2.2《 直接证明与间接证明(2)》课件-优质公开课-人教A版选修1-2精品
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人教A版高中数学选修1-2课件2.2《直接证明》(新必修1—2)
a2 1 0, b2 1 0
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证明 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
直接证明
3.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
综合法 条理清晰，易Hale Waihona Puke 表述。为了证明 CO DO
通常以分析法寻求
只需 ACO BDO
思路，再用综合法有条理地
为了证明 EO FO
表述解题过程
只需证明 AO BO（因为已知AE BF）
也只需 ACO BDO（已知）
因为 EOC与FOD是对顶角，所以它们相等，从而
EOC FOD 成立，因此命题成立.
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止综合法
证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条
件吻合为止
分析法
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AE BF（已知）
所以
EO FO
又因为 EOC FOD（对顶角相等）
所以 EOC FOD
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证明 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
直接证明
3.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
综合法 条理清晰，易Hale Waihona Puke 表述。为了证明 CO DO
通常以分析法寻求
只需 ACO BDO
思路，再用综合法有条理地
为了证明 EO FO
表述解题过程
只需证明 AO BO（因为已知AE BF）
也只需 ACO BDO（已知）
因为 EOC与FOD是对顶角，所以它们相等，从而
EOC FOD 成立，因此命题成立.
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止综合法
证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条
件吻合为止
分析法
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
直接证明（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AE BF（已知）
所以
EO FO
又因为 EOC FOD（对顶角相等）
所以 EOC FOD
详细版2[1][1].2_直接证明与间接证明(人教A选修1-2).ppt
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只需证明21<25，因为21<25成立，
所以不等式 3 7 2 5 成立。
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12
例5:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
所以
S2 ΔABC
1 4
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
2
b sin 2C
1 4
2
a
2
b (1 cos2C)
2
1 4
a
2
b
2
[1
a• b
a b
]
1
[
a
2
b
2
(a•
b)2 ]
4
于是SΔABC
1 2
2 2
a b (a• b)2
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7
例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分 别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------① 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③ 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, -----------------------------------------------④ 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤ 则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。
所以不等式 3 7 2 5 成立。
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12
例5:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
所以
S2 ΔABC
1 4
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
2
b sin 2C
1 4
2
a
2
b (1 cos2C)
2
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a
2
b
2
[1
a• b
a b
]
1
[
a
2
b
2
(a•
b)2 ]
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于是SΔABC
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2 2
a b (a• b)2
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例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分 别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------① 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------② 所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③ 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, -----------------------------------------------④ 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤ 则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。
2.2 《直接证明与间接证明(1)》课件-优质公开课-人教A版选修1-2精品
2 2 2
4
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3、 已 知a , b, c R , a b c 1 1 1 1 求 证（ ： 1)( 1)( 1) 8 a b c
4、 已 知 抛 物 线 y 2 2 px ( p 0) , 过 焦 点 的 弦 求 x1 x2 y1 y2 的 值 。
与抛物线交于 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 两 点 。
【作业】 P54
A组 1、2
B组 1
a ， b ， c 成等比数列
【例2】 设 a >
ex a 0，f ( x ) a e x
是 R上的偶函数.
(1)求 a 的值；
(2) 证明 f(x) 在(0，＋∞)上是增函数
【巩固练习】
1、 求 证 ： cos sin cos 2 2、 已 知 tan sin a , tan sin b 求 证： （a b件
数学推理
结论
【例1】在ΔABC中，三个内角A ， B ， C对应的边
分别是a ， b ， c ，且 A ， B ， C 成等差数列 a ， b ， c 成等比数列. 求证： ΔABC是等边三角形.
【分析】 条件是什么？ A ， B ， C 成等差数列 2B = A + C b2 = a c
【思考下列问题】 如图所示：已知 PA 于A , PB B ,
a , a AB , 求证： a PB
P
A
B
a
由已知开始，结合定理推理，得出结论
综合法
利用已知条件和某些数学定义、定理、
公理等，经过一系列的推理论证，最后推导
出所要证明的结论或所要解决的问题的结果.
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3、 已 知a , b, c R , a b c 1 1 1 1 求 证（ ： 1)( 1)( 1) 8 a b c
4、 已 知 抛 物 线 y 2 2 px ( p 0) , 过 焦 点 的 弦 求 x1 x2 y1 y2 的 值 。
与抛物线交于 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 两 点 。
【作业】 P54
A组 1、2
B组 1
a ， b ， c 成等比数列
【例2】 设 a >
ex a 0，f ( x ) a e x
是 R上的偶函数.
