初中数学几何证明计算总结归纳含例题
中考复习初中数学几何证明 试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学知识归纳几何证明的常见题型
初中数学知识归纳几何证明的常见题型数学是一门基础学科，几何证明作为数学的重要组成部分，对于学生的思维能力和逻辑思维起着重要的培养作用。
初中数学中，几何证明是一个重要的内容，它涉及到许多常见的题型。
本文将对初中数学中常见的几何证明题型进行归纳总结。
一、等腰三角形的性质证明等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形的证明中，常见的题型有：1. 等腰三角形的顶角相等；2. 等腰三角形的底角相等；3. 一条边上的高是另一条边上的高。
在证明等腰三角形的性质时，可以利用等角或等边的性质进行推导和证明。
例如，对于第一个题型，我们可以先证明两边相等，再利用两边同角或同边同角的性质推导出顶角相等。
二、全等三角形的证明全等三角形是指三角形的对应边和对应角相等。
在全等三角形的证明中，常见的题型有：1. 全等三角形的三边相等；2. 全等三角形的两角相等；3. 全等三角形的对应边和对应角相等。
对于全等三角形的证明，常用的方法有SAS、ASA、SSS等。
例如，对于第一个题型，我们可以利用SAS法则，先证明两边相等，再证明夹角相等。
三、垂直证明垂直是指两条直线或线段相交成90度的关系。
在垂直证明中，常见的题型有：1. 两条直线相互垂直；2. 直线和平面垂直；3. 线段和平面垂直。
对于垂直的证明，可以利用垂直两边、垂直性质和垂直线段的性质进行推导。
例如，对于第一个题型，我们可以利用垂直两边的性质，证明两条直线相互垂直。
四、平行证明平行是指两条直线在同一个平面上没有交点的关系。
在平行证明中，常见的题型有：1. 两条直线相互平行；2. 直线和平面平行；3. 平行线段和平面平行。
对于平行的证明，可以利用平行线内或外错和平行线夹角的性质进行推导。
例如，对于第一个题型，我们可以利用平行线内错角的性质，证明两条直线相互平行。
五、比例证明比例是指两个数或者两个量之间的大小关系。
在比例证明中，常见的题型有：1. 三角形的边比例；2. 三角形的面积比例；3. 线段的比例。
初中数学几何证明试题(含答案)
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4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠
DEN 和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经 典 题（二）
1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
BE AD
= ，即 AD•BC=BE•AC，
①
BC AC
又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
AB = DE ，即 AB•CD=DE•AC，
②
AC DC
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
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4.过 D 作 AQ⊥AE
(2)连接 OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。
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3.作 OF⊥CD，OG⊥BE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于 AD = AC = CD = 2FD = FD ， AB AE BE 2BG BG
（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。
由于∠APD>∠ATP=∠ADP，
推出 AD>AP
①
又 BP+DP>BP
②
和 PF+FC>PC
③
又 DF=AF
④
由①②③④可得：最大 L< 2 ；
初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 A N FE CDMB · A HEOF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．C BD A F PD E CB A APCBACPDA CBPD4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学-几何证明经典试题（含答案）
初中数学-⼏何证明经典试题（含答案）初中⼏何证明题已知：如图，O 是半圆的圆⼼，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF 已知：如图，P 是正⽅形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三⾓形．3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正⽅形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正⽅形．4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（⼆）A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF 1、已知：△ABC 中，H 为垂⼼（各边⾼线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初⼆）2、设MN 是圆O 外⼀直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，⾃A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初⼆）3、如果上题把直线MN 由圆外平移⾄圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初⼆）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为⼀边，在△ABC 的外侧作正⽅形ACDE 和正⽅形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的⼀半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初⼆）2、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初⼆）3、设P 是正⽅形ABCD ⼀边求证：PA ＝PF ．（初⼆）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）E1、已知：△ABC 是正三⾓形，P 是三⾓形内⼀点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初⼆）2、设P 是平⾏四边形ABCD 内部的⼀点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初⼆）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平⾏四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的⼀点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初⼆）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任⼀点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，D求证：≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正⽅形ABCD内的⼀点，求PA＋PB＋PC的最⼩值．3、P为正⽅形ABCD内的⼀点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正⽅形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（⼀）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学-几何证明经典试题(含答案)
