清华附中自主招生数学题
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
北京清华附中上地学校C21级数学几何综合练习及答案
1．西城20242．东城2024在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；（2）当BD≠CD时(图2中BD＜CD，图3中BD>CD) ，F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE的大小，并证明．已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-α，得到线段BE，连接DE ，F为DE的中点，连接AF，BF.（1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得AF=成立，并证明.图1 图2已知在△ABC 中，AB =AC ，0°<∠BAC <90°，将线段AC 绕点 A 逆时针旋转α得到线段AD ，连接ＢD ，CD ．（1）如图1，当∠BAC =α时，∠ＡBD=（用含有α的式子表示）； （2）如图2，当α=90°时，连接BD ，作∠BAD 的角平分线交BC 的延长线于点F ，交BD于点E ，连接DF ．①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC 的度数；②用等式表示线段AF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．图1 图2如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，60BAC ∠=°．D 是边BA 上一点（不与点B 重合且12BD BA <），将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接DE ，AE ． （1）求CAE ∠的度数；（2）F 是DE 的中点，连接AF 并延长，交CD 的延长线于点G ，依题意补全图形．若G ACE ∠=∠，用等式表示线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．DABCE如图，在等边三角形ABC中，E，F分别是BC，AC上的点，且BE CF=，AE，BF交于点G.（1）AGF∠=°；（2）过点A作AD∥BC（点D在AE的右侧），且AD BC=，连接DG.①依题意补全图形；②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系，并证明.如图，△ABC中，AC=BC ,∠ACB=90°，D为AB边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥AE于F.（1）依题意补全图形，（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明.8．通州如图，△ABC中，90∠=︒，AC = BC，点D在AB的延长线上，取AD的中点F，连结CD、ACBCF，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连结AE、BE.（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE、CF的数量关系及所在直线的位置关系，并证明.1．2．（1）证明：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠C =30°.将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ， ∴DE =DA ，∠ADE =60°. ∴△ADE 是等边三角形. ∴∠BAE =60°. ∴∠AHB =90°.∴BC ⊥AE. ………..3分（2）解：选择图2：①补全图形如图所示：………..4分②猜想∠AFE =90°. ………..5分证明：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接AE . 则∠AHB =∠AHC =90°. ∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠CAH =12∠BAC =60°，∠C =30°. ∴AH =12AC . ∵F 为线段AC 中点， ∴AF =12AC . ∴AH =AF .由（1）可知△ADE 是等边三角形. ∴∠DAE =60°=∠CAH ，AD=AE. ∴∠DAH =∠EAF .在△ADH 和△AEF 中，.DAH EA AD AE AH AF F ∠==⎧∠⎪⎨⎪=⎩，， ∴△ADH ≌△AEF （SAS ）.∴∠AFE =∠AHD =90°. ………7分 选择图3：①补全图形如图所示：②（选择图3的答案与选择图2的答案一致）3.（1）解：补全图1，如图.90.（2）60.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接BG，连接GE并延长，与AB的延长线于点H.∵F是DE的中点，∴DF=EF.∵∠DF A=∠GFE，∴△DF A≌△GFE.∴AD=GE，∠DAF=∠FGE.∴AD//EG.∴∠DAB+∠H=180°.在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-（∠DAB-∠DAC）-（∠EBA-∠EBC）=180°-∠DAB+α-∠EBA+180°-α=∠H+∠EBH=∠BEG.∵BE=CE，AD=AC=GE，∴△ABC≌△BEG.∴AB=BG，∠ABC=∠GBE.∴AF⊥BF，∠ABG=2∠ABF，∠ABG=∠EBC.∵α=60°，∴∠EBC =180°-α=120°.∴∠ABF=60°.∴∠F AB=30°.∴AF=√3BF.4. （1）∠ABD=90°-α． ··················································1分（2）①解：依题意补全图形. ·······································2分5．（1）解：取AB 的中点M ，连接MC ，如图.∵90ACB ∠=°， ∴CM AM =. 又∵60CAM ∠=°， ∴ACM △是等边三角形. ∴160ACM ∠=∠=°，CA CM =. ∵60DCE ∠=°， ∴23∠=∠． 又∵CE CD =， ∴ACE △≌MCD △．∴41801120CAE ∠=∠=−∠=°°. ………………………… 3分（2）依题意补全图形（略）．线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系：FG AF AE =+.证明：过点D 作DN ∥AE 交AG 于点N ，如图．∴FDN △∽FEA △. ∴ND NF FDAE AF FE==． ∵FD FE =，∴ND AE =，NF AF =．∵12060180CAE ACM ∠+∠=+=°°°， ∴CM ∥AE ． ∴CM ∥DN ．∴53∠=∠．∵2G ∠=∠，23∠=∠， ∴5G ∠=∠． ∴NG ND AE ==．∵FG NF NG =+，NF AF =，4321M DABCE54321N GFM DABCE6．（1）60；………….………..……….2分（2）①依题意补全图形，如图.………….………..……….4分②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系：2223AG BG DG+=.………….………..……….5分证明：作120GAM∠=︒，在AM截取AP AG=，连接GP，PD.∵AP AG=,120GAP∠=︒,∴30AGP APG∠=∠=︒.∵△ABC是等边三角形，∴AB BC=,60ABC∠=︒.又∵AD BC=,∴AB AD=.∵AD∥BC，∴180ABC BAD∠+∠=︒.∴120BAD∠=︒.∵120GAP∠=︒,∴BAG DAP∠=∠.∴△BAG≌△DAP（SAS）.∴BG DP=，120APD AGB∠=∠=︒.∵30APG∠=︒，∴90DPG∠=︒.∴222GP DP DG+=.过点A作AQ GP⊥于点Q，在Rt△AGQ中，∵30AGQ∠=︒，cosGQAGQAG∠=，∴2GQ AG=.∴2GP GQ==.又∵BG DP=，∴2223AG BG DG+=. ………….………..……….7分DGFE CBAMQPH DGFE CBA7．27.