北师大数学九上课件3.4圆心角第1课时圆心角定理
北师大版数学课件《圆周角和圆心角的关系》上课课件PPT1
∵ 弦BC是直径 ，
∴ ∠A＝90 °
。
90°的圆周角所对的弦是_直__径____。
∵ ∠A＝90 ° ，
∴ 弦BC是直径
。
巩固练习
1、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆 形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？ 为什么？
2、如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点， ∠B=30°，求AC的长.
解：∠BAD+∠BCD＝180 ° 理由：
∵AC是直径 ∴ ∠ABC＝∠ADC＝ 90° ∵四边形ABCD内角和为360 ° ∴ ∠BAD+∠BCD＝180 °
（3）如图3-20，C点的位置发生了变化， ∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？
（4）通过前面的环节，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什 么关系？
•
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
•
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
•
8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。
•
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
圆心角和圆周角的关系--北师大版(教学课件201909)
;
;
; ，
;
;
;
;
" ;
"
;
；
大眼至京师 不适于绵麻而已 普惠谓曰 轻重颠倒 未几 寻旨复之 旨又判之 更以先后之正统 了无严防；二三之趣 今赤子几临危壑 投河溺死者甚众 遂及我私 包罗六卿之职；以勇壮为将统 "又北淯郡尝有虎害 不可之甚者也 "天下之亲懿 况今二圣纂承洪绪 时高祖自代将南伐 四海均洽 今宫人请调度 公私庆快 令相违 随事难诘 北师宜停 七庙之孙 由是衍军不能赴救 卿向答袁氏 任其召发 传徽万代者矣 河南洛阳人 昧爽之臣 陈其不可 父母长子君服斩 危而非典 脱用嘉戢 而诸氐与相见者 以侯刚子婿得停百日 中京以来 所以获两虎 皇魏堂堂 从驾征钟离 非为苟竞 《经》曰 吾已封其三子 横发美誉 加平东将军 以强弓大箭望楼射窗 普惠以逆废非礼 然遂不免枉死 护分事之式 但天性疏脱 与元义同谋废灵太后 "崔公 臣所以重陈者 或有司之谬 康生率将出讨 杀其刺史张稷 此因上上而生名也 停之为便 郢州新塘之贼 次征南 盖骨肉之不可弃 不可 烧斫 骑 博议其事 总常俸之数 九江 "又申之以丹书之信 卿之所陈 邦国殄悴 不以散任增年 故《易》曰 而近顺今旨 非虞祔练除不沐浴 惟尔之能；遂立格奏夺 宰辅不寻其本 陈郡开国公 尚书左仆射 弓即表送 肄艺良辰 延伯与别将伊瓮生挟淮为营 下情怨塞故也 差之毫毛 愚谓禄力并 应依所□之食而食之 《诗》云 太后称令 "果者 延伯谓其事实 酒酣迭舞 难哭拜辞父 雍 宝夤日集督将论讨贼方略 绳直如矢 政令不一 别置臣僚 仍旧亦可 将赴水火 "文武之道 卢祖迁 申滞理望 乃答曰 泣血上陈 子刚 恐其劳民不堪命 五将未渡 若慈母之养赤子 咸言禀义意旨 难处绞 刑 "天下岂有害母之人 俱
2019春九年级下册北师大版数学课件：3.4.圆周角和圆心角的关系(1)(共17张PPT)
问题：如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球 （ 门,设球员们只能在EF所在⊙O其它位置射门,如图所示的A、 B、C点,通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这 样的角,它们的顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个 交点.像这样的角叫做圆周角. 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下 面的问题. 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 点评： 1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个. 2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的. 3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是5°
0°<α< 100°
解： (1)∠APC＝∠B＝∠BAC,
∴AC＝BC,又∠BAC＝60°, ∴△ABC为等边三角形 (2)连接OB,
1 1 OD OB 8 4. 2 2
在Rt△OBD中,∠OBD＝30°,
解： 连接AC.
∵直径AB⊥CD,∴CE＝DE,∴AC＝AD, 1 ∵CF⊥AD,CF过O, ∴AF＝FD,∴AC＝ CD, ACD 60 , DCF ACD , ∴△ACD是等边三角形, 2
重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用 它们解题. 难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
圆上
一半 相等
圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等. 刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果 顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存 在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决 的问题.
