2011-2018年高考物理试卷分类汇编：52.带电粒子在电磁场中的运动

第52节带电粒子在电磁场中的运动

1.2017年天津卷11．（18分）平面直角坐标系xOy 中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ现象存在沿y 轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q 点以速度v 0沿x 轴正方向开始运动，Q 点到y 轴的距离为到x 轴距离的2倍。粒子从坐标原点O 离开电场进入电场，最终从x 轴上的P 点射出磁场，P 点到y 轴距离与Q 点到y 轴距离相等。不计粒子重力，为：

（1）粒子到达O 点时速度的大小和方向； （2）电场强度和磁感应强度的大小之比。

【答案】（1），方向与x 轴方向的夹角为45°角斜向上；（2）。

【解析】（1）在电场中，粒子做类平抛运动，设Q 点到x 轴的距离为L ，到y 轴的距离为2L ，粒子的加速度为a ，运动时间为t ,有

x 方向：02L v t =① y 方向：21

2

L at =②

设粒子到达O 点时沿y 轴方向的分速度为v y ，v y =at ③ 设粒子到达O 点时速度方向与x 轴方向的夹角为α，有 0

tan y v v α=

④

联立①②③④式得α=45°⑤

即粒子到达O 点时速度方向与x 轴方向的夹角为45°角斜向上。

设粒子到达O 点时的速度大小为v

，由运动的合成有v =

联立①②③⑥式得0v ⑦

（2）设电场强度为E ，粒子电荷量为q ，质量为m ，粒子在电场中受到的电场力为F ，由牛顿第二定律可得F =ma ⑧ 又F =qE ⑨

设磁场的磁感应强度大小为B ，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，所受的洛伦

兹力提供向心力，有2

v qvB m R =⑩

由几何关系可知R =

?

联立①②⑦⑧⑨⑩?式得0

2

v E B =? 2.2014年物理海南卷

14．如图，在x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外；在

x 轴下方存在匀强电场，电场方向与xoy 平面平行，且与x 轴成450夹角。一质量为m 、电荷量为q （q ＞0）的粒子

以速度v 0从y 轴上P 点沿y 轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T 0，磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，不计重力。

（1）求粒子从P 点出发至第一次到达x 轴时所需的时间； （2）若要使粒子能够回到P 点，求电场强度的最大值。

【解析】（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为R ，运动周期为T ，根据洛伦兹力公式及圆周运动规律，有

依题意，粒子第一次到达x 轴时，运动转过的角度为π4

5

，所需时间t 1为

求得qB

m

t 451π=

（2）粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达x 轴时速度大小仍为v 0，设粒子在电场中运动的总时间为t 2，加速度大小为

a ，电场强度大小为E ，有ma qE =

得qE

mv t 0

22=

根据题意，要使粒子能够回到P 点，必须满足02T t ≥ 得电场强度最大值0

2qT mv E =

2.2014年理综大纲卷25．(20分)

如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xy 平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x 轴负向。在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v 0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d ，0)点沿垂直于x 轴的方向进人电场。不计重力。若该粒子离开电场时速度方向与y 轴负方向的夹角为θ，求： ⑴电场强度大小与磁感应强度大小的比值； ⑵该粒子在电场中运动的时间。 【答案】

θ202

1tan v ，θtan v d 02

【解析】(1)如图，粒子进入磁场后做匀速圆周运动．设磁感应强度的大小为B ，粒子质量与所带电荷量分别为m 和q ，圆周运动的半径为r .由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得

r

v m B qv 2

0=①

由题给条件和几何关系可知r ＝d ②

设电场强度大小为E ，粒子进入电场后沿x 轴负方向的加速度大小为a x ，在电场中运动的时间为t ，离开电场时沿x 轴负方向的速度大小为v x .由牛顿定律及运动学公式得

