,F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）PA＝PD,E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD,在平面PAB内过P作直线PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD＝PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD,即有AB⊥PA,PA⊥PG;同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH BC,由DE∥BC，DE BC,可得DE＝FH,DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形,EF⊄平面PCD,DH⊂平面PCD,即有EF∥平面PCD．16．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD;（2)求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2)证明：由AB＝BC,D为线段AC的中点,由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点,可得E为PC的中点，且DE PA＝1,由PA⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,可得S△BDC S△ABC2×2＝1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC1×1．17．【2016年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解答】（1）证明:∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC,∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC;（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C,∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．18．【2015年北京文科18】如图，在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O,M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证:平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O,M分别为AB,VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC;（2)∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC,∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB，∵OC⊥平面VAB,∴V C﹣VAB•S△VAB，∴V V﹣ABC＝V C﹣VAB．19．【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1,E、F分别为A1C1、BC 的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：(1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面,∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1,∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG＝EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE,EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC,∴AB，∴V E﹣ABC S△ABC•AA1（1)×2．20．【2013年北京文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F 分别是CD和PC的中点,求证：(Ⅰ）PA⊥底面ABCD;(Ⅱ)BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD ∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC 的中点，故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内,故有BE∥平面PAD．(Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21．【2012年北京文科16】如图1，在Rt△ABC中,∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD,如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D,E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC,又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC,∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC,而A1F⊂平面A1DC,∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图,分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC,∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C,又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．22．【2011年北京文科17】如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC,BC,PB的中点．(Ⅰ）求证:DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形;(Ⅲ)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【解答】证明：(Ⅰ）∵D,E分别为AP,AC的中点，∴DE∥PC,∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E,F,G分别为AP，AC，BC,PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形,∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．(Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG＝Q,且QD＝QE＝QF＝QG EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN EG，∴Q为满足条件的点．23．【2010年北京文科17】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB，CE＝EF＝1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE;(Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．因为EF∥AG，且EF＝1,AG AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．(Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG,EF＝CG＝1，且CE＝1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC,所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积,空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质,立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离)等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图,空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离)等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在正方体中, 1AD与BD所成的角为( ）A．45?B．90C．60D．120【答案】C【解析】如图,连结BC1、BD和DC1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故选：C．2．在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面 去截正方体,在截面边数最多时的所有多边形中,多边形截面的面积为S，周长为l，则( ）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值【答案】C【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：与面1A BD平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，即六边形EFGHMN，其中分别为其所在棱的中点，由正方体的性质可得2EF=，2∴六边形的周长l为定值32．∴六边形的面积为，由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形,周长与面积不变，故S与l均为定值，故选C.3．在四面体P ABC-中，ABCPA=,4∆为等边三角形，边长为3，3PC=，PB=，5则四面体P ABC-的体积为（）A．3B．23C．11D．10【答案】C【解析】如图,延长CA至D，使得3AD=，连接,DB PD，因为，故ADB∆为等腰三角形，又，故，所以即,故CB DB⊥，因为，所以，所以CB PB⊥，因，DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD，所以CB⊥平面PBD,所以，因A为DC的中点，所以，因为，故PDC∆为直角三角形,所以,又，而4∆为直角三角形，PB=,故即PBD所以,所以，故选C。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何文(含解析)
专题09立体几何历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2018三视图与直观图2018年北京文科06单选题2017三视图与直观图2017年北京文科06单选题2015三视图与直观图2015年北京文科07单选题2013空间角与空间距离2013年北京文科08单选题2012三视图与直观图2012年北京文科07单选题2011三视图与直观图2011年北京文科05单选题2010三视图与直观图2010年北京文科05单选题2010表面积与体积2010年北京文科08填空题2019三视图与直观图2019年北京文科12点线面的位置关系与立体几何基本定填空题2019理2019年北京文科13填空题2016三视图与直观图2016年北京文科11填空题2014三视图与直观图2014年北京文科11填空题2013三视图与直观图2013年北京文科10解答题2019平行关系的判定与性质2019年北京文科18解答题2018平行关系的判定与性质2018年北京文科18解答题2017空间角与空间距离2017年北京文科18解答题2016空间向量在立体几何中的应用2016年北京文科18解答题2015表面积与体积2015年北京文科18解答题2014垂直关系的判定与性质2014年北京文科17解答题2013垂直关系的判定与性质2013年北京文科17解答题2012垂直关系的判定与性质2012年北京文科16解答题2011空间角与空间距离2011年北京文科17解答题2010垂直关系的判定与性质2010年北京文科17历年高考真题汇编【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）1．A．1B．2C．3D．4【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC，CD，PC＝3，PD＝2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．2．【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．60B ．30C ．20D ．10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积10．故选：D ．3．【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A ．1B ．C ．D ．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，）底面为正方形如图：其中PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形∴PB ＝1，AB ＝1，AD ＝1，∴BD，PD．PC ═该几何体最长棱的棱长为：故选：C ．4．【2013年北京文科08】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB |＝3，则A （3，0，0），B （3，3，0），C （0，3，0），D （0，0，0），A 1（3，0，3），B 1（3，3，3），C 1（0，3，3），D 1（0，0，3），∴（﹣3，﹣3，3），设P （x ，y ，z ），∵（﹣1，﹣1，1），∴（2，2，1）．∴|PA |＝|PC |＝|PB 1|，|PD |＝|PA 1|＝|PC 1|，|PB |，|PD 1|．故P 到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B ．5．【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ．28+6B ．30+6C ．56+12D ．60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S 底10，S 后，）S 右10，S 左6．．几何体的表面积为：S ＝S 底+S 后+S 右+S 左＝30+6故选：B ．6．【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A ．16B ．16+16C ．32D ．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，棱锥的高为2，故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为：故棱锥的表面积为：16+16故选：B ．，4，7．【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C 选项．故选：C ．8．【2010年北京文科08】如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E 、F 在棱A 1B 1上．点Q 是CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y （x ，y 大于零），则三棱锥P ﹣EFQ 的体积（）A ．与x ，y 都有关C ．与x 有关，与y 无关B ．与x ，y 都无关D ．与y 有关，与x 无关【解答】解：三棱锥P ﹣EFQ 的体积与点P 到平面EFQ 的距离和三角形EFQ 的面积有关，由图形可知，平面EFQ 与平面CDA 1B 1是同一平面，故点P 到平面EFQ 的距离是P 到平面CDA 1B 1的距离，且该距离就是P 到线段A 1D 的距离，此距离只与x 有关，因为EF ＝1，点Q 到EF 的距离为线段B 1C 的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x 有关，与y 无关．故选：C ．9．