高中数学人选修1-1 第二章2.1.1 椭圆及其标准方程课件
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高中数学北师大版选修1-1课件：第二章 1.1 椭圆及其标准方程
②
由①－②得到|PF1||PF2|＝4.
故△F1PF2 的面积为 S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin60°＝ 3.
[答案] B
题目类型三、椭圆定义的应用
例 3 已知 B、C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长 等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程．
[分析] 由△ABC 的周长等于 18，|BC|＝8，可知点 A 到 B、 C 两个定点的距离之和是 10，所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦 点的椭圆，但点 A 与点 B、C 不能在同一直线上．适当建立平 面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
牛刀小试
1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是 ____________． (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．
[解析] (1)因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|， 由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆． (2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2. [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 线段F1F2
∵椭圆过 A(0,2)，B12，
3.
∴m401m＋＋4n＝3n＝11
，解得nm＝＝41 ，
即所求椭圆方程为 x2＋y42＝1. [答案] (1)x2＋y42＝1 (2)1x02 ＋＝1
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0，± 5)，则可设所求椭 圆方程为xm2＋m＋y2 5＝1(m>0)，
[解析] 本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的 形式，由 mn>0，若 m＝n，则方程 mx2＋ny2＝1 表示圆，故 mn>0⇒/ 方程 mx2＋ny2＝1 表示椭圆，若 mx2＋ny2＝1 表示椭圆 ⇒mn>0，故 mn>0 是方程表示椭圆的必要不充分条件．
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-1《椭圆及其标准方程》
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为： y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)． ∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. y2 x2 ∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
[点评]
x2 y2 y2 x2 在椭圆的标准方程a2＋b2＝1 和a2＋b2＝1 中，
＝1上的点，
F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解析]
y2 x2 在椭圆 5 ＋ 4 ＝1 中，a＝ 5，b＝2，∴c＝
a2－b2＝1， 又∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由 余 弦 定 理 知 |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|· |PF2|· cos30° ＝ |F1F2|2＝(2c)2＝4② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝16， ∴|PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1|· |PF2|· sin30° ＝8－4 3.
式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个
根式．
1．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点
的问题时，要结合图形看能否运用定义． 2．用待定系数法来求椭圆的标准方程时，要“先定型， 再定量”，不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．
1 ．平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 ( 大
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，
即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即： 当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点 不存在．
2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程
2
2
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由余弦定理知： |PF1|2＋ |PF2|2－2|PF1|· |PF2|· cos 30° ＝ |F1F2|2＝ (2c)2＝ 4，② ①式两边平方，得 |PF1|2＋ |PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝ 16， ∴ |PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴ S△ PF1F2＝ |PF1 |· |PF2|· sin 30° ＝ 8－4 3. 2
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
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y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b
2 2 － 2 3 ＋ 2 ＝ 1， a2 b 依题意有 2 － 2 3 1 a2＋ b2 ＝ 1，
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7 解得 2<k<5 且 k≠ . 2 7 7 即当 2<k< 或 <k<5 时， 2 2 x2 y2 方程 ＋ ＝1 表示椭圆． k－2 5－k
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x y 1.如图所示，点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点， 5 4 且∠F1PF2＝30° ，求△F1PF2 的面积．
x2 y2 解析：在椭圆 ＋ ＝1 中，a＝ 5，b＝2， 5 4 ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，①
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2.1.1 第一课时 椭圆的定义及标准方程的求法 课件(人教A选修1-1)
[自主解答] ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋ |AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2的周长为4a.
凡涉及椭圆上的点与椭圆焦点距离的问题，均可 考虑定义，本例说明过椭圆的焦点的弦的两端点与另 外一焦点所构成的三角形的周长为定值4a.
[例 3] 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)． 由已知条件得aa4122＋ ＋b4212b4＝2＝1， 1，解得ab1122＝ ＝1814， . 所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上 任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭 圆经过点(－32，52)；
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
3．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时， 把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形 式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；② 不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由已知条件得bb4122＋＋a4212a4＝2＝1，1，解得ab1122＝＝1418.， 即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
凡涉及椭圆上的点与椭圆焦点距离的问题，均可 考虑定义，本例说明过椭圆的焦点的弦的两端点与另 外一焦点所构成的三角形的周长为定值4a.
