最新必修五正弦定理课件
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高中数学人教A版·必修5：正弦定理(53张PPT)
[解] 解．
(1)a＝7，b＝8，a<b，A＝105° >90° ，本题无
(2)b＝10，c＝5 6，b<c，C＝60° <90° ，本题有一解． bsinC 10· sin60° 2 ∵sinB＝ ＝ ＝ ， c 2 5 6 ∴B＝45° ，A＝180° －(B＋C)＝75° . 6＋ 2 10× 4 bsinA 10×sin75° ∴a＝ sinB ＝ sin45° ＝ ＝5( 3＋1)． 2 2
2．解三角形
对边 叫做三角 一般地，把三角形的三个角和它们的______ 其他元素 的过程叫 形的元素．已知三角形的几个元素求__________
做解三角形．
思考感悟
1．在Rt△ABC中，若C＝90° ，你能借助所学知识导出 a sinA的具体值吗？Байду номын сангаас
提示：如图所示，设Rt△ABC的外接圆半径为R，则有 AB 2R a b c ＝2R，结合正弦定理可知 sinA ＝ sinB ＝ sinC ＝ sinC ＝ sin90° 2R，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边．
a b c 综上所述：sinA＝sinB＝sinC .
3．已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应 三角形？
提示：(1)已知三角形的任意两角和一边，求其它两边 和另一角． (2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求另一 边及另两角．
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
答案：(1)A
10 (2) 2
类型二 [例2]
高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
正弦定理课件.ppt
解三角形。
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半 径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导
苏教版数学必修五1《正弦定理》ppt课件
步，下结论．
栏
(1)若所得值不在(0，1]内，则此三角形不存在．
目 链
接
(2)若所得值在(0，1]内，①若是特殊角的三角函数值，
求出所对应的角，注意用∠A＋∠B<180°判断解的
个数；②若所求角的三角函数值不是特殊值，则利用
单位圆中的三角ห้องสมุดไป่ตู้数线判断解的个数．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 利用正弦定理解三角形
苏教版数学必修五
1．1 正弦定理
情景导入
栏 目 链
接
在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)，即准确
地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的安排都是两
个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两
条线(即两台探测器分别探出了敌台的方向)一交叉就把敌人给 栏
叉出来了，想藏想跑，门都没有．其实这里面不仅仅是两线
栏
目
当 C＝π3 时，B＝51π2 ，b＝assiinnAB＝ 3＋1；
链 接
当 C＝2π3 时，B＝π12，b＝assiinnAB＝ 3－1.
题型2 利用正弦定理进行边角转换题
例 3 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a
＝2bsin A，求角 B.
解析：由正弦定理sina
c＝sina A·sin C＝sin 425°·sin 15°＝
6－ 2
2 .
＝25( 6＋ 2)．
名师点评：已知三角形两边和其中一边的对角解三角 形时的方法．
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边 对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为
高中数学 1.1.1 正弦定理课件 新人教A版必修5
a≤b
解的 情况
一解
两解
无解
一解
无解
具体解题时,作出已知角 A,边 AC,以点 C 为圆心,以边长 a 为半径画弧,与射线
AB 的公共点(除去顶点 A)的个数即为三角形解的个数.
-10-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型一
题型二
题型三
题型一
已知两角和一边解三角形
【例 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A=30°,C=100°,a=10,
-7-
目标引航 12
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
【做一做 2-1】 在△ABC 中,c=3,A=45°,C=60°,则 a=
.
答案: 6
【做一做 2-2】 在△ABC 中,a=2,b=1,sin A=13,则 sin B=
.
答案:16
-8-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
确定三角形解的个数 剖析:(1)已知两角与其中一角的对边(或两角的夹边),根据正弦定理,有
(1)a=10,b=20,A=80°; (2)b=10,c=5 6,C=60°; (3)a= 3,b= 2,B=45°.
-13-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型一
题型二
题型三
解:(1)由正弦定理,得 sin B=b������a������������A = 20���������1���������080°=2sin 80°>1,故此三角形无 解.
从而得 sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR.
