立体几何题型的解题技巧适合总结提高用

第六讲 立体几何新题型的解题技巧

考点1 点到平面的距离

例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4.

(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；

(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.

Q

B

C

P

A

D

O

M

A

B

C D

1

A

1

C

1

B

考点2 异面直线的距离

例3 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱

SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求

CD 与SE 间的距离.

考点3 直线到平面的距离

例4． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离.

考点4 异面直线所成的角 例5（2007年北京卷文）

如图，在Rt AOB △中，π6

OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB

△以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．

B

A

C

D

O

G

H 1

A 1

C 1D

1

B 1O

O

C

A

D

B

E

A

B

C

Q

α

β P 例6．（2006年广东卷）如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE //AD . (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.

考点5 直线和平面所成的角

例7.（2007年全国卷Ⅰ理）

四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，

2AB =，22BC =，3SA SB ==．

（Ⅰ）证明SA BC ⊥；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．

考点6 二面角

例8．（2007年湖南卷文）

如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．

（I ）证明BC PQ ⊥； （II ）求二面角B AC P --的大小．

D

B

C

A

S

例9．( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD ，AD =CD =2AB , E 、F 分别为PC 、CD 的中点.

（Ⅰ）试证：CD ⊥平面BEF ；

（Ⅱ）设P A ＝k ·AB ,且二面角E -BD -C 的平面角大于︒30,求k 的取值范围.

考点7 利用空间向量求空间距离和角 例10．（2007年江苏卷）

如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面；

（2）若点G 在BC 上，2

3

BG =，点M 在1BB 上，

GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；

（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ．

C

B

A

G H

M

D

E

F

1

B

1

A

1

D

1

C

例11．（2006年全国Ⅰ卷）

如图,l 1、l 2是互相垂直的两条异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM =MB =MN （I ）证明AC ⊥NB ；

（II ）若︒=∠60ACB ，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.

考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.

例12 . 如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.

例13 .如图左，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ）

A 、90°

B 、60°

C 、45°

D 、0°

N

B

A C

D

E

F

G

H

I

J

(A 、B 、C )

D

E

F

G

H

I

J