【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l ，那么该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V 故答案为：40．．10．【2019年北京文科13】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解答】解：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α．故答案为：若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α．11．【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S 棱柱的高为1，故棱柱的体积V 故答案为：12．【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．，（1+2）×1，【解答】解：由主视图知CD ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE ⊥AC ，且AE ＝CE ＝1；由主视图知CD ＝2，由左视图知BE ＝1，在Rt △BCE 中，BC，在Rt △BCD 中，BD 在Rt △ACD 中，AD ＝2，．．则三棱锥中最长棱的长为2故答案为：2．13．【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积故答案为：3．．14．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC ＝60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°，∴AB⊥AE，PA⊥AE，∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴CG∥AE，FG∥PA，∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．15．【2018年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）PA＝PD，E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD，在平面PAB内过P作直线PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD＝PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH BC，由DE∥BC，DE BC，可得DE＝FH，DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形，可得EF∥DH，EF平面PCD，DH⊂平面PCD，即有EF∥平面PCD．16．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB＝BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）PA ∥平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，可得PA ∥DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC PA ＝1，S △ABC 2×2＝1，则三棱锥E ﹣BCD 的体积为DE •S △BDC 1×1．17．【2016年北京文科18】如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC ．（1）求证：DC ⊥平面PAC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（3）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由．【解答】（1）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．18．【2015年北京文科18】如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB ∥平面MOC ；（2）∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∵平面VAB ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥平面VAB ，∵OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ∴S △VAB ，，∴AB ＝2，OC ＝1，∵OC ⊥平面VAB ，∴V C ﹣VAB •S △VAB ，∴V V ﹣ABC ＝V C ﹣VAB ．19．【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E 、F 分别为A 1C 1、BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；（2）求证：C 1F ∥平面ABE ；（3）求三棱锥E ﹣ABC 的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∴BB 1⊥AB ，∵AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1，∴AB ⊥平面B 1BCC 1，∵AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）证明：取AB 中点G ，连接EG ，FG ，则∵F 是BC 的中点，∴FG ∥AC ，FG AC ，∵E 是A 1C 1的中点，∴FG ∥EC 1，FG ＝EC 1，∴四边形FGEC 1为平行四边形，∴C 1F ∥EG ，∵C 1F 平面ABE ，EG 平面ABE ，∴C 1F ∥平面ABE ；（3）解：∵AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，∴AB ∴V E ﹣ABC ，S △ABC •AA 1（1）×2．20．【2013年北京文科17】如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ．E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）BE ∥平面PAD ；（Ⅲ）平面BEF ⊥平面PCD ．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21．【2012年北京文科16】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D ，E 分别为AC ，AB 的中点，∴DE ∥BC ，又DE 平面A 1CB ，∴DE ∥平面A 1CB ．（2）由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，∴DE ⊥AC ，∴DE ⊥A 1D ，又DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC ，而A 1F 平面A 1DC ，∴DE ⊥A 1F ，又A 1F ⊥CD ，∴A 1F ⊥平面BCDE ，∴A 1F ⊥BE ．（3）线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC ．∵DE ∥BC ，∴DE ∥PQ ．∴平面DEQ 即为平面DEP ．由（Ⅱ）知DE ⊥平面A 1DC ，∴DE ⊥A 1C ，又∵P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，∴A 1C ⊥DP ，∴A 1C ⊥平面DEP ，从而A 1C ⊥平面DEQ ，故线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ．22．【2011年北京文科17】如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ；（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN EG，∴Q为满足条件的点．