《正弦定理》课件
教材分析 学情分析 教学目标
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形 解：由正弦定理
a b sin A sin B
26
C
30
b sin A 26 sin 30 13 得 sin B a 30 30
教学重点
A
300
B
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30 由于154.30 +300>1800 C=124.30, 故B只有一解 （如图）
教学反思
教材分析 学情分析 教学目标
教学目标
1.知识与技能：
（1）引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法； （2）简单运用正弦定理解三角形，初步解决某些与测量和几何 计算有关的实际问题。
2.过程与方法：
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力； 通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会 分类讨论和数形结合的思想方法。
教学重点
3.情感，态度与价值观：
教学过程
课堂小结
教学反思
（1）通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的 过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养 探索精神和创新意识； （2）通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值，美学价 值，不断提高自身的文化修养。
教材分析 学情分析 教学目标
《正弦定理》说课课件
教材分析 学情分析 教学目标
教材分析
正弦定理是高中教材人教版必修五第一章第 一节的内容，是使学生在已有知识的基础上， 通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握 三角形中的边长与角度之间的数量关系。在 教学过程中，要引导学生自主探究三角形的 边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一 般三角形进行推导证明，并引导学生分析正 弦定理可以解决两类关于解三角形的问题： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角 形。
高中数学 1.1.1正弦定理课件 新人教A版必修5
证明(zh作èng外m接íng圆)：O,
过B作直径(zhíjìng)BC/,连
ACB/,AC 90, C C '
c
sin C sin C ' c 2R A
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
第十三页，共25页。
ha
而 ha AD c sin B b sin C
B Da
C
∴
S ABC
1 ac sin 2
B
1 absin C 2
∴
同理
SABC
S ABC
1 ab
1 bc 2
sin C
sin A
1 bc sin
2
2
A
1 2
ac sin
B
第二十一页，共25页。
(2)已知两边(liǎngbiān)和其中一边的对角,求其他边
C 30 , a c 4 3
（2）在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求C，a ， b.
C 60 , a 3 3,b 2 3
第八页，共25页。
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B b
3 2 2
2
3
（2）正弦定理应用(yìngyòng)范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)
第十一页，共25页。
正弦(zhèngxián)定理推 广一:
a b c 2RR是ABC外接圆半径
课件高中数学人教A版必修五正弦定理PPT课件_优秀版
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
解: a b
sinA sinB
sinB bsinA 2
2
2 2 1
a
2
B 9ห้องสมุดไป่ตู้0 c 2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
过点A作AD⊥BC于D,
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ ，A＝45°，
(3)b=26, c=15, C=30o
正弦定理应用二： 例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，A＝45°，
练习2、在 ABC中，若 a=2bsinA，则B＝( )
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）
j AC CB j AB
jc
a
求B和c。
j AC j CB j AB （ 根 据 向 量 的 数 量 定 积 义 的 ）
求B和c。
求B和c。
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，A＝45°，
A b C 请你回顾一下：同一三角形中的边角关系
(3)b=26, c=15, C=30o 练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则 a:b:c＝(
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
正弦定理 课件(人教A版必修5)
a sinA
＝sibnB＝sincC＝ 2R
.
(2)正弦定理可变形为a＝ 2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC，也可变形为a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC .
人 教 A 版 ·数
第一章 解三角形
2．(1)由已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 ．(2)由正弦定理，已知三角形中的两角和 一边 ， 可求其余两边和一角；已知三角形中的两边和 其中一边的对角 ， 可求其余两角和一边．
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝π2. ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：(1)直角三角形 (2)等腰三角形或直角三角形
人 教 A 版 ·数
第一章 解三角形
[例4] 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且c＝10，又知ccoossAB＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆的半径．
∵0<2A,2B<2π，2A＋2B<2π；∴2A＝2B或2A＝π－2B.即 A＝B或A＋B＝π2.所以，三角形是等腰三角形或直角三角形．
在得到sin2A＝sin2B后，也可以化为sin2A－sin2B＝0， ∴2cos(A＋B)sin(A－B)＝0，∴cos(A＋B)＝0或sin(A－B)＝ 0.∵0<A＋B<π，且－π<A－B<π，∴A＋B＝π2或A－B＝0，即A＋ B＝π2或A＝B.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
人 教 A 版 ·数
第一章 解三角形
[解] 由ccoossAB＝ba，ssiinnBA＝ba，可得ccoossAB＝ssiinnBA. 变形为sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B. 又∵a≠b，
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
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必修五正弦定理课件
定义：把三角形的三个角A，B，C和三
条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三
角形的几个元素求其它元素的过程叫做解
三角形。
A
c
b
B
a
C
解三角形就是：由已 知的边和角，求未知 的边和角。
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系 （1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
A b OC
B
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R.
正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即
a b c 2R siA n siB n siC n
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角.
60° A
正弦定理
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ
b
a
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b
a≥b
无解
一解
两解
一解
Ａ为直角或钝角
Ｃ a
b
Ａ
Ｂ
a>b
一解
Ｃ a
b
Ａ
a≤b 无解
正弦定理
△ABC中，
（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°， 则a＝√_2___.
C
2060° 20√3
A
B
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 C
sinB＝
b
sinA a
＝1 ，
20
B＝90°.
60°
A
B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝
b
sinA a
＝
2√3
3
，
C
∵
2√3
3
> 1，
20
∴ 无解.
又∵
bc sinB sinC
∴ b csinB sinC
3 sin60 3 2
sin45
2
例 2 在ABC中，已知a＝20，b＝28，
A＝40°，求B和c.