初中数学-几何证明经典试题(含答案)初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）A P CDB A F G CE B O D D 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1CD A A 14、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．·AD H EM C BOF3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）A FDEC B2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）DFE P C B A经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB·CD ＋AD·BC ＝AC·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）PADC B C BDA经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝30，求∠BED 的度数．APC B A CB PD参考答案经典题（一）1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
初中的数学几何证明经典的题目(含问题详解)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA ＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学全部几何模型汇总+附例题精编
专题一 平行线的五大类拐点模型模型一 铅笔头模型1例题1 （1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB // 【总结】①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B ③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //例题2 如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321【解析】如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】例题3 （1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？【解析】如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？【解析】如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？【解析】同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题4 如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠【解析】①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲） 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想例题5 如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43【解析】锯齿BAECD +锯齿BA F CD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想例题6 如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ）A.149 B .5.149 C .150 D .5.150【解析】锯齿CD F BA +铅笔头CDEBA ；得证B 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）微信公众号：数学三剑客 ③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题7 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A .30)()(3241=+-+θθθθB .40)()(3142=+-+θθθθ C .70)()(4321=+-+θθθθD .180)()(4321=+++θθθθ【解析】锯齿ADPCB +锯齿DAPBC ；得证A 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题8 如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠ 臭脚模型基础（汇总）【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线例题9 如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是【解析】①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头A F GH Q+臭脚Q HMNC 得证40=∠GHM ②方法二：锯齿B F GHMND 得证40=∠GHM 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型七 蛇型基础例题10 如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明【解析】过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型八 蜗牛模型基础例题11 如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明【解析】过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B【总结】辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线专题二 飞镖模型和8字模型模型一 角的飞镖模型1结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠【解析】①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证 【总结】利用三角形外角的性质证明模型二 角的8字模型1结论：D C B A ∠+∠=∠+∠【解析】①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角【BOD ∠】的性质得证 【总结】①利用三角形内角和等于180 ②利用三角形外角的性质证明模型三 角的飞镖模型和8字模型2例题1 如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A【解析】①方法一：飞镖ACD 得证180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ②方法二：8字BECD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A例题2 如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A【解析】飞镖AB F+飞镖DEC 得证210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A例题3 如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A【解析】8字模型得证360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A例题4 