[例 3] 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)． 由已知条件得aa4122＋ ＋b4212b4＝2＝1， 1，解得ab1122＝ ＝1814， . 所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上 任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭 圆经过点(－32，52)；
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
3．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时， 把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形 式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；② 不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由已知条件得bb4122＋＋a4212a4＝2＝1，1，解得ab1122＝＝1418.， 即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
【数学】2.1.1 椭圆及其标准方程 课件1(人教A版选修1-1)
即 : ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2
两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
2 0
2
2 0
2
把x = x,y = 2y代入方程①,得 点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M
0 0
x + 4y = 4, 与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方
2 2
即
程得到点M的坐标所满足的方程.
2 2
x 1、建系 2、设标 3、列 + y = 1. 4 式 4、化简 5、检验 所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆. （可省略不写）
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，
右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数 a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则 焦点在哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2.
3、椭圆的标准方程小结
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程
生活中 的椭圆
一、引入
结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常 数的点的轨迹为椭圆。 常数必须大于两定点的距离
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-1-1椭圆及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
∵a＝4，c＝ 15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋x2＝1. 16 x2 y2 综上所述，所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1 或 ＋ 16 16 x2＝1.
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[例3]
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
x2 y2 (1)将方程整理得， 2 ＋ 2 ＝1； k
人 教 B 版 数 学
2 >2 依题意 k ，解得 0<k<1. k>0 x2 y2 (2)将方程化为：2m＋ ＝1， 1－m 2m>0 依题意1－m>0 2m>1－m 1 ，解得3<m<1.
人 教 B 版 数 学
1 A(0,2)，B2，
3.
0 4 m＋n＝1 ∴ 1 ＋3＝1 4m n
m＝1 ，解得 n＝4
，
y2 即所求椭圆方程为 x2＋ ＝1. 4
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0，± 5)，则可设所 x2 y2 求椭圆方程为m＋ ＝1(m>0)， m＋5 4 9 又椭圆经过点(2，－3)，则有 ＋ ＝1， m m＋5 解得 m＝10 或 m＝－2(舍去)， x2 y2 即所求椭圆的方程为10＋15＝1. [说明] 1.求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一
即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2c＝6,2a＝ 10. ∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16. 由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A，B，C三点不
人 教 B 版 数 学
2.1.1 第二课时 椭圆的定义及标准方程的应用 课件(人教A选修1-1)
第
二 章
2.1.
1
第二 课时
2.
圆1 锥
椭 圆 及
椭圆 的定 义及
曲椭
其
标准
线圆
标
方程
与 方
准
的
方
应用
程
程
名师课堂 ·一点通
考点一 考点二 考点三
解题高手
创新演练 ·大冲关
课堂强化 课下检测
[例1] 如图，圆C：(x＋1)2＋ y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点， AQ的垂直平分线交CQ于M，求点 M的轨迹方程．
2．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行 于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ＝ OM＋ON，求动点Q的轨迹方程． 解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0) (y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)． 因为OQ＝OM＋ON， 即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，
在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系 式：
(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的关系式； (2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF1|，|PF2|的关系 式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|＋ |PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理．
3．设 F1、F2 为椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，
已知△PF1F2 为直角三角形，且|PF1|>|PF2|，求||PPFF12||的值． 解：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5. 根据直角位置不同，分两种情况： ①若∠PF2F1＝90°，则||PPFF11||2＋＝|P|PFF22|＝|2＋6，20 ∴有||PPFF21||＝＝4313，4，∴||PPFF21||＝72.
二 章
2.1.
1
第二 课时
2.
圆1 锥
椭 圆 及
椭圆 的定 义及
曲椭
其
标准
线圆
标
方程
与 方
准
的
方
应用
程
程
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考点一 考点二 考点三
解题高手
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课堂强化 课下检测
[例1] 如图，圆C：(x＋1)2＋ y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点， AQ的垂直平分线交CQ于M，求点 M的轨迹方程．
2．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行 于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ＝ OM＋ON，求动点Q的轨迹方程． 解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0) (y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)． 因为OQ＝OM＋ON， 即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，
在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系 式：
(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的关系式； (2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF1|，|PF2|的关系 式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|＋ |PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理．
3．设 F1、F2 为椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，
已知△PF1F2 为直角三角形，且|PF1|>|PF2|，求||PPFF12||的值． 解：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5. 根据直角位置不同，分两种情况： ①若∠PF2F1＝90°，则||PPFF11||2＋＝|P|PFF22|＝|2＋6，20 ∴有||PPFF21||＝＝4313，4，∴||PPFF21||＝72.