解：∵
sinB＝
b
sinA a
≈0.8999
∴ B1＝64°，B2＝116°
C
b
A
40° B2
B1
已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角.
定理正的弦应定理用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字）。
解： ∵ b c
sinB sinC
且 B 18 (0A C)10 5
∴
b=
c sin B sin C
=
10sin105 sin30
19
在例 2 中，将已知条件改为以下几种 情况，结果如何？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
＝
1 2
，
B＝30°或150°，
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
则B＝_3_0_°_.
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 ，则
3 B＝_7_5_°__或__1_5_°____.
若A为锐角时:
a bsinA
无解
a bsinA 一解直角 bsinAa b二解一锐、一钝
a b
一解锐角
若A为直角或钝角时:aabb一无 解锐解角
小结
1. 正弦定理
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
结束语
谢谢大家聆听！！！
20
bC
正弦定理
B
BAB ' 90 , C B '
sin C sin B ' c
c
2R
c 2R
A
sin C
同理 a 2R, b 2R sin A sinB
a
O
Cin A sinB sinC
正弦定理
A
A
B
Ob C
B`
O bC B` B
b sinB =2R
变式训正练弦：定理
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45，B=60，求a。
解：∵ a b sinA sinB
∴ ab sin A = sin B
3 sin 45 =
sin 60
2
（2）在△ABC中，已知c= 3，A= 75，B= 60，求b。
解：∵ C1800(AB)= 18 0 (75 60 )45
（2）三角： A B C 18 0c
A b
B
（3）边角： 大边对大角
a
C
正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有：
a
b
c
siA n=对c,于s一iB 般n= 的c三,s角iC n=1=c B
a 形是否b也有这个c c=siA n,c=s关i系B n？,c=siC n
c
a
abc ==
A
sinA sinB sinC
定义：把三角形的三个角A，B，C和三
条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三
角形的几个元素求其它元素的过程叫做解
三角形。
A
c
b
B
a
C
解三角形就是：由已 知的边和角，求未知 的边和角。
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系 （1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
A b OC
B
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R.
正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即
a b c 2R siA n siB n siC n
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角.
60° A
正弦定理
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ
b
a
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b
a≥b
无解
一解
两解
一解
Ａ为直角或钝角
Ｃ a
b
Ａ
Ｂ
a>b
一解
Ｃ a
b
Ａ
a≤b 无解
正弦定理
△ABC中，
（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°， 则a＝√_2___.
C
2060° 20√3
A
B
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 C
sinB＝
b
sinA a
＝1 ，
20
B＝90°.
60°
A
B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝
b
sinA a
＝
2√3
3
，
C
∵
2√3
3
> 1，
20
∴ 无解.
又∵
bc sinB sinC
∴ b csinB sinC
3 sin60 3 2
sin45
2
例 2 在ABC中，已知a＝20，b＝28，
A＝40°，求B和c.
解：∵
sinB＝
b
sinA a
≈0.8999
∴ B1＝64°，B2＝116°
C
b
A
40° B2
B1
已知两边和其中一边的对角，可以求出三 角形的其他的边和角.
定理正的弦应定理用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字）。
解： ∵ b c
sinB sinC
且 B 18 (0A C)10 5
∴
b=
c sin B sin C
=
10sin105 sin30
19
在例 2 中，将已知条件改为以下几种 情况，结果如何？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
＝
1 2
，
B＝30°或150°，
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
则B＝_3_0_°_.
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 ，则
3 B＝_7_5_°__或__1_5_°____.
若A为锐角时:
a bsinA
无解
a bsinA 一解直角 bsinAa b二解一锐、一钝
a b
一解锐角
若A为直角或钝角时:aabb一无 解锐解角
小结
1. 正弦定理
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
结束语
谢谢大家聆听！！！
20
bC
正弦定理
B
BAB ' 90 , C B '
sin C sin B ' c
c
2R
c 2R
A
sin C
同理 a 2R, b 2R sin A sinB
a
O
Cin A sinB sinC
正弦定理
A
A
B
Ob C
B`
O bC B` B
b sinB =2R
变式训正练弦：定理
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45，B=60，求a。
解：∵ a b sinA sinB
∴ ab sin A = sin B
3 sin 45 =
sin 60
2
（2）在△ABC中，已知c= 3，A= 75，B= 60，求b。
解：∵ C1800(AB)= 18 0 (75 60 )45
（2）三角： A B C 18 0c
A b
B
（3）边角： 大边对大角
a
C
正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有：
a
b
c
siA n=对c,于s一iB 般n= 的c三,s角iC n=1=c B
a 形是否b也有这个c c=siA n,c=s关i系B n？,c=siC n
c
a
abc ==
A
sinA sinB sinC