Eq ＝ma x ③ v x ＝a x t ④

d t v x

=2

⑤ 由于粒子在电场中做类平抛运动(如图)，有

v v tan x

=

θ⑥ 联立①②③④⑤⑥式得

θ202

1

tan v B E =⑦ (2)联立⑤⑥式得θ

tan v d

t 02=

⑧

4.2011年理综全国卷

25．（19分）如图，与水平面成45°角的平面MN将空间分成I

v0从平面MN上的P0点水平向右射入I区。粒子在I区运动时，

只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；

在II区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，

方向垂直于纸面向里。求粒子首次从II区离开时到出发点P0

的距离。粒子的重力可以忽略。

解析：带电粒子进入电场后，在电场力的作用下沿抛物线运动，其加速度方向竖直向下，

设其大小为a，由牛顿定律得qE＝ma①

设经过时间t0，粒子从平面MN上的点P1进入磁场，由运动学公式和几何关系得

v0t0＝at02②

粒子速度大小V1为V1＝③

设速度方向与竖直方向的夹角为α，则tanα＝④

此时粒子到出发点P0的距离为s0＝v0t0⑤

此后，粒子进入磁场，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为r1＝

⑥

设粒子首次离开磁场的点为P2，弧P1P2所张的圆心角为2β，则P1到点P2的距离为

s1＝2r1sinβ⑦

由几何关系得α＋β＝45°⑧

联立①②③④⑤⑥⑦⑧式得s1＝⑨

点P2与点P0相距l＝s0＋s1⑩

联立①②⑤⑨⑩解得l＝mv0,q)(＋)

5.2013年四川卷

11．如图所示，竖直平面（纸面）内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向。在x≤0的区域内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的匀强磁场。在第二象限紧贴y轴

固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h。在第

一象限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场（磁感应强度大小为B 2、方向垂直于纸面向外）和匀强电场（图中未画出）。一质量为m 、不带电的小球Q 从平板下侧A 点沿

x 轴正向抛出；另一质量也为m 、带电量为q 的小球P 从A 点紧贴平板沿x 轴正向运动，

变为匀速运动后从y 轴上的D 点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经1/4圆周离开电磁场区域，沿y 轴负方向运动，然后从x 轴上的K 点进入第四象限。小球P 、Q 相遇在第四象限的某一点，且竖直方向速度相同。设运动过程中小球P 电量不变，小球P 和Q 始终在纸面内运动且均看作质点，重力加速度为g 。求： （1）匀强电场的场强大小，并判断P 球所带电荷的正负；

（2）小球Q 的抛出速度v 0的取值范围； （3）B 1是B 2的多少倍？

【答案】（1）q mg E =，（2）h g

l B B q g m v 2)

(02

1220+≤<，（3）0.5倍 【解析】（1）由题意，小球P 到达D 前匀速：mg qvB =1，1

qB mg

v =

① 且P 带正电，过D 进入电磁场区域做匀速圆周运动，则qE mg =，q

mg

E =

② （2）经1/4圆周离开电磁场区域，沿y 轴负方向运动，设匀速圆周运动半径为R

则R

v m qvB 2

2=③

设小球P 、Q 在第四象限相遇时的坐标为x 、y ，

设小球Q 平抛后经时间t 与P 相遇，Q 的水平位移为s ，竖直位移为d 。则

t v s 0=④22

1gt d =⑤

位移关系：l s x -==R ⑥)(h d y --=≤0 ⑦

联解①③④⑤⑥⑦得：h

gh l B B q g

m v 22)

(021220+≤< ⑧

（3）小球Q 在空间作平抛运动，在满足题目条件下，运动到小球P 穿出电磁场时的高度（图中N 点）时，设用时t 1,竖直方向速度v y ，竖直位移

y Q ，则有

R y Q =＝2

121gt ⑨

1gt v v y == ⑩

此后a=g 同，P 、Q 相遇点竖直方向速度必同 联立解得：B 1=0.5B 2 6.2014年理综重庆卷

9．（18分）如题9图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为1.8h 。质量为m 、带电量为+q 的粒子从P 点垂直于NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g 。 （1）求该电场强度的大小和方向。

（2）要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值。

（3）若粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。

【答案】（1）E=mg /q ，方向向上； （2）m

Bqh

)