解：（1）依题意补全图形 (1)（2）∠FCE=∠EAD (2)证明：在△ABC中，AC=BC , D为AB边中点∴CD⊥AB，∠ADE=90°，∴∠DAE+∠E=90°.∵CF⊥AE，∴∠CFE=90°，∴∠FCE+∠E=90°.∴∠FCE=∠EAD (3)（3）∠CFD=45° (4)证明如下：在CF上取一点H，使CH=AF，连结DH. (5)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC ，D为AB边中点，∴AD =DB=CD由（2）可知∠HCD=∠FAD∴△HCD≌△FAD (6)∴HD=FD，∠HDC=∠ADF∴CD⊥AB，∠ADC=90°，∠HDC+∠ADH=90°.∴∠ADF+∠ADH=90°.即∠FDH=90°∴△FDH是等腰直角三角形.∴∠CFD=45°. (7)B8．（1）如图…………………………1分（2）BE = 2CF，BE⊥CF证明：取AC中点M，连结FM∵F为AD中点∴FM∥CD，12 FM CD=∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE∴12 FM CE=∵AC = BC∴1122 CM AC CB ==∴CM FMBC EC=…………………………2分∵FM∥CD∴∠FMC+∠DCA=180°∴∠FMC=180°-∠DCA=90°-∠ECA∵∠BCE=90°-∠ECA∴∠FMC=∠BCE …………………………3分∴△FMC∽△ECB …………………………4分∴BE = 2CF，∠BEC=∠CFM …………………………5分∵DC⊥CE∴FM⊥CE∴∠FCE+∠CFM =90°∴∠FCE+∠BEC=90° …………………………6分∴BE⊥CF. …………………………7分。
北京市清华大学附中全国高校自主招生考试数学复习讲义：第四讲数列与极限()
第四讲数列与极限例 1（ 2009 四川初赛）已知正项特别值数列a n , b n知足 a n ,b n , a n 1成等差数列， b n , a n 1,b n 1成等比数列，令 c n b n，则以下对于数列c n的说法正确的选项是（）A ．c n为等差数列B ．c n为等比数列C．c n的每一项为奇数 D ．c n的第一项为偶数例 2（ 2010 年上海交大）,,c ,abc0,b, ()2(c)x(a b)0有两a b R c a b c x b a c相等实根。
1 1 1求证：, ,成等差数列。
例 3（2008浙江初赛）已知数列 { x n } ，满足 ( n1) x n 1 x n n, 且 x1 2 ，则x2005。
例 4（ 2009 年北京大学）已知由正整数构成的无量等差数列中有三项：13， 25， 41。
求证： 2009为此中的一项：例 5（2010 年上海交大）两个等差数列200，203， 206，和 50，54，58都有 100 项，它们共同的项的个数是（）例 6 若[ x]表示不超出x的最大整数（如[1.3] 1,[ 21] 3 等等），41则11111 23234 3 420112010 20112=。
例 7（ 2006 年复旦大学）已知数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ，a n1, 求S 2003 ．n 1 n )( n 1 n 1)( n(n 1)例 8（ 2012 年光约）等差数列 a 1 , a 2 , 知足 a 313, a 7 3 。
这个数列的前 n 项和为 S n ，问数列 S 1 , S 2 , 中哪一项最小，交求出这个最小值。
例 11（ 2011 年光约）已知函数 f ( x)2x , f (1) 1, f12, 令 x 1 1 ， x n 1 f ( x n ) ．ax b23 2（Ⅰ）求数列 { x n } 的通项公式；（Ⅱ）证明： x 1 , x 2 x n1．2e2例 12. 已知数列a n知足a10, a n 1nP n qa n.（1）若q 1.求a n等于多少？（2）若P 1, q 1.求证：数列a n有界 .3。
2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(强基计划)-学生用卷
2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷（强基计划）-学生用卷1、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第1题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 已知x 2+y 2⩽1，求x 2+xy −y 2的最值．2、【来源】设a ，b ，c 均为大于零的实数，若一元二次方程ax 2+bx +c =0有实根，则（ ）． A. max {a,b,c }⩾12(a +b +c) B. max {a,b,c }⩾49(a +b +c) C. min {a,b,c }⩽14(a +b +c) D. min {a,b,c }⩽13(a +b +c)3、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第13题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试|a →|⩽1，|b →|⩽1，|a →+2b →+c →|=|a →−2b →|，则|c →|的最值为( ) A. 最大值为4√2 B. 最大值为2√5 C. 最小值为0 D. 最小值为24、【来源】在△ABC 中，AC =1， BC =√3，AB =2，M 为AB 的中点，将△BCM 沿CM 折起，使得三棱锥B −ACM 的体积为√212，则折起后AB 的长可以为（ ）．A. 1B. √2C. √3D. 25、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第5题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为椭圆x24+y23=1上一点，A(1,0)，B(1,1)，求|PA|+|PB|的取值范围．6、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第7题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为双曲线x24−y2=1上一点，A(−2,0)，B(2,0)，令∠PAB=α，∠PBA=β，下列为定值的是()A. tanαtanβB. tanα2tanβ2C. S△PAB tan(α+β)D. S△PAB cot(α+β)7、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第2题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试非等边三角形ABC中，BC=AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，D在BC上，OD⊥BP，下列选项正确的是()A. BODP四点共圆B. OD//ACC. OD//ABD. DP//AC8、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第3题已知集合A，B，C⊆{1,2,3,⋯,2020}，且A⊆C，B⊆C，则有序集合组(A,B,C)的个数是（）．A. 22020B. 32020C. 42020D. 520209、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第4题已知数列{a n }满足a 0=1，|a i+1|=|a i +1|(i ∈N )，则A =|∑a k 20k=1|的值可能是（ ）． A. 0B. 2C. 10D. 1210、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第6题 已知△ABC 的三条边长均为整数，且面积为有理数，则|AB |的值可能是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 411、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第8题甲、乙、丙三人一起做同一道题，甲说：“我做错了．”，乙说：“甲做对了．”，丙说：“我做错了．”