中考数学总复习考点系统复习第六节 二次函数的综合应用

当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大（小）值时，通常设表达式 为y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为（h,k），对称轴为直线x=h
当已知抛物线上任意三点时，通常设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c(a≠0)
二、二次函数与几何图形综合题
类型一 二次函数与特殊三角形判定
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y
轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式和对称轴；
(1)解：将A(4，0)，B(－2，0)代入，
得
146aa－＋24bb＋＋44＝＝00，解得
a＝－12. b＝1
∴该抛物线的表达式为y＝－ 1 x2＋x＋4，
2
对称轴为直线x＝－ 1 ＝1； －1×2 2
(2)将该抛物线平移后得到抛物线C1，且其正好经过A、O两点，求出平移后的抛物 线的表达式；
延长线于点K，过点R作RH⊥x轴于点H，
∵对称中心在x轴负半轴上，
∴2FG＝EF＝AB＝6，
例1题解图③
∴FG＝3，点F坐标为(x－3，0)，点H坐标为(1，0)，点K坐标为(x，9 )， 2
根据勾股定理得FR2＝FH2＋RH2＝(x－4)2＋( 9 )2＝x2－8x＋ 145 ，
FT2＝FG2＋GT2＝32＋( 9 )2＝ 117 ，
此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算： 1. 等腰三角形利用两圆一线找交点，即分①已知边为腰时，作圆找点；②已知 边为底时，作线段垂直平分线找点； 2. 直角三角形利用两线一圆找交点，即分①已知边为直角边，分别过边的两端 点作边的垂线找点；②已知边为斜边，作以斜边为直径的圆找点．
类型二 二次函数与特殊四边形判定 例2 已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3)三点． (1)求抛物线L的表达式；
∴N(3，5 )． 2
综上所述，点N的坐标为(5，－ 7 )或(3，5 )；
2
2
(7)如图，设抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的顶点为R，点S是x轴负半轴上一点，抛物线y ＝ax2＋bx＋4与抛物线C2关于点S成中心对称，抛物线C2的顶点为T，与x轴相交于E、 F两点(点E在点F的右侧)，当以点R、T、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点S的 坐标．
2 ∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋
9
，
把C(0，4)代入得a(0－1)2＋
9
2 ＝4，解得a＝－
1
，
∴抛物线的表达式为y＝－ 12(x－1)2＋ 9 .
2
2
2
练习5题图
练习6 已知抛物线经过A(－1，0)，B(1，－4)，C(2，－3)三点，求该抛物线 的表达式．
解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
，
∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
形式二 表达式未给出 练习4 已知抛物线与x轴交于A(－2，0)、B(3，0)两点，且经过点C(－3，－4)， 求该抛物线的表达式．
解：∵抛物线与x轴交于A(－2，0)、B(3，0)两点，
∴可设抛物线表达式为y＝a(x＋2)(x－3)，
∵当x＝0时，y＝4，
【思维教练】要使△RTF为直角三角形，只需要三边满 足勾股定理即可．分三种情况：①当∠RFT＝90°；② 当∠RTF＝90°；③当FR⊥RT时，点T不可能在第三象 限，所以∠FRT≠90°，分别结合勾股定理讨论并求出点 S的坐标．
例1题图
解：由(1)可知抛物线y＝ax2＋bx＋4＝－ 1 x2＋x＋4，
【思维教练】根据函数平移的规律，可知a不变，设出平移后的抛物线表达式，将 点A、O坐标代入表达式即可求解．
解：设平移后的抛物线表达式为y＝－ 1 x2＋cx＋d， 2
代入A(4，0)，O(0，0)，
得
4dc＝－08＋d＝0，解得
c＝2 d＝0.
∴平移后的抛物线表达式为y＝－ 1 x2＋2x； 2
(3)点P是坐标轴上的一点，连接CP，若CP＝BP，求满足条件的点P坐标； 【思维教练】分两种情况讨论：①点P在x轴上，设P(m，0)，②点P在y轴上，设P(0， m)，分别用含有m的代数式表示出CP和BP，根据CP＝BP，列方程求解即可．
将点A(－1，0)、B(1，－4)、C(2，－3)代入，
a－b＋c＝0
a＝1
a＋b＋c＝－4
b＝－2
得 4a＋2b＋c＝－3，解得 c＝－3，
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.
满分技法
待定系数法求表达式方法如下：
表达式已给出 找出抛物线上的两个点或三个点坐标代入即可
表达式 未给出
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x轴的一个交 点时，通常设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），其中抛物线与x轴交 点为（x1,0），（x2,0）
即 117＋x2－2x＋82＝x2－8x＋145，
4
解得x＝－
25，
4
2
∴点S坐标为(－
23
，0)；
4
③∵当FR⊥RT时，点T不可能在第三象限，
∴∠FRT≠90°.