(269-； （3）可能的速度有三个：m Bqh .680，m Bqh .5450，m

Bqh

.520

【解析】（1）设电场强度大小为E 由题意有mg =qE

题9图

P

得E =mg /q 方向竖直向上

（2）如答题9图l 所示，设粒子不从NS 边飞出的入射速度最小值为v min ，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r 1和r 2，圆心的连线与NS 的夹角为φ， 由qB mv r =

，有qB mv r min =1，122

1

r r = 由221r sin )r r (=+?h cos r r =+?11 得m

Bqh

)

(v min 269-= （3）如答题9图2所示，设粒子入射速度为v ，粒子在上、下方区域的运动半径分别为

r 1和r 2，粒子第一次通过KL 时距离K 点为x ，由题意有

3nx =1.8h (n =1,2,3,……) 得532360121.n ,h

)n .(r <+

= 即n =1时m

Bqh

.v 680=

n =2时m Bqh

.v 5450=

n =3时m

Bqh

.v 520=

7.2015年理综天津卷12、（20分）现

代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度均为d 。电场强度为E ，方向水平向右；磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射

（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度v 2的大小与轨迹半径r 2；

（2）粒子从第n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn ，试求

答题9图2

……

q

sin θn ；

（3）若粒子恰好不能从第n 层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n 层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。 答案：（1）

q mEd

B 2；（2）mE

nqd B n 2sin =θ；（3）见解析； 解析：（1）粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功，由动能定理有2

22

12mv qEd =

，① 解得m

qEd

v 2

2=② 粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有222

2r mv B qv =③

联立②③式解得：q

mEd

B r 22=

④

（2）设粒子在第n 层磁场中运动的速度为vn ，轨迹半径为r n （各量的下标均代表粒子所在层数，下同），2

2

1n mv nqEd =

⑤ n

n

n r v m B qv 2

=⑥

粒子进入到第n 层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为n

，从第n 层磁场右侧边

界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn ，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有：

n n n n v v αθsin sin 11=--⑦

由图1根据几何关系可以得到：

d r r n n n n =-αθsin sin ⑧

联立⑥⑦⑧式可得：d sin r sin r n n n n =---11θθ⑨

由⑨式可看出11sin θr ，22sin θr ，…，n n r θsin 为一等差数列，

θn

n

图1

r n

r n d

θ1

图2

r 1

d θ1

公差为d ，可得：

()d n r r n n 1sin sin 11-+=θθ⑩

当n =1时，由图2可看出：

d r =11sin θ?

联立⑤⑥⑩?可解得：mE

nqd

B

sin n 2=θ? （3）若粒子恰好不能从第n 层磁场右侧边界穿出，则：

2

π

θ=

n ，1sin =n θ

在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为

m q '

'

，假设能穿出第n 层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为n θ'，由于m

q

m q =''，则导致：1>'n

sin θ 说明n θ'不存在，即原假设不成立，所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧

边界。

8.2015年理综重庆卷9．（18分）题9图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场。其中MN 和M'N'是间距为h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O 和O'，

O'N'=ON =d ，P 为靶点，O'P =kd （k 为大于1的整数）.

极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U .质量为m 、带电量为q 的正离子从O 点由静止开始加速，

经O'进入磁场区域。当离子打到极板上O'N'区域（含N'点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求：

（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P 点所需的磁感应强度大小； （2）能使离子打到P 点的磁感应强度的所有可能值；

题9图

（3）打到P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。 【答案】（1）（2），

（3）)k (qmU mkd )k (t 1223222--=π磁，qU m )k (h

t 122-=电

解析：（1）离子经电场加速，由动能定理：，可得 磁场中做匀速圆周运动，

刚好打在P 点，轨迹为半圆，由几何关系可知 联立解得

（2）若磁感应强度较大，设离子经过一次加速后若速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打在P 点，而做圆周运动到达N'右端，再匀速直线到下端磁场，将重新回到O 点重新加速，直到打在P 点。设共加速了n 次，有： 且 解得：，

要求离子第一次加速后不能打在板上，有，且， 解得：

故加速次数n 为正整数最大取 即

（3）加速次数最多的离子速度最大，取，离子在磁场中做n-1个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到P 点。 由匀速圆周运动