23．【2010年北京文科17】如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直．EF ∥AC ，AB ＝EF ＝1．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ．，CE【解答】证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G ．因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AGAC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF ∥EG ，因为EG 平面BDE ，AF 平面BDE ，所以AF ∥平面BDE ．（Ⅱ）连接FG ．因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以平行四边形CEFG 为菱形．所以CF ⊥EG ．因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ．又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，所以BD ⊥平面ACEF ．所以CF ⊥BD ．又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在正方体A ．45?【答案】C 【解析】B ．90中,AD 1与BD 所成的角为（）C ．60D ．120如图，连结BC 1、BD 和DC 1，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，由AB=D 1C 1，AB ∥D 1C 1，可知AD 1∥BC 1，所以∠DBC 1就是异面直线AD 1与BD 所成角，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1、BD 和DC 1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC 1是正三角形，∠DBC 1=60°故异面直线AD 1与BD 所成角的大小为60°．故选：C ．2．在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面α去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为S ，周长为l ，则( )A ．S 为定值，l 不为定值C ．S 与l 均为定值【答案】C 【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：与面A 1BD 平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，B ．S 不为定值，l 为定值D ．S 与l 均不为定值即六边形EFGHMN ，其中由正方体的性质可得EF =2，2分别为其所在棱的中点，∴六边形的周长l 为定值32．∴六边形的面积为，由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形，周长与面积不变，故S 与l 均为定值，故选C.3．在四面体P -ABC 中，边长为3，PA =3，PB =4，PC =5，则四面体P -ABC∆ABC 为等边三角形，的体积为（）A ．3【答案】C 【解析】B ．23C ．11D ．10如图，延长CA 至D ，使得AD =3，连接DB ,PD ，因为又所以因为因即，所以，故∆ADB 为等腰三角形，，故，故CB ⊥DB ，，所以CB ⊥PB ，，，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以因A 为DC 的中点，所以因为所以又所以，而PB =4，故，所以，故∆PDC 为直角三角形，，即∆PBD 为直角三角形，，故选C.，，4．若a ,b 是不同的直线，α,β是不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若，则α⊥βB ．若C ．若D ．若【答案】C 【解析】‖β，则α‖β，则α‖β，则αA 中，若B 中，若，平面α,β可能垂直也可能平行或斜交，不正确；，平面α,β可能平行也可能相交，不正确；‖β，正确；C 中，若a ⊥α,b ⊥β，则a ,b 分别是平面α,β的法线，a ‖b 必有αD 中，若，平面α,β可能平行也可能相交，不正确.故选C.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A ．2π33π2B ．C ．3πD ．43π【答案】B 【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：故选：B ．6．如图，正方体.中，E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】解：正方体中，过点A ,E ,C 1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分．故选：A．7．下列说法错误的是（）A．垂直于同一个平面的两条直线平行B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行,A正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D.8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD^DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体PDBC是一个鳖臑，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为，所以DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，同理可得，四面体PABD和FABD都是鳖臑，故选C.9．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】如图，在等边三角形ABC中，取AB的中点F，设其中心为O，由AB=6，得，∆PAB是以AB为斜边的等腰角三角形，∴PF⊥AB,又因为平面PAB⊥平面ABC，∴PF⊥平面ABC，∴PF⊥OF，，则O为棱锥P-ABC的外接球球心，外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积为故答案为48π.，10．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为_______.【答案】2π的扇形，则该圆锥的体积为322π3【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，所以圆锥的母线l =3，圆锥的底面的周长为3，，因此底面的半径r =1，根据勾股定理，可知圆锥的高所以圆锥的体积为.11．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确命题序号是_____．（1）若m α，n ∥α，则m ∥n （2）若m ⊥α，m ⊥n 则n ∥α（3）若m ⊥α，n ⊥β且m ⊥n ，则α⊥β；（4）若m ⊂β，α【答案】（3）（4）【解析】若若若若，则m 与n 可能平行，相交或异面，故（1）错误；则n ∥α或n ⊂α，故（2）错误；且m ⊥n ，则α⊥β，故（3）正确；，由面面平行的性质可得m α，故（4）正确；β，则m α故答案为：（3）（4）12．长方体的底面ABCD 是边长为1的正方形，若在侧棱AA 1上存在点E ，使得，则侧棱AA 1的长的最小值为_______．【答案】2【解析】设侧棱AA 1的长为x ，A 1E ＝t ，则AE ＝x ﹣t ，∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，∠C 1EB ＝90°，∴22，2∴2+t +1+（x ﹣t ）＝1+x ，整理，得：t ﹣xt+1＝0，∵在侧棱AA 1上至少存在一点E ，使得∠C 1EB ＝90°，∴△＝（﹣x ）2﹣4≥0，解得x≥2．∴侧棱AA 1的长的最小值为2．故答案为2．213．如图，在Rt ∆ABC 中，AB =BC =1，D 和E 分别是边BC 和AC 上一点，DE ⊥BC ，将∆C D E 沿DE 折起到点P 位置，则该四棱锥P -ABDE 体积的最大值为_______．