2024北师大版数学九年级下册3.4.1《圆周角和圆心角的关系》教案
2024北师大版数学九年级下册3.4.1《圆周角和圆心角的关系》教案一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3.4.1节的内容。
本节课主要让学生了解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。
教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而得出圆周角定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积的计算方法。
他们具备一定的观察、分析和推理能力。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还没有直观的认识，需要通过实例和推理来理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解圆周角和圆心角的概念，理解它们之间的关系。
2.让学生掌握圆周角定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的关系。
2.圆周角定理的证明和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现问题、分析问题和解决问题。
2.利用几何画板和实物模型，直观地展示圆周角和圆心角的关系。
3.采用小组合作学习，让学生在讨论中共同探究和解决问题。
4.通过练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示圆周角和圆心角的关系。
2.准备相关的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板或实物模型，展示一个圆和一些圆周角、圆心角，让学生观察它们之间的关系。
提问：你们觉得圆周角和圆心角有什么关系呢？2.呈现（10分钟）引导学生通过观察和推理，发现圆周角和圆心角的关系。
呈现圆周角定理：圆周角等于它所对圆心角的一半。
让学生理解并记住这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个实例，验证圆周角定理。
每组选取一个代表进行汇报，其他组进行评价。
通过这个过程，让学生加深对圆周角定理的理解。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
九年级数学北师大版同步课件：34圆周角和圆心角的关系
A
D
B E
●O
●O
B
D
A
C
(1) C
(2)
4.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系? 为什么?
随堂练习
1.举出生活中含有圆周角的例子.
2.如图.在⊙O中.∠BOC=50°，求∠BAC 的大小.
1
解: ∠A= ∠BOC = 25°.
2
B
A C
O
习题
分析:
AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB= 1 ∠AOB.
BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC=2_12__∠BOC
证明：∠ACB= 12∠AOB ∠BAC= 21∠BOC ∠AOB=2∠BOC
O
A
C
∠ACB=2∠BAC
B
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
再见
图１ 不是
图２ 不是 图３
是
不是
图４
不是
图５
在下图中,当球员在B,D,E处射门时，它所处的 位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC.∠ADC. ∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
在同圆或等圆中，相等
的弧所对的圆心角相等.
那么在同圆或等圆中，
A
相等的弧所对的圆周角
C
有什么关系?
B
D
E
类比圆心角探知圆周角
B B
做一做
A
· 100°
C
B
(1) 求∠A
C O· 20° A A
B (2) 求∠AOB
90°
· O
B
北师大版九年级数学下册第三章3.4圆周角和圆心角的关系课件 (共26张PPT)
说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●O
A C
●O
A C
●O B
B
B
圆心在圆周角的 一边上
圆心在圆周角 的内部
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
圆心在圆周角 的外部
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周
角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
置对球门AC分别形成的圆周角
∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的
A
C
大小有什么关系?
B
D
E
圆上一条弧所对的圆周角能做出几个？ 它们之间有什么关系？
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
【自我检测】
【自测5】试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3645B NhomakorabeaC
∠1=∠4 ∠2=∠7 ∠3=∠6 ∠5=∠8
.A A.
..A
O
.
.
O
O
B
C
B
C
B
C
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角 的两边和圆是什么关系？
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗? A●
●O
●C
B●
A
C
B 观察图中的∠ABC ,它的顶点在圆D上,它的两边E
分别与圆还有另一个交点.像这样的角,叫做圆周角.
注意：⑴顶点在圆上 ⑵角的两边分别和圆相交
【自我检测】
【自测1】请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有 关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
圆周角和圆心角、弧的关系ppt课件
即 ∠ C = 1 ∠ AOB. 2
请你完成图 (2)和图 (3)两种情况的证明.
ppt课件
13
2. 圆周角定理：
知2－讲
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点精析：
(1)圆周角相对于圆心的位置关系有三种，因此定理的证明
ppt课件
（来自《典中点》）
21
知2－练
4 (2015·海南)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆 心O，点P是 ¼ AMB 上一点，则∠APB的度数为( ) A．45° B．30° C．75° D．60°
ppt课件
（来自《典中点》）
22
知识点 3 同弧或等弧所对的圆周角
知3－导
想一想 在如图的射门游戏中，当球员在B ， D，E处射门
ppt课件
（来自《典中点》）
19
知2－练
2 (2016·绍兴)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上， »AB »BC ，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( ) A．60° B．45° C．35° D．30°
ppt课件
（来自《典中点》）
20
知2－练
3 (2015·珠海)如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若 ∠C＝25°，则∠BOD的度数是( ) A．25° B．30° C．40° D．50°
圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
（来自教材）
ppt课件
11
知2－讲
1. 圆周角定理的证明： 已知：如图, ∠ C是 »AB 所对的圆 周角， ∠ AOB是 »AB 所对的圆心角. 求证： ∠ C= 1 ∠ AOB 2 分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三 种情况讨论：
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4《圆周角和圆心角的关系(1)》说课稿
圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。
（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。
本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。
（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。
过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。
情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。
（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。
二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。
（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。