如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A【解析】连接BD 得飞镖BAD +飞镖DBC 得证 220=∠+∠+∠+∠D C B A例题5 如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A【解析】飞镖EHB +飞镖F AC 得证360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A模型四 边的飞镖模型1结论：CD BD AC AB +>+【解析】延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式【大的放左边，小的放在右边】模型五 边的8字模型1结论：BC AD CD AB +<+【解析】三角形三边关系+同号不等式【大的放在右边，小的放在左边】 【总结】①三角形两边之和大于第三边模型六 边的飞镖模型和8字模型2例题6 如图，点P 为ABC ∆内一点，试说明AB PC PB PA AC BC AB <++<++)(21AC BC ++【解析】三角形三边关系+边的飞镖模型可证例题7 如图，BD AC ,是四边形ABCD 的对角线，且BD AC ,相交于点O ，求证：AD CD BC AB BD AC AD CD BC AB +++<+<+++)(21【解析】边的8字模型+三角形三边关系可证专题三 三垂直全等模型模型一 K 型三垂直1例题1 如图，DE AE DE AE BC CD BC AB =⊥⊥⊥,,,，求证：BC CD AB =+【解析】易证模型二 K 型三垂直2例题2 如图，等腰90,=∠∆AOB OAB Rt ，斜边AB 交y 轴正半轴于点C ，若)1,3(A ，则点C 的坐标为【解析】K 型三垂直模型+一次函数可得点C 坐标为)25,0(例题3 如图，在EF B ABC Rt ,90,=∠∆是AC 的垂直平分线，且CE EF =，D 是AB 的中点，21tan =A ，若15+=+DE EF ，求DEF ∆的面积【解析】21例题4 如图，在矩形ABCD 中，E AD AB ,12,6==为边AB 上一点，Q P AE ,,2=分别为边BC AD ,上的两点，且45=∠PEQ ，若EPQ ∆为等腰三角形，则AP 的长为【解析】10（该图为PQ EQ =）或6（PQ PE =图略）或224+（EQ EP =）模型三 L 型三垂直1例题5 如图，CE BE CE AD BC AC ACB ⊥⊥==∠,,,90，垂足分别是点1,3,,==BE AD E D ，则DE 的长是（ ）A .23B .2C .22D .10【解析】B模型四 L 型三垂直2例题6 如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点D ，过C A ,分别作直线l 的垂线，垂足分别为F E ,，若a CF a AE ==,4，则正方形ABCD 的面积为【解析】217a例题7 如图，以ABC Rt ∆的斜边AC 为边，在ABC ∆同侧作正方形AEDC ，O 为对角线交点，连接BO ，若22,4==BO AB ，则正方形的面积是【解析】80例题8 如图，在ABC ∆中，BD CD BD CD AB BC AC ACB 3,,52,,90=⊥===∠，则ABD ∆的面积是【解析】①方法一：L 型三垂直+整体减空白 ②方法二：L 型三垂直+面积公式③方法三：铅垂高求面积法【½×（水平高×铅锤高）】 ④方法四：和角模型模型五 十字型三垂直1【解析】垂直⇔相等模型六 十字型三垂直2例题9 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点F E ,分别在边BC AB ,上，且1==BF AE ，则=OC【解析】512例题10 如图，在等腰ABC Rt ∆中，90=∠ACB ，点D 为BC 边上的中点，AD CE ⊥，分别交AD AB ,于点F E ,，连接DE ，求证：BDE ADC ∠=∠【解析】易证专题四 角平分线四大模型角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个叫分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上模型一 双垂直模型1角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等例题1 已知：43,21∠=∠∠=∠，求证：AP 平分BAC ∠【解析】易证例题2 已知：如图，在四边形中，CD AD AB BC =>,，BD 平分ABC ∠，求证：BAD ∠180=∠+C【解析】①方法一：双垂模型 ②方法二：双等模型例题3 如图，正方形ABCD 的边长为4，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若点Q P ,分别是AD 和AE 上的动点，则PQ DQ +的最小值是【解析】①方法一：双垂模型②方法二：双等模型【将军饮马+垂线段最短】 答案：22有垂直于角平分线的线，果断延长，就会得到一个等腰三角形例题4 如图，在ABC ∆中，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足为D ，求证：C ∠+∠=∠12【解析】易证例题5 如图，在ABC ∆中，AC AB BAC ==∠,90，BE 平分ABC ∠，BE CE ⊥，求证：BD CE 21=【解析】易证例题6 如图，AD CD AC AB CAD BAD ⊥>∠=∠,,于点D ，H 是BC 的中点，求证：)(21AC AB DH -=【解析】易证例题7 如图所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点，连接AC ，在射线ON 上截取OA OB =，连接BC ，易证：BOC AOC ∆≅∆例题8 如图所示，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是内角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，求证：AB AC PB PC -<-【解析】易证例题9 在ABC ∆中，108,=∠=A AC AB ，BD 平分ABC ∠，求证：=BC CD AB +【解析】①方法一：双等模型 ②方法二：截长补短例题10 如图，梯形ABCD 中，BC AD //，点E 在CD 上，且AE 平分BAD ∠，BE 平分ABC ∠，求证：BC AB AD -=【解析】①方法一：双等模型+截长 ②方法二：双平模型+补短角平分线、平行线、等腰三角形，三个条件，知二推一例题11 如图，在ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点F ，过F 作BC DE //，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若9=+CE BD ，则线段DE 之长为【解析】9例题12 如图，在ABC ∆中，CD BD ,分别平分ABC ∠和ACB ∠，AC FD AB ED //,//，如果cm BC 6=，则DEF ∆的周长【解析】cm 6例题13 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，点F E ,分别在AD BD ,上，AB EF //，且CD DE =，求证：AC EF =【解析】双平模型+类倍长中线法（延长FD 于点G 使得DG FD =，连接CG ；延长AD 于点G 使得DG AD =，连接EG ）∠的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，例题14 如图，在矩形ABCD中，BAD∠的度数点G是EF的中点，求BDG【解析】①方法一：双平模型+手拉手模型【G点+反推法】②方法二：双平模型+隐形圆模型【共斜边】专题五 截长补短模型截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略。
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，那么△ 的面积为
.
