. (2)432113)42
(g a x x x x =++有且仅有3个极值点 ?223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根,则0x =或210x ax ++=,2a <-
方程210x ax ++=有两个非零实根,所以240,a ?=->
2a ∴<-或2a >
而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点
1、(最值问题与主元变更法的例子).
例10已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+)
(0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围.
解:(Ⅰ)32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-
令'()f x =0,得[]1240,2,13
x x ==?- 因为0>a ,所以可得下表:
因此)0(f 必为最大值,∴50=)(f 因此5=b , (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-,
即11516)2(-=+-=-a f ,∴1=a ,∴ .52(23+-=x x x f )
(Ⅱ)∵x x x f 43)(2-=',∴0(≤+'tx x f )等价于0432≤+-tx x x ,
令x x xt t g 43)(2-+=,则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时,求实数x 的取值范围,
为此只需???≤≤-0)10)1((g g ,即???≤-≤-0
05322x x x x , 解得10≤≤x ,所以所求实数x 的取值范围是[0,1].
2、(根分布与线性规划例子)
例11已知函数322()3f x x ax bx c =
+++ (Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求)(x f 的解析式;
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.
解: (Ⅰ). 由2()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,
∴ 220a b ++=
∵ (0)1f = ∴ 1c =
又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行,
∴ (0)3f b '==- 故 12a = ∴ 3221()3132
f x x x x =
+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>??'?'>? 即 0220480b a b a b >??++?++>? 令(,
)M x y , 则 21
x b y a =-??=+? ∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20220460x y x y x +>??++?++>?
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3(0,)2
E -, 2ABC S ?=
同时DE 为△ABC 的中位线, 13
DEC ABED S S ?=四边形 ∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k >, 1S =四边形DEGF
由 220y kx y x =??++=?
得点F 的横坐标为: 221F x k =-+
由 460
y kx y x =??++=? 得点G 的横坐标为: 641G x k =-+ ∴OGE OFD S S S ??=-四边形DEGF 61311222214121
k k =??-?+?=+即 216250k k +-= 解得: 12k = 或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 12
y x = 综上,所求直线方程为: 0x =或
12
y x = .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>??'?'>? 即 0220480b a b a b >??++?++>? 令(,
)M x y , 则 21x b y a =-??=+?
∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20220460x y x y x +>??++?++>?
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3(0,)2
E -, 2ABC S ?= 同时DE 为△ABC 的中位线, 13
DEC ABED S S ?=四边形 ∴所求一条直线L 的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为: 12
y x =, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12220y x y x ?=???++=?
得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H --
∵ 2ABC S ?=, 1112222DEC S ?=??=, 11222211122
H ABO AOH S S S ???=-=??-??=AB ∴ 所求直线方程为: 0x = 或12
y x = 3、(根的个数问题)例12已知函数32f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。
(Ⅰ)求c d 、的值;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为
3x y 110+-=,求函数f ( x )的解析式;
(Ⅲ)若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根,求实数a 的取
值范围。
解:由题知:2f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
(Ⅰ)由图可知
函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且()1f '= 0 得332c 320d a b a b =??++--=?????==0
3c d (Ⅱ)依题意 ()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5
124323846435a b a b a b a b +--=-??+--+=?
解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3
(Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a >0 )
()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0?b = – 9a ①
若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )<8a <f ( 1 )
② 由① ② 得 – 25a + 3<8a <7a + 3?11
1<a <3 所以 当11
1<a <3时,方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12分 4、(根的个数问题)例13已知函数321()1()3
f x x ax x a R =--+∈ (1)若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值,且122x x -=,求a 的值及()f x 的单调区间;
(2)若12a <
,讨论曲线()f x 与215()(21)(21)26g x x a x x =-++-≤≤的交点个数. 解:(1)2()21f'x x ax =--
0a ∴=………………………………………………………………………2分 令()0f x '>得1,1x x <->或
令()0f x '<得11x -<<
∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-,(1,)+∞,单调递减区间为(1,1)-…………5分
(2)由题()()f x g x =得3221151(21)326
x ax x x a x --+=-++ 即32111()20326
x a x ax -+++= 令32111()()2(21)326
x x a x ax x ?=-+++-≤≤……………………6分 令()0x ?'=得2x a =或1x =……………………………………………7分 当22a ≤-即1a ≤-时
0a <,有9分
221(32)036
a a -+>, ∴当9802a -->即9116
a -<<-时,有一个交点;
当
9
800
2
a a
--≤≤
,且即
9
16
a
-≤≤时,有两个交点;
当
1
2
a
<<时,
9
80
2
a
--<,有一个交点.………………………13分
综上可知,当
9
16
a<-或
1
2
a
<<时,有一个交点;
当
9
16
a
-≤≤时,有两个交点.…………………………………14分