电场中一共加速n 次，可等效成连续的匀加速直线运动.由运动学公式

可得：qU

m

)k (h t 122-=电

9.2016年江苏卷15．（16分）回旋加速器的工作原理如图15-1所示，置于真空中的D 形金属盒半径为R ，两盒间狭缝的间距为d ，磁感应强度为

B 的匀强磁场与盒面垂直，被

–

O U

d

加速粒子的质量为m ，电荷量为+q ，加在狭缝间的交变电压如图15-2所示，电压值的大小为U 0.周期,qB m T π2=。一束该种粒子在t =0～时间内从A 处均匀地飘入狭缝，其初速

度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用。求： (1)出射粒子的动能E m ；

(2)粒子从飘入狭缝至动能达到E m 所需的总时间t 0；

(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d 应满足的条件。

【答案】(1)m R B q 2222 (2)qB

m

U BRd BR ππ-+0222(3)R qB mU d 20100π<

【解析】（1）粒子运动半径为R 时 且22

1

mv E m =

解得m

R B q E m 22

22=

（2）粒子被加速n 次达到动能E m ，则E m =nqU 0

粒子在狭缝间做匀加速运动，设n 次经过狭缝的总时间为Δt 加速度0

qU a md

=

匀加速直线运动21

Δ2

nd a t =

? 由0(1)Δ2T

t n t =-?+，解得qB

m U BRd BR t ππ-+=02022

(3)只有在0~T

2

?（-）

t 时间内飘入的粒子才能每次均被加速 则所占的比例为22

T

T η-?=t

由99%η>,解得R

qB mU d 20

100π<

10.2016年四川卷11.（19分）如图所示，图面

s

内有竖直线DD ＇，过DD ＇且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、Ⅱ两区域。区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的匀强磁场B （图中未画出）；区域II 有固定在水平面上高2h l =、倾角π/4α=的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD ＇距离4s l =，区域Ⅱ可加竖直方向的大小不同的匀强电场（图中未画出）；C 点在DD ＇上，距地面高

3H l =。零时刻，质量为m 、带电荷量为q 的小球P 在K 点具有大小0v =水平面夹角π/3θ=的速度，在区域Ⅰ内做半径3/πr l =的匀速圆周运动，经C 点水平进入区域Ⅱ。某时刻，不带电的绝缘小球A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P 相遇。小球视为质点，不计空气阻力及小球P 所带电量对空间电磁场的影响。

l 已知，g 为重力加速度。

（1）求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；

（2）若小球A 、P 在斜面底端相遇，求释放小球A 的时刻t A ；

（3）若小球A 、P 在时刻t =β为常数）相遇于斜面某处，求此情况下区域II 的匀强电场的场强E ，并讨论场强E 的极大值和极小值及相应的方向。

【答案】（1）B =

；（2）3-（（3）场强极小值为min 0E =；场强极大值为max 78mg

E q

=

，方向竖直向上。 【解析】（1）由题知，小球P 在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，有

2

0v m qv B r

=①

代入数据解得B =

② （2）小球P 在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C 点的时刻为t C ，到达斜面低端时刻为t 1，有0

C r

t v θ=

③

01cot ()C s h v t t α-=-④

小球A 释放后沿斜面运动加速度为a A ，与小球P 在时刻t 1相遇于斜面底端，有

sin A mg ma α=⑤

211

()sin 2

A A h a t t α=-⑥

联立以上方程可得(3A t =-⑦ （3）设所求电场方向向下，在t'A 时刻释放小球A ，小球P 在区域Ⅱ运动加速度为a P ，有

2

01()()cos 2C A A s v t t a t t α'=-+-⑧

P mg qE ma +=⑨

2

211()sin ()22

A A

P C H h a t t a t t α'-+-=-⑩ 联立相关方程解得2(11)(1)mg

E q ββ-=-

对小球P 的所有运动情形讨论可得35β≤≤

由此可得场强极小值为min 0E =；场强极大值为max 78mg

E q

=

，方向竖直向上。