，而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁可能做对了题目（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 没有人12、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第9题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =√3，BC =1，PA→|PA →|+PB →|PB →|+PC →|PC →|=0→，以下正确的是（ ）．A. ∠APB =120°B. ∠BPC =120°C. 2BP =PCD. AP =2PC13、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第10题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 lim n→∞∑arctan n k=12k 2=( )A. 34π B. π C. 3π2D. 7π314、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第11题从0∼9这十个数中任取五个数组成一个为五位数ABCDE （A 可以为0），则396|ABCDE 的概率是（ ）． A.1396B.1324C.1315D.121015、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第12题随机变量X (=1,2,3,⋯)，Y (=0,1,2)，满足P (X =k )=12k 且Y ≡X (mod3)，则E (Y )=（ ）． A. 47B. 87C. 127D. 16716、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第14题若存在x ，y ∈N ∗，使得x 2+ky ，y 2+kx 均为完全平方数，则正整数k 可能是（ ）． A. 2B. 4C. 5D. 617、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第15题 求值：sin(arctan1+arccos√10+arcsin√5)=（ ）．A. 0B. 12C. √22D. 118、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第16题已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱和底面夹角为β，则（）．A. cosα+tan2β=1B. secα+tan2β=−1C. cosα+2tan2β=1D. secα+2tan2β=−119、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第17题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试已知f(x)=2e xe x+e−x+sinx，x∈[−2,2]，则f(x)上下界之和为．20、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第18题已知函数f(x)的图象如图所示，记y=f(x)，x=a，x=t(a<t<c)及x轴围成的曲边梯形面积为S(t)，则下列说法正确的是（）．A. S(t)⩽cf(b)B. S′(t)⩽f(a)C. S′(t)⩽f(b)D. S′(t)⩽f(c)21、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第19题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试定义数列{a n }，若∀n ∈N ∗，∃m ∈N ∗，使得S n =a m ，则称数列{a n }为“某数列”，以下正确的是( )A. a n ={1,n =12n−2,n ⩾2，数列{a n }为“某数列”B. a n =kn ，k 为常数，则{a n }为“某数列”C. 存在任意两项均不相同的某数列a n ，且对于任意n ∈N ∗，|a n |<√nD. 对任意等差数列{a n }，存在“某数列”{b n }和{c n }，使得a n =b n +c n22、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第20题求值：∫sin 2xsin 4x+cos 4x2πdx =（ ）．A. πB. √2πC. 2πD. √5π23、【来源】已知f(z)=z 10+z −10+12(z 5+z −5)，则（ ）． A. f(z)=0存在实数解B. f(z)=0共有20个不同的复数解C. f(z)=0复数解的模长都等于1D. f(z)=0存在模长大于1的复数解24、【来源】设多项式f(x)的各项系数都是非负实数，且f(1)=f ′(1)=f ′′(1)=f ′′′(1)=1，则f(x)的常数项的最小值为（ ）． A. 12B. 13C. 14D. 1525、【来源】《红楼梦》《三国演义》《水浒》《西游记》四部书分列在只有四层架子的书柜的不同层上，小赵、小钱、小孙，小李分别借阅了四部书中的一部，现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》陈列在第四层，则（）．A. 《水浒》一定陈列在第二层B. 《西游记》一定陈列在第一层C. 小孙借阅的一定是第三层的书籍D. 小李借阅的一定是第四层的书籍26、【来源】设数列{a n}的前n项和为S n=(−1)n a n+12n+n−3，且实数t满足(t−a n+1)(t−a n)<0，则t的取值范围是（）．A. (−34,11 4)B. (−34,11 5)C. (−35,11 4)D. (−35,11 5)27、【来源】已知实数a，b满足a3+b3+3ab=1，设a+b的所有可能取值构成的集合为M，则（）．A. M为单元素集B. M为有限集，但不是单元素集C. M为无限集，且有下界D. M为无限集，且无下界28、【来源】设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=0相切，则圆C 面积的最小值为（ ）． A. π5B. 2π5C. 4π5D. π29、【来源】设α，β为锐角，且cos(α+β)=sin αsin β ，则tanα的最大值为（ ）． A. √24B. √33 C. 1 D. √230、【来源】设函数f(x)=e x +a(x −1)+b 在区间[1,3]上存在零点，则a 2+b 2的最小值为（ ）． A. e2 B. e C. e 22 D. e 231、【来源】设复数z 满足|3z −7i |=3，令z 1=z 2−2z+2z−1+i，则|z 1|的（ ）．A. 最大值为83B. 最大值为73C. 最小值为43D. 最小值为2332、【来源】在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（ ）． A. 10B. 11C. 12D. 1333、【来源】设实数x 1，x 2，⋯，x 21满足0⩽x i ⩽1（i =1,2,⋯,21），则∑21i=1∑|x i −x k |21k=1的最大值为（ ）． A. 110B. 120C. 220D. 24034、【来源】已知实数x ，y ，z 满足{ 19x 3−13y 2−y =119y 3−13z 2−z =119z 3−13x 2−x =1，则（ ）．A. (x,y,z)只有1组B. (x,y,z)有4组C. x ，y ，z 均为有理数D. x ，y ，z 均为无理数35、【来源】使得nsin1>1+5cos1成立的最小正整数n 的值为（ ）． A. 3B. 4C. 5D. 636、【来源】已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点为Z 1，Z 2，O 为坐标原点，若|z 1|=1，5z 12−2z 1z 2+z 22=0，则△OZ 1Z 2的面积为（ ）．A. 1B. √3C. 2D. 2√31 、【答案】见解析;2 、【答案】 B;C;D;3 、【答案】 B;C;4 、【答案】 B;C;5 、【答案】[4−√5,4+√5];6 、【答案】 A;C;7 、【答案】 A;D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;D;10 、【答案】 C;D;11 、【答案】 A;B;12 、【答案】 A;B;C;D;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 B;16 、【答案】 C;D;17 、【答案】 D;18 、【答案】 D;19 、【答案】 2;20 、【答案】 A;C;21 、【答案】 A;B;C;D;22 、【答案】 B;23 、【答案】 B;C;24 、【答案】 B;25 、【答案】 C;D;26 、【答案】 A;27 、【答案】 B;28 、【答案】 C;29 、【答案】 A;30 、【答案】 D;31 、【答案】 A;D;32 、【答案】 C;33 、【答案】 C;34 、【答案】 A;D;35 、【答案】 C;36 、【答案】 A;第11页，共11页。