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(3)
x2 m2
m
y
2
2
1
1
答：在y轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）
（4，0），椭圆上一点M 到两焦点距离之和
等于10，求椭圆的标准方程。
y
F1 o
M
F2 x
例2.已知椭圆的两个焦点为（0，-4）， （0,4），并且椭圆经过点
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
|MF1|+|MF2|=2a(2a> |F1F2|) 问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹
是什么？ 线段F1F2 问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹
是什么？ 轨迹不存在
练习
1.已知B,C是两个定点，它们之间 距离为6，以线段BC为一边画周长 为20的三角形，问三角形的第三 个顶点的轨迹是什么图形？
1
a
b
0
F(0，±c)在Ｙ轴上
c2=a2-b2
注: 结论：哪个项的分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上。反过来,焦点在哪个轴 上,相应那个项的分母就大。
练习
判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。
(1) x2 y 2 1 答：在x轴。（-3，0）和（3，0） 25 16
(2) x2 y 2 1 答：在y轴。（0，-5）和（0，5） 144 169
求椭圆的标准方程
y
F2 M
o
x
F1
求椭圆的标准方程的步骤
1、确定焦点的位置 2、设出椭圆的标准方程 3、求出方程中的a与b或待定系数法
解方程 4、把a与b代入标准方程
练习
教材37页A组1题
小结
一个定义
椭圆定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于
常数2a (大于│ F1F2│,)的点的轨迹，叫做椭圆.
2.已知A（-2,0），B（2,0），问 到A,B两点的距离之和为4的点的 轨迹是什么图形？
自主学习（二）
阅读教材35页，学习椭圆标准方程的 推导
1.如何建系 2.2a,2c的意义 3.根据什么条件列式 4.如何化简的 5.b的引入,它与a,c的关系
结论
x2 y2 1 a2 b2
其中，a b 0 .
两个方程
椭圆标准方程： (1). 椭圆焦点在x轴上
(2). 椭圆焦点在y轴上
两种方法
待定系数法、公式法
x2 y2 1(a b 0). a2 b2 y2 x2 a2 b2 1(a b 0).
挑战自我
已知椭圆的两个焦点分别为F1(-4,0)和 F2（4,0），再添加什么条件，可得椭 圆方程为
2.1.1椭圆及其标准方程（一）
学习目标：
1、掌握椭圆的定义； 2、了解椭圆标准方程的推导并掌握椭圆的标 准方程。
3、能求简单的椭圆的标准方程。
自主学习（一）
1.阅读教材33页，同时分组合作画图。 2.观察椭圆上的点有什么几何性质，绳 长满足什么条件？
椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于定长的 点的轨迹叫做椭圆（其中定长大于|F1F2|） ，
它的焦点坐标在x轴上,分别是F1(c,0), F2 (c,0)
c2 a2 b2
两类标准方程的对照表：
定义
图形
方程 焦点
a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a(2a> |F1F2|)
y
M
y
F2 M
F1 o
F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)在Ｘ轴上
o
x
F1
y2 a2
x2 b2
欲为诸佛龙象，先做众生马牛。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 让死人去埋葬死人吧，我们既然有生命，我们就应当活下去，而且要活得幸福。 成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 生活中若没有朋友，就像生活中没有阳光一样。 不义而富且贵，于我如浮云。——《论语·述而》 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼 人惟患无志，有志无有不成者。 那些背叛同伴的人，常常不知不觉地把自己也一起灭亡了。——伊索 在生命里寻觅快乐的方法，就是了解你被赋予生命是为了享受生命。 取得成就时坚持不懈，要比遭到失败时顽强不屈更重要。——拉罗什夫科 山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌。