第二章 教育信息熵(20130914)
信息熵入门教程
信息熵入门教程
信息熵是信息理论中的重要概念，它用来度量随机变量中的不确定性或信息量。
在这篇入门教程中，我们将详细介绍信息熵的概念、计算方法和应用领域。
一、信息熵的概念
信息熵是根据信息的概率分布来度量信息的不确定性。
在信息论中，信息的不确定性越大，信息熵越高。
信息熵的单位是比特或纳特。
二、信息熵的计算方法
信息熵的计算方法是根据信息的概率分布来计算的。
对于一个离散随机变量，信息熵的计算公式为：H(X) = -Σp(x)log2p(x)，其中p(x)表示随机变量X取值为x的概率。
三、信息熵的应用领域
信息熵在各个领域都有广泛的应用。
在通信领域，信息熵被用来度量信道的容量，帮助设计高效的通信系统。
在数据压缩领域，信息熵被用来压缩数据，减少存储空间的占用。
在机器学习领域，信息熵被用来评估分类模型的效果，选择最优的特征。
四、信息熵的意义和局限性
信息熵的意义在于量化信息的不确定性，帮助我们理解信息的特性和规律。
然而，信息熵并不能完全反映信息的含义和价值，它只是从概率分布的角度度量信息的不确定性。
五、总结
信息熵是信息理论中的重要概念，用来度量信息的不确定性。
通过计算信息熵，我们可以了解信息的特性和规律，并在各个领域中应用。
然而，信息熵只是从概率分布的角度度量信息的不确定性，不能完全反映信息的含义和价值。
希望通过这篇入门教程，您对信息熵有了更深入的了解。
如果您想进一步学习信息熵的应用和扩展，可以参考相关的学术文献和教材。
祝您学习愉快！。
教育信息处理
:: ::第一章教育信息概述第一节有关信息的基本概念第二节教育信息的特点第三节教育信息的数量化第四节教育信息的结构形式第五节教育信息处理的对象第六节教育信息处理的方法第七节教育信息处理的数学方法章节练习第二章教育信息熵第一节熵的概述第二节相对熵和冗余度第三节熵函数的展开第四节测试问题的信息量第五节教育过程的信息量分析第六节教育中质的数据信息量分析第七节CAI课件中的信息熵章节练习第三章教材分析第一节概述第二节教材结构化的方法第三节利用图表示系统结构第四节以ISM法分析教材结构第五节ISM分析实例第六节目标矩阵章节练习第四章教学分析第一节概述第二节逐语分析第三节分类分析第四节时序分析第五节S-T分析章节练习第五章测试与测试理论第一节测试的意义和分类第二节测试数据的统计测度第三节测试数据应该具有的特性第四节测试数据的交换第五节项目反应理论基础第六节项目反应理论与计算机章节练习第六章学生集团应答分析第一节应答分析系统第二节应答分析系统在教学中的应用第三节集团应答曲线第四节集团应答曲线群章节练习第七章教育信息的结构分析第一节概述第二节S-P分析第三节S-P表的应用第四节IRS分析第五节IRS图的应用章节练习第八章多元分析的基本原理第一节概述第二节回归分析第三节主成份分析第四节聚类分析第五节判别分析章节练习第九章生理信息与教学过程第一节概述第二节GSR的意义第三节GSR与集团教学第四节不同学科的GSR反应第五节教学过程中的GSR反应章节练习第六章>>第一节应答分析系统帮助1. 应答分析系统的构成和教育特性?6.1.1 应答分析系统的构成6.1.2 应答分析系统的教育特性应答分析系统6.1.1应答分析系统的构成为了对学生的集团应答进行分析，首先应收集教学过程中每位学生对给定课题的应答数据。
各种应答分析、各种应答特性是基于这些数据有效处理得到的。
应答分析系统是一种用于对学生的应答数据进行定量的、实时的收集、处理的信息系统。
信息熵的定义和公式并描述公式
信息熵的定义和公式并描述公式信息熵这个概念听起来好像有点高大上，但其实它并没有那么难以理解。
咱们先来说说啥是信息熵。
想象一下，你在一个超级大的图书馆里找一本书，这个图书馆里的书摆放得毫无规律，有的类别混在一起，有的作者的书分散在各个角落。
这时候，你要找到你想要的那本书就特别费劲，因为不确定性太大了，对吧？这种不确定性，就可以用信息熵来衡量。
信息熵简单来说，就是描述一个系统中信息的混乱程度或者说不确定性的量。
比如说，一个抽奖活动，要是中奖的可能性都差不多，那这时候的信息熵就比较大，因为你很难确定到底谁能中奖。
但要是几乎可以肯定只有一个人能中奖，那信息熵就小多啦。
那信息熵的公式是啥呢？它的公式是这样的：H(X) = -∑p(x)log₂p(x) 。
这里的 X 代表一个随机变量，p(x) 是这个随机变量的概率。
咱们来仔细瞅瞅这个公式哈。
“∑”这个符号就是求和的意思，就是把后面的那些项都加起来。
那“p(x)log₂p(x)”又是啥呢？假设我们有个事件 A 发生的概率是 0.5，那 0.5 乘以 log₂0.5 就是这个事件的一项。
给您举个特别简单的例子来理解这个公式。
比如说有个盒子，里面有红、蓝、绿三种颜色的球，红球有3 个，蓝球有2 个，绿球有5 个。
那总共有 10 个球。
红球出现的概率就是 3/10，蓝球是 2/10，绿球是5/10 。
然后咱们来算信息熵。
按照公式，H(X) = - ( 3/10 * log₂(3/10) +2/10 * log₂(2/10) + 5/10 * log₂(5/10) ) 。
算出来这个值，就能知道这个盒子里球的颜色分布的不确定性有多大啦。
我还记得之前在给学生讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这信息熵到底有啥用啊？”我就跟他说：“你想想啊，咱们平时上网搜索东西，搜索引擎得判断哪些结果最有用、最相关，这就得用到信息熵的概念来衡量信息的不确定性和混乱程度，才能给咱们更准确的结果。
第二章 教育信息熵
5、确定性
概率系统中，任一事件产生的概率为1，则其他事 件产生的概率为0，这是一种确定的系统。对于这样 的系统，有
H(1,0)=H(0,1)=H(1,0…,0)=H(0,0…,1…0)=0
从上述的讨论可以看出，熵所描述的不是一个一个的 事件，而是表现有关概率系统整体概率分布状态的统计特 征量。系统的熵是通过实测数据进行计算的，往往我们将 它作为一种统计量来使用。
我__大________使______机。
就很难猜出完整的句子，在信息传递的时候，也很难做检错和抗错。 因此，保留合理比例的冗余度是非常重要的。 信息熵方法的基本目的，是找出某种符号系统的信息量和冗余度之间 的关系，以便能用最小的成本和消耗来实现最高效率的数据储存、管理和 传递。
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第一节 熵的概述
信源输出的消息可以看作是随机事件（数学上对随 机事件发生可能性的大小以概率来度量），它的不确定 度可根据其出现的概率来衡量： 概率大，出现机会多，不确定程度小
概率小，出现机会少，不确定程度大
以I记消息包含的信息量，P记消息发生的概率，0≤P≤1,则有： 用函数可以表示为： I=f（P） 或 I= g（1/P) 信息量是概率的单调减函数。
通信，收信者就可能消除这种不确定性。
信息的多少与信源的不确定性有关。研究信息
的度量可变成研究信源的不确定性的度量。
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第一节 熵的概述
例1：现有A、B、C、D、E五名学生，以他们作为候选人，
需从中选出一名学生作为学生代表。
情况一：设定每一名学生被选中的可能性一样（A当选的概
率是20%）； 情况二：设定A 当选的概率是90%； 情况三：A一定会当选（ A 当选的概率是100%）。 选拔的结果：A 被选中。
信息熵在高中信息技术教学中的应用研究
信息熵在高中信息技术教学中的应用研究信息熵是信息理论中一个重要的概念，广泛应用于网络通信、数据压缩、密码学等领域。
在高中信息技术教学中，信息熵也有着重要的应用价值。
本文将从信息熵的基本原理、在教学中的应用以及应用效果三个方面来探讨信息熵在高中信息技术教学中的应用研究。
首先，我们来了解一下信息熵的基本原理。
信息熵是信息理论中衡量信息不确定性的度量，表示了信息源的平均信息量或平均不确定性。
信息熵越大，表示信息不确定性越大；信息熵越小，表示信息不确定性越小。
在公式上，信息熵的计算公式为：H(X) = -Σp(x)logp(x)，其中，X为信息源，p(x)表示信息源中各个事件发生的概率。