2019-2020学年北京市清华附中高三(下)自主练习数学试卷(2)(有答案解析)
一、选择题（本大题共 10小题，共40.0分） 1 .已知集合/=升，8= {—,则 J 门 7?=（） 5? 2A.B. 1C. 1D.2 .若复数:=於（"-打满足|加）2 ,则实数a 的取值范围是（）A. ■ 'B. I3 .已知向量 才与匕不共线，且 AB - 7f + in b （“爆I ） , AC, - rtTT 4》.若A, B, C 二点共线，则实数m, n 满足的条件为（）A. ：•："- 】B. ：•,、・ ：: 一 、C. J ' * = ।D. u = 一：4 .鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的棒卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图 （单位：汕用），则此 构件的体积为A. 3;股皿•”/B. ।C. 32g 歹/D. ।5 .设函数/⑺的定义域为R,则“函数”二的图象关于y 轴对称”是“函数f （；r ）为奇函数” 的，A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6 .若实数x, v, z 互不相等，且满足 万=3"=】呜1，则（）A. 'B.C.z>ijD.以上三个答案都不正确7 .教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为 （）A. 84B. 42C. 41D. 358 .设f 是平面直角坐标系xOy 到自身的一个映射，点 仪北川在映射f 下的像为点QL 去?，记作Q = W ）,已知R （16⑼，几M = f （Pn ），其中4 = 1 , 2, 3, •—，那么对于任意的正整数 n,（）2019-2020学年北京市清华附中高三 （下） 自主练习数学试卷（2）A.存在点M,使得同Q 1。
B.不存在点M,使得《5/5C.存在无数个点M,使得A/PJ £ 61/5D.存在唯一的点 M,使得|A 『尸/工总9 .已知正方体 ABCD A\B l C i D\的棱长为2, P 是底面ABCD 上的动点，「人学，则满足 条件的点P 构成的图形的面积等于（）—nr-r加 /A. 1B.C.D.10 .在同一平面内，已知 A 为动点，B, C 为定点，且,上AC 8于三,H 「=l , P 为BC12 .能说明“设数列｛出J 的前n 项和8 ,对于任意的n Cw ,若为一]> J ,则S M 1 > 乩"为假 命题的一个等差数列是 一（写出数列的通项公式）13 .椭圆C 弓一强二】与曲线Q ：关于直线y = t 对称，G 与G?分别在第一、二、三、四象限交 于点n ,几,A ,乃.若四边形nnpg 的面积为4,则点A 的坐标为, Ci 的离心率 为. 14 .已知函数/（1）,对于任意实数一工E [G 闺,当日工也戈入时，记\f （r ）-的最大值为①若/㈤=- 1）'，则力（阴⑵-；一工"—2工工点_二则。
清华大学自主招生试题数学
2021年自主招生华约数学试题一、选择题(1) 设复数z满足|z|<1且15||2zz+=那么|z| = ( )4321 A B C D 5432解：由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2〔舍去〕，12 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角。
那么异面直线DM与AN所成角的余弦为( )1111A B C D36812[分析]此题有许多条件，可以用“求解法〞，即假设题中的一局部要素为，利用这些条件来确定其余的要素。
此题中可假设底面边长为〔不妨设为2〕，利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，。
如图建立坐标系，那么A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，)，那么1111(,,),(,,222222M N-，31213(,,),(,,222222DM AN=-=-。
设所成的角为θ，那么1 cos6DM ANDM ANθ==。
解法二：如图，设底面边长为2，。
平移DM 与AN 在一起。
即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN= AQ= ，容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。
解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。
即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。
以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，那么直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)假设222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 () 3131A1,B ,C1D ,122222222--+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
2024北京清华附中初三(下)开学考数学试卷和答案
2024北京清华附中初三（下）开学考数学（清华附中初21级）一、选择题（本大题共24分，每小题3分）1.某种计算机完成一次基本运算需要1纳秒，即0.000000001秒，那么这种计算机连续完成200沙基本运算所需要的时间用科学记数法表示为（）A.7210-⨯秒B.6210-⨯秒C.60.210-⨯秒D.920010-⨯秒2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图，黑白棋子摆成的图案里下一黑棋，黑棋落在（）号位置上使棋子构成的图形既是轴对称图形也是中心对称图形．A.1B.2C.3D.43.无理数的值在（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间4.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a +b ＝0，那么下列结论正确的是（）A.|a |＞|c |B.a +c ＜0C.abc ＜0D.0a b=5.将三角尺与直尺按如图所示摆放，若α∠的度数比∠β的度数的三倍多10︒，则α∠的度数是（）A.20︒B.40︒C.50︒D.70︒6.若关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A.1k < B.1k ≤ C.1k <且0k ≠ D.1k ≤且0k ≠7.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（）A.18B.16C.13D.128.如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，且OD AB ⊥于点O ，点C 是 AD 的中点，连接BC 交OD 于E ，连接AC CD OC 、、．则下列说法：①22.5ABC ∠=︒；②E 为OD 中点；③CD CE =；④2AC OE <．正确的有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9.有意义，则x 的取值范围是________．10.分解因式：x 3﹣6x 2+9x =___．11.方程24133x x+=--的解是_______．12.已知点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 都在反比例函数2y x=的图象上，若1230x x x <<<，则123,,y y y 的大小关系是______．