(1)求 a 的值；
(2) 证明 f(x) 在(0，＋∞)上是增函数
【巩固练习】
1、 求 证 ： cos sin cos 2 2、 已 知 tan sin a , tan sin b 求 证： （a b件
数学推理
结论
【例1】在ΔABC中，三个内角A ， B ， C对应的边
分别是a ， b ， c ，且 A ， B ， C 成等差数列 a ， b ， c 成等比数列. 求证： ΔABC是等边三角形.
【分析】 条件是什么？ A ， B ， C 成等差数列 2B = A + C b2 = a c
【思考下列问题】 如图所示：已知 PA 于A , PB B ,
a , a AB , 求证： a PB
P
A
B
a
由已知开始，结合定理推理，得出结论
综合法
利用已知条件和某些数学定义、定理、
公理等，经过一系列的推理论证，最后推导
出所要证明的结论或所要解决的问题的结果.
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明(第2课时)课堂探究 新人教A版选修1-2(
究新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究新人教A版选修1-2的全部内容。
堂探究新人教A版选修1-2探究一用反证法证明否定式命题对于“否定"型命题,从正面证明需要证明的情况太多，不但过程烦琐而且容易遗漏，故可用反证法,一般当题目中含有“不可能”“都不"“没有”“不存在"等词语时，宜采用反证法证明．【典型例题1】已知a，b，c,d∈R，且ad－bc＝1,求证a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1。
思路分析：本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理,因此使用反证法证明．证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1。
∵ad－bc＝1,∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc。
∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0。
∴2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0。
∴(a＋b）2＋(b＋c）2＋（c＋d)2＋(a－d）2＝0.∴a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0.∴a＝b＝c＝d＝0,∴ad－bc＝0,这与ad－bc＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1成立．规律小结反证法的具体步骤是:(1）提出假设：作出与求证的结论相反的假设，否定结论；（2）推出矛盾：由假设出发，推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的结果；（3）肯定结论：出现矛盾是因为“否定结论”所致，由此得出原命题成立．探究二用反证法证明“至多"“至少"型命题“至多"“至少”问题，直接证明比较复杂,可用反证法证明，体现了“正难则反”的思想方法．【典型例题2】已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c,y＝bx2＋2cx ＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．思路分析：假设三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点．由y ＝ax 2＋2bx ＋c ,y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ,得Δ1＝（2b ）2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c ）2－4ab ≤0,且Δ3＝(2a ）2－4bc ≤0. 同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0. ∴（a －b ）2＋(b －c )2＋(a －c ）2≤0。
高中数学 直接证明与间接证明课件十二 新人教A版选修1-2
【 例 2】已 知 a,b,c(0,1),求 证 (1： a)b, (1b)c,(1c)a不 能 同 时 1 大 于
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【例 3】对于函f数 (x)1,找不到正 A，数 x
使得在整个定|义 f值进行说明。
【试一试】
1、如果一条直线经过平面内一点，又经过平 面外一点，则此直线与平面相交。
a x1
a
求证：经过函数图像上任
意两个不同点的直线
不平行于x轴。
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－部分或全部是，即至少有一个是
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
反证法
【探究1】将9个球分别染成红色或白色 无论怎样染色，至少有5个球 一 定是同色的。正确吗？
【探究2】 已知 a ≠0 ,关于 x 的方程 a x = b 有解吗？解唯一吗？
用反证法证题的一般步骤
（1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证, 得出矛盾；
2、证明：若 a 2 b 2 2 a 4 b 3 0 ,则 a b 1 3、已知方程 2x = 3 ，求证方程有且只有一根
【作业】 P54 练习1、2 A组 3
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
人教A版高中数学选修2-2课件2.2.1直接证明与间接证明2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
只需证，（ 3 7）2 （2 5）2
只需证：10 2 21 20
只需证：21 5
只需证：21 25
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
例题，求证：3 7 2 5
作业：
ab
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推 证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件（已知条件、定理、定 义、公理等）为止，这种证明的方法叫做
分析法（也叫逆推证法或执果索因 法）． 特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q P1
P1 P2
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直接证明与间接证明 （2）
之分析法
复习：什么是综合法？
一般地，利用已知条件和某些已经学过的 定义、定理、公理等，经过一系列的推 理、论证，最后推导出所要证明的结论 成立，这种证明方法叫做综合法。也叫 顺推法
特点:“由因导果”
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
分析法
(a>0,综b>合0)法的证明.