信息熵的一个重要应用是数据压缩。
在高中信息技术教学中，可以通过信息熵的概念来引导学生了解数据压缩的原理和方法。
数据压缩是将原始数据通过其中一种编码方式转换成更简洁的表示形式，从而减少数据的存储空间或传输带宽。
在教学中，可以通过引入信息熵的概念，让学生了解到不同数据的信息量不同，一些数据中包含的信息冗余较多，可以采取压缩算法进行高效存储或传输，从而提高数据处理的效率。
其次，信息熵还可以应用于密码学领域。
密码学是保护信息安全的一门学科，其中一个重要的问题就是如何加密和解密信息。
信息熵可以作为评估密码算法强度的指标之一、在教学中，可以通过介绍信息熵的概念，让学生了解到密码算法的安全性与其信息熵的关系。
较高的信息熵表示密码算法生成的密文更具随机性，难以通过统计分析猜测出明文，从而提高密码算法的安全性。
同时，通过信息熵的应用，还可以让学生了解一些常见的密码算法，如DES、AES等，并进行相关实践操作，提高学生对密码学的理解和实践能力。
最后，我们来讨论一下信息熵在高中信息技术教学中的应用效果。
信息熵在教学中的应用可以提高学生的综合能力，培养学生的逻辑思维和创新意识。
通过引入信息熵的概念，可以让学生了解到信息理论的基本原理和相关应用，从而提高学生对信息技术的认识和理解，培养学生的信息素养。
信息熵的性质
二、信息熵的基本性质
1、对称性
当概率空间中P(x 1 ), ) P(x 2 )…序任意互换时，熵函数的值不变，例如下面两个信源空间:
5、极性
信源各个状态为零概率分布时，熵值最大，并且等于信源输出状态数，因为当P(x1)=P(x2)=...= P(xN)=1/N时，
例如，信源有两种状态时，概率空间
其H(X)-P(x1)关系如下图所示,当P(x 1 )=1/2时，熵有最大值。以上分析表明，对于具有N个状态的离散信源，只有在
信源N个状态等概率出现的情况下，信息熵才能达到最大值。这也表明，等概率分布信源的平均不确定性最大，这是一个很重要的结论，称为最大离散熵定理。
即统计独立信源X和Y的联合信源的熵等于它们各自的熵之和。
如果有两个随机变量X和Y，它们彼此是统计独立的，即X的概率分布为［P(x 1 ),P(x 2 ),..., P(xN)］,而Y的分布概率为［P(y1), P(y2),... ,P(yM)］,则联合信源的熵
可加性是熵函数的一个重要特性，正因为有可加性，所以可以证明熵函数的形式是唯一的。
3、非负性
即H(X)>0。
因为随机变量X的所有取值的概率分布为0<P(x i )<1。
当取对数的底大于１时，logP(x i )<0 ,而-P(x i )logP(x i )>0 ,则得到的熵是正值，只有当随机变量是一确知量时，熵才等于零。这种非负性对于离散信源的熵来说，这一性质并不存在。
信息熵 标准
信息熵是衡量信息不确定性的一个重要指标，由克劳德·香农在1948年提出，是信息论的基础之一。
信息熵不仅在通信理论中有广泛应用，也对统计学、物理学、计算机科学等多个领域产生了深远影响。
一、信息熵的定义信息熵（Entropy），记作H(X)，是描述信息量的大小的一个度量。
它是随机变量不确定性的量化表示，其值越大，变量的不确定性就越高；反之，其值越小，变量的不确定性就越低。
对于一个离散随机变量X，其概率分布为P(X)，信息熵的数学表达式定义为：\[ H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_b p(x_i) \]其中，\(p(x_i)\)代表事件\(x_i\)发生的概率，\(n\)是随机变量可能取值的数量，\(\log_b\)是以b为底的对数函数，常见的底数有2（此时单位是比特或bits）、e（纳特或nats）和10。
二、信息熵的直观理解信息熵可以被理解为信息的“不确定性”或“混乱程度”。
当一个系统完全有序时，我们可以准确预测它的状态，此时信息熵最低；反之，如果系统完全无序，我们无法预测其任何状态，此时信息熵最高。
例如，在一个完全公平的硬币投掷实验中，正面和反面出现的概率都是0.5，这时信息熵达到最大值，因为每次投掷的结果最不确定。
三、信息熵的性质1. 非负性：信息熵的值总是非负的，即\(H(X) \geq 0\)。
这是因为概率值在0和1之间，而对数函数在(0,1)区间内是负的，所以信息熵的定义中包含了一个负号。
2. 确定性事件的信息熵为0：如果某个事件发生的概率为1，那么这个事件的信息熵为0，因为这种情况下不存在不确定性。
3. 极值性：对于给定数量的n个可能的事件，当所有事件发生的概率相等时，信息熵达到最大值。
这表示在所有可能性均等时，系统的不确定性最大。
4. 可加性：如果两个随机事件X和Y相互独立，则它们的联合熵等于各自熵的和，即\(H(X,Y) = H(X) + H(Y)\)。
第二章教育信息熵
在不知道结局为单双数时，掷一次骰子的结局 的不确定性为log6 ，在仅告诉你结局是单数或 者双数时是没有全部解除你对结局的疑惑，但 是它确实给了一些信息，这个信息（以I表示） 就用无条件熵与条件熵的差来计量。于是有
I=log6-log3=log6/3=log2
这里的无条件熵就是log6 ，而已经知道结局 是单数或者双数的条件熵可以根据前面的条件 熵公式计算。
➢ 肯定是单点（双点）时它是各个点的概率 ( 条件概率）
123456 单数 1/3 0 1/3 0 1/3 0 双数 0 1/3 0 1/3 0 1/3
公式中的p(yj)有两种情况，一个指单数的出 现概率，一个是双数的出现概率。它们显然 都是1/2 ，因此
通过A、B系统信息熵的计算，有
H(Pa)=1(bit) H(Pb)=2(bit) 由此判定系统B的不确定程度是系统A的两倍。
四、信息熵的基本性质
1．单峰性 设某一系统包含两个事件A、B，其产生 的概率分别为P和1-P。该系统的熵为：
当p为0时，H=0 当p为1时，H=0 当p为1/2时，H有极大值 若系统中每一事件产生的概率相同，均为 1／n，这种系统的H为最大值。
我们称之为信息熵，简称为熵（entropy）。
设某一系统具有四种状态A1、A2、A3、A4，其率 分别为：
p1=1/2, p2=1/4, p3=1/8, p4=1/8 该系统的平均信息量为：
4
H pilo g2pi i1
1 2
lo g2
1 2
1 4
lo g2
1 4
1 8
l
o
g2
1 8
第二章教育信息熵
它满足的两个关系：
（1） 不确定性与概率的关系；
（2） 可加性的要求。
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5
二 信息熵
1 平均信息量（信息熵）
一般情况下
状态空间： X： x1 , x2 …………… xn
概率分布：P(x):P(x1),P(x2) ……… P(xn) ,
且
n
P(xi ) 1
i 1
这里一 联合熵
1 信源
现有两个信源：X，Y
X：x1 , x2 … xn
Y: y1 , y2,…… ym
P(x):P(x1),P(x2)… P(xn) P(y):P(y1),P(y2)… P(ym)
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27
联合空间： X.Y: x1y1, x1y2,………… x1ym
……………. xny1, xny2,………… xnym P(x.y):P(x1,y1),P(x1,y2)………P(x1,ym) …………. P(xn,y1),P(xn,y2)……… P(xn,ym)
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28
其中P（xi,yj）为xi和yj的联合概率 且P(xi,yj)=P(xi)*P(yj/xi)=P(yj)*P(xi/yj) 当：xi和yj相互独立时
最大值，即
H≤ Hmax = log n 实例：
1）英语字母的使用并非是相互独立的，字母 间存在相关性；
2）英语字母并非等概率使用(表2.1：P33)
故：英语字母的熵通常远小于4.76（有人计
算≈1.4）
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三 相对熵
我们定义：h= H / Hmax 为相对熵， 它便于比较两个不同事件数目的系统的 信息熵。
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信息熵(informationentropy)百科物理
信息熵（informationentropy）百科物理
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信息熵〔informationentropy〕
信息熵(informationentropy)
是信息论中信息量的统计表述。
香农(Shannon)定义信息量为：
`I=-Ksum_ip_ilnp_i`，表示信息所消除的不确定性(系统有序程度)的量度，K为待定常数，pi为事件出现的概率，$sump_i=1$。
对于N
个等概率事件，pi=1/N，系统的信息量为I=-Klnpi=KlnN。
平衡态
时系统热力学函数熵的最大值为$S=-
ksum_iW_ilnW_i=klnOmega$，k为玻尔兹曼常数，Wi=1/为系统各状
态的概率，$sum_iW_i=1$，为系统状态数，熵是无序程度的量度。
信息量I与熵S具有相同的统计意义。
设K为玻尔兹曼常数k，那
么信息量I可称信息熵，为$H=-ksum_ip_ilnp_i$，信息给系统带
来负熵。
如取K=1，对数底取2，熵的单位为比特(bit);取底为e，
那么称尼特。
信息熵是生命系统(作为非平衡系统)在形成有序结构
耗散结构时，所接受的负熵的一部分。
由查字典物理网独家提供信息熵(informationentropy)百科物理，
希望给大家提供帮助。
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2013-9-28
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内容回顾
测量尺度的类别及其处理方法
尺度类别 类别尺度 基本操作 比较类别 统计处理 统计类别数
顺序尺度
比较数值的大小
求序位、顺序关系
算术平均、标准偏 差、相关系数
有相等的度量单位，采 等距尺度 用相对零点。比较差异 程度，可进行加减运算
有相等的度量单位，采 比率尺度 用绝对零点。可进行四 则运算
需从中选出一名学生作为学生代表。
情况一：设定每一名学生被选中的可能性一样（A当选的概
率是20%）； 情况二：设定A 当选的概率是90%； 情况三：A一定会当选（ A 当选的概率是100%）。 选拔的结果：A 被选中。
2013-9-28
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第一节 熵的概述
信源输出的消息可以看作是随机事件（数学上对随 机事件发生可能性的大小以概率来度量），它的不确定 度可根据其出现的概率来衡量： 概率大，出现机会多，不确定程度小
产生的概率分别为p1＝1/2, p2=1/4, p3=1/8, p4=1/8，求该系统中任一状态 产生时所给予的平均信息量。
2
22Biblioteka 22例6：还是工会发水果的例子。计算其信息熵： 消息集合X=（优质品，合格品，次品）， 各消息可能出现的概率为：（0.4, 0.55, 0.05） 其信息熵为： H=-（0.4log20.4+0.55log20.55+0.05log20.05）=1.22（bit）
信息量定义 以概率p≠0发生的可能消息A所包含的信息量I（A） 是概率p的倒数的对数：
I（A）=log21/p;或 I（A）=-log2 p 补充规定： 若P=0 ， I=0
信息量的单位为字位（bit）
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第一节 熵的概述
例3：投掷硬币，消息A代表麦穗朝下，发生概率为 P(A)=0.5， 求其信息量。
冗余度为：r=1-H/Hmax=(N-Nmin)/N
2013-9-28
12
第一节 熵的概述
信息量是概率的单调减函数I= g（1/P) ，