（用“>”连接）13.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名树中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力4.7以下 4.7 4.8 4.95.0 5.0以上人数989686958243根据抽样调查结果，估计该地区20000名初中学生视力不低于4.9的人数为______．14.如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点F ，则BF 的长为______．15.如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AB ⊥，交AC 于点D ．过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点E ，若,1CD OD CE ==，则AB 的长为______．16.小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：第一行：第二行：第三行：第四行：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是______有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是______．三、解答题（本题共72分，第17~21题，每小题5分，第22~23题，每小题6分，第24～26题，每小题7分，第27题8分，第28题6分）17.计算：220241(1)322cos302-⎫⎛-++︒+ ⎪⎝⎭．18.解不等式组：()5131221323x x x x ⎧-<-⎪⎨--≥⎪⎩①②19.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O 及⊙O 上一点P．求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，作射线OP ；①在直线OP 外任取一点A ，以A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B ；②连接并延长BA 与⊙A 交于点C ；③作直线PC ；则直线PC 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC =90°（填推理依据）．∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（填推理依据）．20.已知114b a -=-，求332a ba b ab--+的值．21.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,4A --和()10B ,．（1）求该一次函数的解析式；（2）当1x ≤-时，对于x 的每一个值，反比例函数()0my m x=≠的值大于一次函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围．22.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BC 于点E ，点F 在BC 延长线上，且CF ＝BE ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AF ，若tan 2ABC ∠=，BE ＝1，AD ＝3，求AF 的长．23.某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．组别平均数中位数众数方差甲组7a62.6乙组b7cd（1）以上成绩统计分析表中=a ______，b =______，c =______，d =______；（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选______组．24.如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点D 是 AC 的中点，连接BD 交AC 于点E ，延长BD 至F ，使DF DE =．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若14,tan 2BD ABD =∠=，求BC 的长．25.2022年世界杯足球赛于11月21日至12月18在卡塔尔举行，如图，某场比赛把足球看作点.足球运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足抛物线()210y a x h =-+，如图所示，甲球员罚任意球时防守队员站在他正前方8m 处组成人墙，人墙可达的高度为2.2m ，对手球门与甲球员的水平距离为18m ，球门从横梁的下沿至地面距离为2.44m ．假设甲球员踢出的任意球恰好射正对手球门．（1）当3h =时，足球是否能越过人墙？并说明理由；（2）若甲球员踢出的任意球能直接射进对手球门得分，求h 的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy 中，()()1122A x y B x y ，，，是拋物线()20y x bx b =-+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =．（1）若抛物线经过点()20，，求h 的值；（2）若对于1212x h x h =-=，，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于122121h x h x -≤≤+-≤≤-，，存在12y y <，直接写出h 的取值范围．27.如图，在ABC 中，(),90180AB AC BAC αα=∠=︒<<︒，点M 为线段BC 上一点（不与,B C 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转α得线段MN ，连接,AN CN ．（1）依题意补全图形；（2）求证：NAC NMC ∠=∠；（3）求证：CN AB ∥．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()(),M a b a b ≠．对于点,P Q 给出如下定义：若点P 关于直线y ax =的对称点为点P '，点P '与点Q 关于直线y bx =对称，则称点Q 是点P 关于点M 的“对应点”．（1）已知点()1,0M ，点(),1P t ，点Q 是点P 关于点M 的“对应点”，①如图1，当2t =时，点Q 的坐标为______；②若PQ 的长度不超过4，求t 的取值范围；（2）已知点(),M a b 在直线y x =-上，如图2，直线32y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，对于线段AB 上（包括端点）任意一点C ，若以1为半径的C 上总存在一点P ，使得点P 关于点M 的“对应点”在x 轴的负半轴上，直接写出符合条件的a 的值．参考答案一、选择题（本大题共24分，每小题3分）1.【答案】A 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a 与n 的值是解题的关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数，据此判断即可．【详解】解：70.000000001200210-⨯=⨯秒；故选：A2.【答案】B 【分析】轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合的一个图形；中心对称图形定义：绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形就叫中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．【详解】解：根据图案，在1、3、4位置无论放置黑棋还是白棋，既不能构成轴对称图形也不能构成中心对称图形，因此只能选择2位置：2位置放置黑棋，即能构成轴对称图形也能构成中心对称图形；2位置放置白棋，既不能构成轴对称图形也不能构成中心对称图形，∴放置黑棋，使棋子构成的图形既是轴对称图形也是中心对称图形，只能在2位置，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解决问题的关键．3.