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
（ 3 7）2 （2 5）2 10 2 21 20 21 5 21 25
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
练一练：
1、求证：6 7 2 2 5
2、求证：a a 1 a 2 a 3(a 3)
例.
证法1
因为 ( a b)2 0 所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab 所以成a立+2 b ab
高中数学 直接证明与间接证明课件一 新人教A版选修1-2
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例 :.已 知 a、 b、 c为 不 全 相 等 的 正 数 ，
求 证 ： b+c-a+c+a-b+a+b-c>3.
a
b
c
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
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You made my day!
我们，还在路上……
sin(A-B)=0.2, 求证:tanA=2tanB 例3：已知sinA,sinB,cosA成等差数列， sinA,sinC,cosA成等比数列，
求证:2cos2B=cos2C
作业：1.Ｐ46 Ａ组２，Ｂ组２
2.已知a,b,c,为不全相等的正数，
求征 (b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Hale Waihona Puke Q1 Q2Q2 Q3… Qn Q
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
例2：在锐角三角形ＡＢＣ中， sin(A+B)=0.6,
例：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点 为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于 Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线 上，且ＢＣ∥x轴（如图），证明 直线ＡＣ经过原点Ｏ
例 :.已 知 a、 b、 c为 不 全 相 等 的 正 数 ，
求 证 ： b+c-a+c+a-b+a+b-c>3.
a
b
c
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
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我们，还在路上……
sin(A-B)=0.2, 求证:tanA=2tanB 例3：已知sinA,sinB,cosA成等差数列， sinA,sinC,cosA成等比数列，
求证:2cos2B=cos2C
作业：1.Ｐ46 Ａ组２，Ｂ组２
2.已知a,b,c,为不全相等的正数，
求征 (b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Hale Waihona Puke Q1 Q2Q2 Q3… Qn Q
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
例2：在锐角三角形ＡＢＣ中， sin(A+B)=0.6,
例：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点 为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于 Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线 上，且ＢＣ∥x轴（如图），证明 直线ＡＣ经过原点Ｏ
2014年人教A版选修1-2课件 2.2 直接证明与间接证明
因为两平面相交, 有且只有一条公共直线. 所以 P, Q, R 共线于平面 a 与平面 ABC 的交线.
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 分析: 所证三角形面积的式子 b 中是用向量的模以及向量的数量积 表示的, 于是我们考虑用三角形面 积公式 SABC = 1 AC BC sin C . 2 sinC 再通过向量的数量积转换.
综合法是由因导果的顺序.
习题 2.2 A组 第 1、2 题. B组 第 1、2 题.
习题 2.2 A组 1. 已知 A, B 都是锐角, 且 A+B≠ , 2 (1+tanA)(1+tanB)=2, 求证A+B= . 4 证明: 由 (1+tanA)(1+tanB)=2 得 1+tanA+tanB+tanAtanB=2, 整理得 tanA+tanB=1tanAtanB, ① tan A + tan B 又因为 tan( A + B) = , ② 1 tan Atan B 将①代入②得 1 tan A tan B =1, tan( A + B) = 1 tan Atan B 因为 A, B 都是锐角,
B
a C
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 证明: 如图, b SABC = 1 BC AC sin C , a C 2 B 又因为 CB = a, CA = b, ab , cos C = 则 | a | | b | 于是得 sin C = 1 cos2 C = 1 ( a b )2 , | a | | b | (a b)2 1 1 SABC = | a | | b | 1 2 2 = | a |2| b |2 (a b)2 . 2 | a | | b | 2
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》精品课件_31
成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
2、求证 3 7 2 5
说一说：
请对综合法与分析法进行比较，说说 它们各自特点，回顾以往数学学习， 说说你对这两种证明方法的新认识。
综合法的特点:由因导果，
分析法的特点：执果索因.
研一研：
1.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
要证
ab 1
1 a1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
2.2.1 直接证明
——综合法与分析法
问题 1：已知 a, b 0 ，求证：a(b2 c2 ) b(c2 a2 )≥ 4abc
法一：∵ b2 c2 ≥ 2bc , a 0 ,
你怎样求证？
∴ a(b2 c2 )≥ 2abc .又∵ c2 a2 ≥ 2ac , b 0 ,
思考小结: 1.综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 其格式为: 由因导果 (已知) A B1 Bn B (结论) 2.分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 其格式为: 不断转化 (结论) B B1 Bn A (已知)
注:分析法被认为是解数学题的“绝招 ”,因 为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟 悉.当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出 分析的成果作为证明.