同时信息量又具有可加性I（AB）=I（A）+I（B） 。 那么信息量可以用什么函数表示？
对数函数是可供选用的合适的函数，
logak 随k值的增大而增大，且 loga(k×l)=logak + logal
2013-9-28
1、信息熵定义
p log p
i 1 i
2
n
i
H是可能消息集合X的整体平均信息量，亦即单位消息的信息量。 可能消息集合X =（X1,X2,……,Xn）的整体平均信息量称为信 息熵，简称为熵。
2013-9-28 16
第一节 熵的概述
例5: 设某一系统具有四种状态（或四种事件）A1、A2、A3、A4，其
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25
第二节 相对熵与冗余度
根据上表，可以计算出熵H＝4.065bit。 由于每种字符出现的概率不同，使得实际使用英语的熵H减 少，即H<Hmax
2013-9-28 26
第二节 相对熵与冗余度
联合国五种工作语言文字的信息熵比较：
法文 3.98 bit
西班牙文
英文 俄文 中文
4.01 bit
概率小，出现机会少，不确定程度大
以I记消息包含的信息量，P记消息发生的概率，0≤P≤1,则有： 用函数可以表示为： I=f（P） 或 I= g（1/P) 信息量是概率的单调减函数。
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第一节 熵的概述
例2：某人到剧院找朋友，剧院有20行30列座位，朋友的位 置有600种可能。消息A说：“他在第6行”，消息B说： “他在第9列”，合成消息C=AB说：他在第6行第9列“。
2013-9-28
各种统计计算
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内容回顾
请判断以下数据属于何种类别尺度？
1、调查问卷中的5点式 Likert 态度量表选项： 非常满意、满意、一般、不满意、非常不满意 顺序尺度 得分规定：2 1 0 -1 -2 2、将课堂教学行为分为教师行为T和学生行为S 规定：T=1，S=0 3、数学测试所得分数，例如87，69等 类别尺度
I(A)=－log20.5= － log22-1=1bit
例4：工会有一批水果发给会员，其中优质品为40%，合格
品为55%，次品为5%。发放规则为随意抓号，按号取货，
不许挑拣。问；王东拿到次品这一消息的信息量是多少？ I=-log20.05=4.32bit
2013-9-28
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第一节 熵的概述
二、信息熵
一、信息量的表示
一般来说，在通信过程中，信源发出的消息对 收信者来说总是存在着某种程度的不确定性，通过
通信，收信者就可能消除这种不确定性。
信息的多少与信源的不确定性有关。研究信息
的度量可变成研究信源的不确定性的度量。
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第一节 熵的概述
例1：现有A、B、C、D、E五名学生，以他们作为候选人，
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第二节 相对熵与冗余度
英语字母共有26个，加上空格，共计27个符号，若假定
所有符号彼此独立且等概率，那么这样的英语系统具有最 大熵，其熵值为： Hmax＝log2 27＝4.75bit 实际上，所有字母不是等概的，空格、E、T、A等字母 出现的概率大，而Q、Z等字母出现的概率小。
内容回顾 什么是信息？
信息论的重要奠基者香农（C.E.Shannon）将信息定义 为熵的减少，即信息可以消除人们对事物认识的不确定性，
并将消除不确定程度的多少作为信息量的量度。
2013-9-28
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内容回顾
教育信息化包括几个方面？
完备的教育信息化环境是实现教育信息化的外部条件和
基础。