【答案】C 【分析】先计算出（）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出【详解】解：（）2=22×）2=4×6=24，∵16＜24＜25，∴4＜＜5．故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（）2是解题的关键．4.【答案】C 【分析】根据a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．【详解】∵a+b=0，∴原点在a ，b 的中间，如图，由图可得：|a|＜|c|，a+c ＞0，abc ＜0，ab=-1，故选C.【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．5.【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的概念是解题的关键．根据角的和差列出方程组即可得到结论．【详解】解：根据题意得，90310∠+∠=︒∠=∠+︒，，αβαβ31090∴∠+︒+∠=︒ββ，解得2070βα∠=︒∠=︒，，答：α∠的度数是70︒，故选：D ．6.【答案】D 【分析】根据一元二次方程2690kx x -+=有实数根可知道判别式大于等于零且0k ≠，解不等式即可求解．【详解】解：∵方程2690kx x -+=有实数根，∴()22464936360b ac k k ∆=-=--⨯=-≥，0k ≠，∴1k ≤，且0k ≠．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式240b ac ∆=->时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式240b ac ∆=-=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式24<0b ac ∆=-时，一元二次方程没有实数根．7.【答案】B 【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A ，B ，C ，D ，画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A ）和《大学》（即C ）的可能结果有2种可能，∴P （抽取的两本恰好是《论语》和《大学》）21126==，故选：B ．【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．8.【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理判断①即可；在OB 上取点F ，使得OE OF =，根据等腰三角形的判定和性质判断②；然后利用等角对等边判断③即可；过点A 作AG AB ⊥交BG 的延长线于点G ，构造2AG OE =，然后利用垂线段最短判断④即可解题．【详解】解：∵OD AB ⊥，∴90AOD ∠=︒，又∵点C 是 AD 的中点，∴1452AOC AOD ∠=∠=︒，∴122.52ABC AOC ∠=∠=︒，故①正确，在OB 上取点F ，使得OE OF =，则45EFO ∠=︒，∴22.5FEB ABC ∠=∠=︒，∴EF FB OE =≠，∴2OD OB OE =≠，故②错误；∵22.5ABC ∠=︒，∴909022.567.5CED OEB ABC ∠∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵1452DCB DOB ∠=∠=︒，∴18067.5CDE CED DCB CED ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴CD CE =，故③正确；过点A 作AG AB ⊥交BG 的延长线于点G ，则OE AG ，∴BEO BGA ∽，∴2AG ABOE OB==，即2AG OE =，又∵AB 是直径，∴90ACG ∠=︒，∴AG AC >，即2AC OE <，故④正确；故选C ．二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9.【答案】2x <【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．有意义，∴2-x ＞0，解得：x<2．故答案为：x<2．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键．10.【答案】x （x ﹣3）2【详解】解：x 3﹣6x 2+9x =x （x 2﹣6x +9）=x （x ﹣3）2故答案为：x （x ﹣3）211.【答案】3x =-【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：234x +-=-，移项合并得：3x =-，检验：当3x =-时，30x -≠，∴分式方程的解为3x =-．故答案为：3x =-．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12.【答案】231y y y >>【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据1230x x x <<<即可得出结论．【详解】解： 反比例函数2y x=中20>，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小．1230x x x <<< ，B ∴、C 两点在第一象限，A 点在第三象限，231y y y ∴>>．故答案为231y y y >>13.【答案】8800【分析】用总人数乘以样本中视力不低于49．所占的比例即可求解．【详解】解：由题意，958243200008800500++⨯=（名），故该地区20000名初中学生视力不低于49．的人数为8800名，故答案为：8800．【点睛】本题考查用样本估计总体，理解题意，正确求解是解答的关键．14.【答案】245【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先根据矩形的性质得到6CD AB ==，4AD BC ==，90BAD D ∠=∠=︒，求得3DE =，再根据勾股定理得到5AE =，然后证明ABF AED ∽，列比例式即可解得答案．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，6CD AB ∴==，4AD BC ==，90BADD ∠=∠=︒，AB CD ，BAF AED ∴∠=∠，点E 是CD 的中点，3DE ∴=，5AE ∴===，BF AE ⊥ ，90BAF D ∴∠=∠=︒，ABF EAD ∴ ∽，::AB AE BF AD ∴=，即6:5:4BF =，245BF ∴=．故答案为：24515.【答案】BD ，易得OD 垂直平分AB ，BD 是OBD ∠的角平分线，进而推出30A ∠=︒，再推出30CBE ∠=︒，利用含30度角的直角三角形的性质，求解即可．【详解】解：连接BD ，∵OD AB ⊥，OA OB =，∴OD 垂直平分AB ，∴AD BD =，∴D A BA ∠=∠，∵AB 为直径，∴CD BC ⊥，又CD OD =，∴BD 是OBD ∠的角平分线，∴CBD ABD A ∠=∠=∠，∴2ABC A ∠=∠，∵90A ABC ∠+∠=︒，∴30A ∠=︒，∴60ABC ∠=︒，∵EB 是O 的切线，∴AB BE ⊥，∴90ABE ∠=︒，∴30CBE ∠=︒，∵CD BC ⊥，∴22BE CE ==，∵90ABE ∠=︒，30A ∠=︒，∴24AE BE ==，∴AB ==故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、角平分线的判定、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．16.【答案】①.8②.12【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率即可．【详解】解：∵黑卡8在左边，∴白卡数字可能为8或9，又∵白卡9排在第一行，∴第四行最后一张白色卡片上数字只能是8，每行能确定的数字为：第一行：15679第二行：12345第三行：0679第四行：0288不能确定的是黑色3和4，共有两种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为12．三、解答题（本题共72分，第17~21题，每小题5分，第22~23题，每小题6分，第24～26题，每小题7分，第27题8分，第28题6分）17.