【答案】327【解析】在Rt ∆ABC 中，由已知，AB =BC =1，DE ⊥BC ，所以设四边形ABDE的面积为，,当∆CDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P -ABDE 体积最大,此时，且,，故四棱锥P -ABDE 体积为，⎛3⎫x ∈ 0, 3⎪⎪时，V '>0；⎝⎭所以，当x =时，V '<0,33时，V max =.327故答案为32714．三棱锥P -ABC 的4个顶点在半径为2的球面上，PA ⊥平面ABC ，V ABC 是边长为3的正三角形，则点A 到平面PBC 的距离为______．【答案】65【解析】a=2，即r ＝1．sin60︒h∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即，2△ABC 是边长为3的正三角形，可得外接圆的半径2r =那么球的半径R2,解得h=2,又由知，得d ='66故点A 到平面PBC 的距离为55故答案为6．515．如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为_______．【答案】3【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，则圆柱的高h 1＝R ，圆锥的母线长为L ，因为圆柱与圆锥的侧面积相等，所以，，解得：L ＝2R ，得圆锥的高为h 2＝3R ，所以，圆锥与圆柱的高之比为3R=3.R故答案为：316．直三棱柱中，，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________．【答案】16π.【解析】如图，在Rt ∆ABC 中，设，则．分别取AC ,A 1C 1的中点O 1,O 2，则O 1,O 2分别为Rt ∆A 1B 1C 1和Rt ∆ABC 外接圆的圆心，连O 1,O 2，取O 1O 2的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心．连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O -ABC 的体积为1，即∴ac =6．在Rt ∆OO 2C 中，可得，，∴∴O 球表面积的最小值为16π．故答案为：16π．，当且仅当a =c 时等号成立，17．在三棱锥P -ABC 中，∆ABC 是边长为4的等边三角形，，PC =25.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）若点M ，N 分别为棱BC ，PC 的中点，求三棱锥N -AMC 的体积V .【答案】(1)见证明；(2)V =【解析】（1）取AB 中点H ，连结PH ，HC .263∵，AB =4，∴PH ⊥AB ，PH =22.∵等边∆ABC 的边长为4∴HC =23，又PC =25∴∴∠PHC =90，即PH ⊥HC 又∵，AB平面ABC ，CH ⊂平面ABC∴PH ⊥平面ABC ，又PH ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面ABC（2）∵点M ，N 分别为棱BC ，PC 的中点∴点N 到平面ABC 的距离为且∴三棱锥N -AMC 的体积18．如图所示，三棱柱1PH =22中，∠BCA =90°，AC 1⊥平面A 1BC ．（1）证明：平面ABC ⊥平面ACC 1A 1；（2）若，A 1A =A 1C ，求点B 1到平面A 1BC 的距离．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：AC 1⊥平面A 1BC ，，．，∴BC ⊥平面ACC 1A 1．又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACC 1A 1．（2）解：取AC 的中点D ，连接A 1D ．，．又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，且交线为AC ，则A 1D ⊥平面ABC ．AC 1⊥平面A 1BC ，，∴四边形ACC 1A 1为菱形，．又A 1A =A 1C ，∴A 1AC 是边长为2正三角形，∴A 1D =3．面BB 1C 1C ,BB 1⊂面BB 1C 1C∴AA 1面BB 1C 1C 设点B 1到平面A 1BC 的距离为h ．则．，，∴h =3．所以点B 1到平面A 1BC 的距离为3．19．在边长为3的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上（如左图），且BE =BF ，将AED ，．DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ¢（如右图）（1）求证：A 'D ⊥EF ；（2）当BF =1BC 时，求点A ¢到平面DEF 的距离．3375【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得：A 'E ⊥A 'D ，A 'F ⊥A 'D ，，∴A 'D ⊥平面A 'EF ，平面A 'EF ，．（2），，设点A ¢到平面DEF 的距离为d ，，∴S DEF =52，，解得d =37．5∴点A 到平面DEF 的距离为37．520．如图，四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AB //CD ，AD ⊥CD ，SD =CD ，AB =AD ，CD =2AD ，M 是BC 中点，N 是SA 上的点.（1）求证：MN //平面SDC ；（2）求A 点到平面MDN 的距离.【答案】（1）见证明；（2）d =【解析】（1）取AD 中点为E ，连结ME ，NE ，则ME //DC ，因为ME ⊄平面SDC ，所以ME //平面SDC ，同理NE //平面SDC .所以平面MNE //平面SDC ，从而因此MN //平面SDC .127（2）因为CD ⊥AD ，所以ME ⊥AD .因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD ⊥CD ，ME ⊥SD .所以ME ⊥平面SAD .设DA =2，则ME =3，NE =2，，MD =10，ND =5.在∆MDN 中，由余弦定理，从而，所以∆MDN 面积为7.2又∆ADM 面积为1⨯2⨯3=3.2得设A 点到平面MDN 的距离为d ，由因为NE =2，所以A 点到平面MDN 的距离d =7d =3NE ，212.7AB //CD ，AB ⊥AD ，3，，21．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，E 为侧棱PA 上一点.（Ⅰ）若PE =1PA ，求证：PC //平面EBD ；3（Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，线段PF 长【解析】（Ⅰ）设，连结EG ，3.2由已知AB//CD ，DC =1，AB =2,得.1AEPA ,得=2.3EPAE AG=在ΔPAC 中，由，得EG //PC .EP GC由PE =因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PA .由已知得AC =所以所以BC ⊥AC .又，所以BC ⊥平面PAC .2，BC =2，AB =2，.因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC .（Ⅲ）在平面PAD 内作AF ⊥PD 于点F ，由DC ⊥PA ，DC ⊥AD ，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AF .又，所以AF ⊥平面PCD .，由PA =3，AD =1，PA ⊥AD ，得PF =3.2的底面ABC 是等边三角形，侧面AA 'C 'C ⊥底面ABC ，D 是棱BB '的中22．已知三棱柱点.（1）求证：平面DA 'C ⊥平面ACC 'A '；（2）求平面DA 'C 将该三棱柱分成上下两部分的体积比.【答案】(1)见证明；(2)1：1【解析】（1）取AC ,A 'C '的中点O ,F ,连接OF 与A 'C 交于点E ，连接DE ，OB ,B 'F ,则E 为OF 的中点，且，所以BB 'FO 是平行四边形.,又D 是棱BB '的中点，所以DE P OB .41。