培养教师与学生的信息素养，实现教师与学生的信息化
2013-9-28 18
第一节 熵的概述
例9：设概率系统A、B的分布为：
pA=(0.5,0.5,0,0,0) pB=(0.5,0.125,0.125,0.125,0.125)
请比较它们哪一个系统的不确定程度大。
分析：为了进行这种比较，我们计算它们的信息熵，并以计 算出的信息熵，对它们的不确定程度进行定量的比较。通过
例10： H（p1,p2,p3,p4）=H(p1,p2,p3+p4)+(p3+p4)H(p3/(p3+p4),p4/(p3+p4)) H(p1,p2,p3+p4)=H(p1,p2+p3+p4)+(p2+p3+p4)H(p2/(p2+p3+p4)+(p3+p4)/(p2+p3+p4))
2013-9-28
是实现教育信息化的关键。
教育过程的信息化是教育环境信息化，教师与学生信息
化的落脚点。 教育信息化的根本目标是以各门学科教学的信息化实 现面向信息社会创新人才的培养。
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内容回顾
教育信息有哪些基本特点？
量度水平低 教育数据多是一些小样本的数据 注重个体数据的分析 教育信息多是一些模糊信息
设发送端的可能消息集合为：X=（X1,X2,……,Xn）,各可能消息 分别按概率P1,P2,……，Pn发生，并满足归一性条件： P1+P2+……+Pn=1。按一定的概率从集合X中随机选择消息发送，形 成一个消息序列。设序列中包含的消息总数为N，N非常大。在统计 意义上，该序列中包含的消息Xi的数目为PiN个，所有Xi包含的信息 量为-（PiN）log2Pi。将序列中所有消息包含的信息量之和除以N， 得到序列中每个可能信息的平均信息量为： H=-（P1log2P1+ P2log2P2+……+ Pnlog2Pn)=-
率分布相同，系统的熵H是不变的，即系统的熵与事件
的顺序无关。
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第一节 熵的概述
3、渐化性
设概率为pn(=q+r)的事件可分解为概率分别为q和r的两个 事件，则有 H(p1,p2…,pn-1,q,r)=H(p1,p2…,pn-1,q+r)+(q+r)H(q/(q+r),r/(q+r))
4.03 bit 4.35 bit 9.65 bit
2013-9-28
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第二节 相对熵与冗余度
一、相对信息熵
一个实际系统输出的熵H(X)与其最大可能的熵
Hmax(X)的比值定义为相对熵，用h表示。 h＝H/Hmax
信息熵的计算与系统中事件数的多少有关，它不利
于我们对不同系统的熵进行比较；相对信息熵的计算有
13
第一节 熵的概述 设某一事件产生的概率为p，则信息量可定义为：
I =loga(1/P)=-logaP
其中，a＞1
a＝2时，单位为bit（比特），字位 a＝e时，单位为nat（奈特），自然对数ln a＝10时，单位为dit（迪特）。常用对数lg 通常情况下，我们选择以2为底数，此时信息量的单位为比特。
利于我们对不同系统的信息熵进行比较。
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第二节 相对熵与冗余度
二、冗余度 冗余度或剩余度可定义为： r＝1-H/Hmax 冗余度表示了由于每种字符出现的概率不同而使信息 熵减少的程度。它表示了传递信息时，不必要的冗长部分 的比例。
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第二节 相对熵与冗余度
设以英语的N个字符书写文章时，其平均信息量为H，
A、B系统信息熵的计算，有
H(pA)=1(bit) H(pB)=2(bit)
由此可以判定系统B的不确定程度是系统A的两倍。
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第一节 熵的概述
三、信息熵的基本性质