【答案】7【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则，是解题的关键．【详解】解：原式3122412472=++⨯+=+-++=．18.【答案】41x -≤<-【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】()5131221323x x x x ⎧-<-⎪⎨--≥⎪⎩①②解不等式①得：1x <-解不等式②得：4x ≥-∴不等式组的解集为：41x -≤<-【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．19.【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC 即为所求；（2）证明：∵BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理；切线的判定．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．20.【答案】25【分析】本题考查分式的求值，将114b a-=-变形，转化为：4a b ab -=-，整体代入分式，化简求值即可．【详解】解：∵114b a-=-，∴4a bab-=-，∴4a b ab -=-，∴原式()()444232342105ab ab ab a b ab ab ab ab ---====-+⋅-+-．21.【答案】（1）22y x =-（2）0m <或04m <≤【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题．掌握数形结合的思想，是解题的关键．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分0m >和0m <两种情况进行讨论求解即可．【小问1详解】解：∵一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,4A --和()1,0B ，∴40k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=-⎩，∴22y x =-；【小问2详解】①当0m >时，∵当1x ≤-时，对于x 的每一个值，反比例函数()0my m x=≠的值大于一次函数()0y kx b k =+≠的值，即：当1x ≤-时，双曲线在()0y kx b k =+≠的上方，当()0my m x=≠经过()1,4A --时，()144m =-⨯-=，∴当04m <≤时，满足题意；②当0m <时，双曲线过二，四象限，当1x ≤-时，反比例函数的函数值大于0，直线()0y kx b k =+≠的函数值小于等于4-，满足题意；综上：0m <或04m <≤．22.【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）根据平行四边形的性质得到//AD BC 且AD BC =，等量代换得到BC EF =，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）解直角三角形得到tan 212AE ABC BE =∠⋅=⨯=，由矩形的性质得到90ADF Ð=°．根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD ，∴//AD BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ，∴CF ＋EC ＝BE ＋EC ，即BC ＝EF ，∴//AD EF ，AD ＝EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴四边形AEFD 是矩形．（2）解：在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，tan 2ABC ∠=，BE ＝1，∴2AEBE=，∴AE ＝2，∵四边形AEFD 为矩形，∴FD ＝AE ＝2，∠ADF ＝90°．∵AD ＝3，∴AF ．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．23.【答案】（1）6，7，7，2（2）甲（3）乙【分析】本题考查中位数，众数，平均数及方差．掌握相关定义和计算公式，是解题的关键．（1）根据中位数，众数，平均数和方差的定义及计算公式，进行求解即可；（2）比较小明的得分与两个组的中位数的大小关系，进行判断即可；（3）根据平均数相同，方差越小，越稳定，进行判断即可．【小问1详解】解：甲组数据的中间两个数均为6，∴6a =，乙组数据的平均数()156667777910710+++++++++=，∴7b =出现次数最多的是7，∴7c =，方差为：()()()()()2222215736747797107210⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，∴2d =；故答案为：6，7，7，2；【小问2详解】∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7，小明的得分为7，又76>，∴小明可能是甲组的学生；故答案为：甲；【小问3详解】∵甲，乙两组的平均数相同，但是乙组的方差小于甲组的方差，∴乙组学生的成绩较为稳定，∴选择乙组；故答案为：乙．24.【答案】（1）见解析（2）655【分析】（1）连接AD ，圆周角定理得到AD BF ⊥，推出AD 是EF 的中垂线，进而得到AE AF =，得到F AED ∠=∠，再根据圆周角定理得到ABF DAC ∠=∠，推出90BAF ∠=︒，即可；（2）根据正切的定义，求出AD 的长，进一步求出,DE BE 的长，根据圆周角定理，得到90,C CBE ABD ∠=︒∠=∠，解直角三角形求出BC 的长即可．【小问1详解】证明：连接AD ，∵AB 是O 的直径，∴AD BF ⊥，∴90AED DAE ∠+∠=︒，∵DF DE =，∴AE AF =，∴F AED ∠=∠，∵点D 是 AC 的中点，∴ AD CD=，∴ABF DAC ∠=∠，∴90ABF F AED DAE ∠+∠=∠+∠=︒，∴90BAF ∠=︒，∴BA AF ⊥，∵AB 是O 的直径，∴AF 是O 的切线；【小问2详解】在Rt ADB 中，14,tan 2AD BD ABD BD =∠==，∴2AD =，由（1）知：ABF DAC ∠=∠，∴在Rt ADE △中，1tan tan 2DE EAD ABD AD ∠=∠==，∴1DE =，∴3BE BD DE =-=，∵AB 是O 的直径， AD CD=，∴90,C CBE ABD ∠=︒∠=∠，∴1tan tan 2CE CBE ABD BC ∠=∠==，∴2BC CE =，∴3BE ==，∴5CE =，∴655BC =．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形．掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．25.【答案】（1）足球能过人墙，理由见解析（2）2.29 6.78h ＜＜【分析】（1）当3h =时，()210y a x h =-+的函数图像过原点，可求出a 的值，即可；当3h =时，由（1）中解析式，分别把8x =和8x =代入函数解析式求出y 的值，再与2.2和2.44比较即可；（2）由抛物线过原点可1000a h +=①，由足球能越过人墙可得4 2.2a h +＞②，由足球能直接射进球门可得064 2.44a h +＜＜③，然后解①②③不等式组即可．【小问1详解】解：当3h =时，足球能越过人墙，理由如下：∵当3h =时，函数()2103y a x =-+的抛物线经过点()00，，∴200103a =-+（），解得：3100a =-∴y 与x 的关系式()23103100y x =--+当8x =时，()238103 2.88 2.2100y =--+=>，∴足球能过人墙，【小问2详解】解：由题设知()210y a x h =-+函数图像过点()00，可得()20010a h =-+，即1000a h +=①，由足球能越过人墙，得4 2.2a h +＞②，由足球能直接射进球门，得064 2.44a h +＜＜③，由①得100ha =-④把④代入②得4 2.2100h h ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞，解得 2.29h ＞，把④代入③得064 2.44100h h ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＜＜，解得0 6.78h ＜＜，∴h 的取值范围是2.29 6.78h ＜＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识点，掌握待定系数法确定函数解析式是解答本题的关键．