象这种利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综 合法.(又称顺推证法)
2、求证 3 7 2 5
说一说：
请对综合法与分析法进行比较，说说 它们各自特点，回顾以往数学学习， 说说你对这两种证明方法的新认识。
综合法的特点:由因导果，
分析法的特点：执果索因.
研一研：
1.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
要证
ab 1
1 a1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
2.2.1 直接证明
——综合法与分析法
问题 1：已知 a, b 0 ，求证：a(b2 c2 ) b(c2 a2 )≥ 4abc
法一：∵ b2 c2 ≥ 2bc , a 0 ,
你怎样求证？
∴ a(b2 c2 )≥ 2abc .又∵ c2 a2 ≥ 2ac , b 0 ,
思考小结: 1.综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 其格式为: 由因导果 (已知) A B1 Bn B (结论) 2.分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 其格式为: 不断转化 (结论) B B1 Bn A (已知)
注:分析法被认为是解数学题的“绝招 ”,因 为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟 悉.当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出 分析的成果作为证明.
象这种利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综 合法.(又称顺推证法)
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_31
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例1：已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根， 不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
4.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
Ａ
Ｂ
Ｃ
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
2.2.2 反证法
学习目标：
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法； 2.识别反证法所适用的数学问题； 3.理解反证法的思考过程（反设，归谬）； 4.会用反证法解决数学问题.
思考：
将9个球分别染成红色或白色， 那么无论怎样染，至少有5个球 是同色的。你能证明这个结论吗？
新课讲解
1.间接证明（基本概念）
复习
综合法
条件
条件 定义 定理 公理 数学推理
结论
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
由因导果
ห้องสมุดไป่ตู้
复习
Q P1
P1 P2
分析法
P2 P3
…
得到一个明显 成立的条件
要证：
只要证：
格 式
只需证：
显然成立
上述各步均可逆
例1：已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根， 不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
4.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
Ａ
Ｂ
Ｃ
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
2.2.2 反证法
学习目标：
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法； 2.识别反证法所适用的数学问题； 3.理解反证法的思考过程（反设，归谬）； 4.会用反证法解决数学问题.
思考：
将9个球分别染成红色或白色， 那么无论怎样染，至少有5个球 是同色的。你能证明这个结论吗？
新课讲解
1.间接证明（基本概念）
复习
综合法
条件
条件 定义 定理 公理 数学推理
结论
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
由因导果
ห้องสมุดไป่ตู้
复习
Q P1
P1 P2
分析法
P2 P3
…
得到一个明显 成立的条件
要证：
只要证：
格 式
只需证：
显然成立
上述各步均可逆
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AC > AB 因为 BD =DC ， AD =AD EDC >EDB 因为 BD =DC ， ED =ED EC > BE EBC >ECB
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。 要证： 要证：
格 式
【例3】 如图： SA 平面ABC , AB BC
过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC
的垂线，垂足为F。
求证： AF SC
S
F E C
A
B
【练习】 1、证明： 3 7 2 5
1 2、求证：若 a 0 , 则 a 2 a 2 2 a a
2
3、 求证： a b (a , b R ) b a 1 a2 2 1 b2 2
B >C，求证：EBC >ECB
A
E
B C D
目标：EBC >ECB
EC > BE
因为 BD =DC ， ED =ED EDC >EDB 因为 BD =DC ， AD =AD AC > AB B >C
【分析法】
目标：EBC >ECB EC > BE
因为 BD =DC ， ED =ED EDC >EDB 因为 BD =DC ， AD =AD AC > AB B >C B >C
【温故知新】
已知 a、b、c为互不相等的正数，
1. 若 abc 1 , 求 证 ： 1 1 1 a b c a b c ab bc ca 2. 求 证 ： lg lg lg 2 2 2 l ga l gb l gc
【探究】 E为ΔABC的中线AD上任意一点
只要证： 只需证：
以 结论成立
所以 结论成立
【例1】求证：当一个圆与一个正方形的周长
相等时，圆面积比正方形面积大。
【例2】 设a ， b ， c 为一个三角形的三边长。
1 2 s (a b c ) , 且 s 2ab , 求 证 ： s 2a 2
1
【作业】 《同步导学》 P34
4、8
补充题： 已 知a 4 , 求 证 ： a 1 a 3 a 2 a 4