2、（旋转）已知正方形 中，点 在边 上，
，
，把线段 绕点 旋转，
使点 落在直线 上的点 处，则 、 两点的距离为
.
3、（翻折）在 △ 中，
，
， 为 边上的点，联结 .如果将△
线 翻折后，点 恰好落在边 的中点处，那么 到 的距离是
.
沿直
2/4
几何证明、计算
A
A
D
C
B
E M
A
B
（2）经过 、 、 三点的抛物线上是否存在 点 与原点 不重合 ，使得 点到两坐标轴的
距离相等.如果存在，求出 点坐标；如果不存 在，请说明理由.
，且点 在 轴正半轴上.已知
y
C
B
O
A
x
3、已知平面直角坐标系 ，一次函数
的图像与 轴交于点 ，点 在正比例函数
的图像上，且 ＝ ．二次函数 ＝ ＋ ＋ 的图像经过点 、 ．
（2）在 轴上是否存在点 ，使得点 、 、 、 构成梯形；
（3）在平面上是否存在点 ，使得点 、 、 、 构成平行四边形；
（4）是否存在 轴上的点 和抛物线上的点 ，使得 、 、 、 四点构成平行四边形．
动点问题
如图，等腰 △ （
）的直角边与正方形 的
GB
F
边长均为 ，且 与 在同一直线上，开始时点 与点 重合，
几何证明、计算
几何证明、计算
1 线段、角相等：①所在三角形全等②等量代换
2 线段、角的数量关系：①等量代换②方程思想③利用中位线
线段平行：①同位角相等、内错角相等、同旁内角互补②同时平行于第三条线段③平行 3 四边形④对应边成比例
4 线段垂直：①等腰三角形三线合一②利用已知的垂直进行等角转化③勾股逆定理
C A
5、（辅助线、转化）已知：如图，在
中， 是边 的
A
中点， 是边 延长线上一点， DC 1 BC ，
，交
2
M
N
边 于点 ．
（1）求证：
；
（2）当 为何值时，四边形
是等腰梯形？并证明你 B
C
D
的猜想．
6、（辅助线）已知：如图，点 为 对角线 上的一点，点 在 的延长线上，且
，EF
与 相交于点 ．求证：
，
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）如果
，求证：
．
B
H
C
F
1/4
几何证明、计算
4、（辅助线、转化）已知：如图，在 RtABC中，
BAC 90°， DE 是直角边 AB的垂直平分线，
DBA ABC,连接 AD ．
求证：（1） 四边形 ADBC是梯形；
B
（2） AD 1 BC ． 2
D
E A
A A
③ 平行四边形+对角线⊥
等腰梯形
梯形∥+∥
① 梯形+腰＝
② 梯形+对角线＝（▲）
重要思想：ⅰ分类讨论ⅱ方程思想ⅲ化归思想ⅳ数形结合
图形运动：平移、旋转、翻折，注意运动前后相等的线段和角。
动点问题：抓住相等的量，进行等量代换。定义域利用极端情况得到极值，写出不等式。有
时需考虑多种情况。
几何证明
A
D
1、（全等）已知：如图，在直角梯形 中，
，
，
，
，垂足为点 ，点 在 上，联结 、 ．
F
（1）求证：
；
（2）如果
，求证：四边形 是菱形．
B
E C
2、（中位线）已知：如图，在□
中，点 、 分别
D
F
C
是 、 的中点， 、 与对角线 分别相交于点
H
、．
求证：
；
如果
，求证：四边形 是菱形．
A
G
E
B
A