综上所述，当点S的坐标为(－ 7 ，0)或(－ 23 ，0)时，以点R、T、F为顶点
8 的三角形是直角三角形．
4
满分技法
二次函数与等腰三角形或直角三角形判定结合的问题，解决的方法一般为： 1. 用点坐标表示三角形三边长的平方； 2. 根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等，得到三组方程；根据直角三角 形的性质，对直角顶点进行分类讨论，利用勾股定理分别列方程； 3. 分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，则不存在这样 的三角形．
解：将A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
得 9a＋3b＋c＝0
a＝－1
a－b＋c＝0 ，解得 b＝2 ，
c＝3
c＝3
∴抛物线L的表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)求该抛物线的顶点坐标；
【思维教练】求抛物线顶点坐标有以下3种思路：①一般式化为顶点式；②顶点
例1题解图①
①当BQ＝CQ时，32＋n2＝12＋(n－4)2，
解得n＝1，
∴Q1(1，1)； ②当BQ＝BC＝2 5 时，32＋n2＝20， 解得n＝± 11， ∴Q2(1，11)，Q3(1，－ 11)； ③当CQ＝BC＝2 5 时，12＋(n－4)2＝20， 解得n＝4± 19， ∴Q4(1，4＋ 19)，Q5(1，4－ 19)． 综上所述，点Q的坐标为Q1(1，1)，Q2(1， 11)，Q3(1，－ 11)，Q4(1，4＋ 19 )， Q5(1，4－ 19 )；
将点A(4，0)，C(0，4)代入， 得 4dk＝＋4d＝0，解得 kd＝ ＝－ 4 1， ∴线段AC的表达式为y＝－x＋4(0≤x≤4)．
设M(m，－m＋4)(m≠0)，
例1题解图②
∵OA＝OC，∴∠OCA＝45°，
故只需满足∠OMC＝90°或∠COM＝90°即可使△COM为等腰直角三角形， 当OM1⊥AC时，易得∠COM1＝45°， ∴m＝－m＋4，解得m＝2， ∴M1(2，2)； 当OC⊥OM2时，易得点M2与点A重合， ∴M2(4，0)． 综上所述，点M的坐标为(2，2)或(4，0)；
在Rt△BOP中，BP＝ OB2＋OP2＝ 22＋m2＝ 4＋m2 ，
∵CP＝BP，即(4－m)2＝4＋m2，
解得m＝ 3 ，
∴P(0，3
2 )．
综上所述2 ，满足条件的点P坐标为(3，0)、(0，3 )；
2
(4)在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得△QBC为等腰三角形？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【思维教练】要使得△QBC为等腰三角形，则只需满足三边中有任意两边相等即 可．分BQ＝CQ、BQ＝BC和CQ＝BC三种情况进行讨论． 解：存在点Q，使△QBC为等腰三角形． 如解图①，连接BC，设Q(1，n)， BC＝ OB2＋OC2＝ 22＋42＝2 5，BQ＝ 32＋n2，CQ＝ 12＋（n－4）2，
第六节 二次函数的综合应用
(每年第24题必考；10分)
重难点突破
一、二次函数表达式的确定 形式一 表达式已给出 练习1 已知抛物线y＝ax2－4x＋c，若抛物线的顶点坐标为(－2，4)，求该抛物线 的表达式． 解：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)， ∴抛物线对称轴为直线x＝－2， ∴－ －4 ＝－2，解得a＝－1，
(6)点N是抛物线上一点，连接BC、BN、CN，若△BCN是以BC为直角边的直角三角形， 确定点N的坐标；
【思维教练】要使△BCN为直角三角形，且BC为直角边，则只需满足∠B＝90°或∠C ＝90°即可．分BC⊥BN和BC⊥CN两种情况讨论，注意结果要符合题目条件“点N在 抛物线上”． 【知识拓展】此处可设出点N坐标，根据两垂直直线斜率之积等于－1计算．
∴－6a＝4，解得a＝－ 2 ，
3 ∴该抛物线的表达式为y＝－
2
(x＋2)(x－3)＝－ 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2＋ 2
x＋4.
3
33
练习5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与 y轴交于点C(0，4)，顶点坐标为(1，92 )，求该抛物线的表达式．
解：∵抛物线顶点坐标为(1，9 )，
如解图③，抛物线C2与抛物线y＝－
1 2
2 x2＋x＋4关于点S成中心对称，
∴顶点R、T关于点S成中心对称，
∵点R是抛物线y＝－ 1 x2＋x＋4的顶点，
∴点R(1，9 )，
2
2 ∴点T的纵坐标为－
9
，设点T坐标为(x，－
9 )，则S(
x＋1
，0)，
2