E
3、（转化）如图，等腰三角形 中，
， 垂直 ，
点 是 上一点，延长 至点 ，使
（1）求线段 的长； （2）求这个二次函数的解析式； （3）如果点 在 轴上，且位于点 下方，点 在上述二次函数的图像上，点 在一次函数
的图像上，且四边形 是菱形，求点 的坐标．
4、给定直线
和抛物线
，直线与 轴交于点 ，抛物线与 轴交于
点 、 ，与 轴交于点
（1）在 轴上是否存在点 ，使得△ 是等腰三角形；
B
C
C
4、（代数法）已知抛物线 （1）求抛物线的解析式；
过点 ， ， ， ， ， 三点
（2）点 为抛物线顶点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求 的坐标.
5、（几何法）已知抛物线
与 轴相交于 、 两点，顶点为点 ，与 轴相交
于点 ，并且
，过点 作
轴，交抛物线于
（1）求抛物线的解析式；
（2）若以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求 的坐标.
（用三种方法证明）
A
D
F
E
G
B
C
7、（辅助线、综合）如图，在菱形 中，
，
（1）求证：△ ≌△ ；
（2）若∠
∠ ，求证：
；
（3）（右图）若对角线 与 、 交于点 、 ，且
C
E
F
，垂足为 、
求证：∠
∠
C
E
F
B
DB
MN
D
A
A
几何计算
ⅰ分类讨论
1、（平移）如图，在 △ 中，
，
，
如果将△ 在直线 上平
移 2 个单位后得到△
ⅱ方程思想
如图，△ 中， （1） 求 的长；
， cos ABC 4 ，点 在边 上，
，
5
A
（2）求 ADC的正切值.
ⅲ化归思想
如图，直角△ 中，
，
分的面积相等，那么 的长是
B
D
C
，弧 的圆心为 ，如果图中两个阴影部
.（结果保留 ）
A
D
B
E
C F
ⅳ数形结合
1、如图，已知抛物线
与 轴负半轴交于点 ，与 y 轴正半轴交于点 B ，且
OA OB.
y
（1） 求 b c 的值；
（2） 若点 C 在抛物线上，且四边形 OABC是
B
C平行四边形，试求抛物线的解析式； NhomakorabeaA
（3） 在（2）的条件下，作∠ 的角平分线，
O
x
与抛物线交于点 ，求点 的坐标.
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几何证明、计算
2、如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形 ， ，，
（1）求过 、 、 三点的抛物线解析式，并写出 顶点坐标和对称轴；
矩形
平行四边形 ① ∥+∥ ② ∥+＝ ③ ＝+＝ 5 ④ 对角线互相平分 ⑤ 两组对角分别＝
① 三个角 90o ② 平行四边形+一个角 90o ③ 平行四边形+对角线＝ 菱形 ① 四条边相等 ② 平行四边形+一组邻边＝
正方形 ① 矩形+一组邻边＝ ② 矩形+对角线⊥ ③ 菱形+一个角 90o ④ 菱形+对角线＝
让△ 沿这条直线向右平移，直到点 与点 重合为止．设
，△ 与正方形重合部分的面积为 ，则写出 与 直接
的函数关系式（定义域）．
A
DC
E
4/4