26.【答案】（1）4h =（2）1h >或1h <-（3）01h <<或32h -<<-．【分析】本题考查了二次函数的图象性质、增减性：（1）根据对称轴2b x a =-进行计算，得2b h =，再把()20，代入()20y x bx b =-+≠，即可作答．（2）因为()()1122A x y B x y ，，，是拋物线()20y x bx b =-+≠，所以把1212x h x h =-=，分别代入，得出对应的12y y ，，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答．（3）根据“122121h x h x -≤≤+-≤≤-，，存在12y y <”得出当221h -<-<-或者211h -<+<-，即可作答．【小问1详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x h=∴()212b b h =-=⨯-即2b h=∴拋物线22y x hx=-+∵抛物线经过点()20，∴把()20，代入22y x hx =-+得20422h =-+⨯解得4h =；【小问2详解】解：由（1）知拋物线22y x hx=-+∵()()1122A x y B x y ，，，是拋物线22y x hx =-+上任意两点，∴()()()2221212112220y h h h h y h h h =--+-=-=-+⨯=，，∵且1212x h x h =-=，，都有12y y >，∴210h ->解得1h >或1h <-【小问3详解】解：∵()()1122A x y B x y ，，，是拋物线22y x hx =-+上任意两点，122121h x h x -≤≤+-≤≤-，，存在12y y <，∴当221h -<-<-时，存在12y y <解得01h <<∴当211h -<+<-，存在12y y <解得32h -<<-综上，满足h 的取值范围为01h <<或32h -<<-．27.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用；（1）根据题意，补全图形即可．（2）证明出ACB ANM ∠=∠即可解决问题．（3）利用相似三角形得出NCB MAN ∠=∠，进而得出NCB B ∠=∠即可解决问题．【小问1详解】解：如图所示，【小问2详解】证明：设,AN AC 交于点D ，∵(),90180AB AC BAC αα=∠=︒<<︒，,AM MN AMN α=∠=，∴()111809022B ACB αα∠=∠=︒-=︒-，1902MAN MNA α∠=∠=︒-，∴ACB ANM ∠=∠，又∵NDC NMC MNA NAC ACB ∠=∠+∠=∠+∠，∴NAC NMC ∠=∠；【小问3详解】证明：由（2）知，NAC NMC ∠=∠，ACB ANM ∠=∠，∴ADC MDN ∽，∴AD CD MD DN=，又∵ADM CDN ∠=∠，∴ADM CDN ∽，∴MAD NCD ∠=∠，又∵1902MAD B α∠=∠=︒-，∴B NCD ∠=∠，∴CN AB ∥．28.【答案】（1）①()1,2-；②t ≤t ≥（2（1）①根据题意得出P 关于y x =的对称点为()1,2P '，Q 为P '关于x 轴（0y =）的对称点即()1,2Q -；②先得出()1,Q t -，勾股定理得出2PQ ，进而根据4PQ ≤，即可求解；（2）依题意得出0a >，又直线AB 的解析式可得，直线y =与y 轴的夹角为30︒，同理可得y =与y 轴的夹角为30︒，根据当点C 与点B 重合时，C 与,y y ==相切，符合题意，当C 与点B 重合时，CO 的长度最大，此时C '' 能与x 轴的负半轴相切，则当C 在AB上运动时，C '' 与x 轴的负半轴相交，即可得出a =【小问1详解】解：①当2t =时，则()2,1P ∵()1,0M ，则P 关于y x =的对称点为()1,2P '，∴Q 为P '关于x 轴（0y =）的对称点即()1,2Q -，故答案为：()1,2-．②若PQ 的长度不超过4，求t 的取值范围解：∵(),1P t ，则()1,P t '∴()1,Q t -∴()()22221122PQ t t t =-++=+∵4PQ ≤即22224t +≤∴27t ≤∴7t ≤或7t ≥-【小问2详解】解：∵点(),M a b 在直线y x =-上，∴=-b a ，∵点P 关于点M 的“对应点”在x 轴的负半轴上，∴0a >∵直线2y =+与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，当0x =时，2y =，当0y =时，233x =∴23,03A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2B∴,23OA OB ==∴tan OB OAB OA ∠==∴60OAB ∠=︒，则30OBA ∠=︒，∴直线y =与y 轴的夹角为30︒，同理可得y =与y 轴的夹角为30︒，如图所示，当点C 与点B 重合时，C 关于y =的对称点C '，C '关于y =的对称点为C ''，∵1,2BD OB ==，30OBD ∠=︒∴33sin 30,cos3022D D x OD y OD =⨯︒==⨯︒=∴直线OD 的解析式为y =，∴当点C 与点B 重合时，C 与,y y ==相切，则OBC 'V 是等边三角形，,B C '关于3y x =对称，C '⊙与3y x =和x 轴的正半轴相切，C '' 与x 轴的负半轴以及3y =相切，又∵C 是线段AB 上的点，当C 与点B 重合时，CO 的长度最大，此时C '' 能与x 轴的负半轴相切，则当C 在AB 上运动时，C '' 与x 轴的负半轴相交，即当3a =1为半径的C 上总存在一点P ，使得点P 关于点M 的“对应点”在x 轴的负半轴上．【点睛】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，直线与圆的位置关系，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键。
清华大学自主招生试题 数学 Word版含解析
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23(C)22 (D)6313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2m α2m α),12b =(2n β2n β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2mn θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则22x y + ）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为12328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()333(cossin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]663i ππ-+- 31sin )6623i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅2211221111(1)(1)x x x x ++2121111x x +++11122||||x x +⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2||||OA OB ⋅22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离2111()1x x -+1，正确。
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清华附中自主招生数学题
近年来，清华附中的自主招生考试备受瞩目，其中数学题目一直是考生们关注的焦点。
在这篇文章中，我们将一起探讨一道来自清华附中自主招生数学题，以期帮助大家更好地了解这一考试，并提供一些解题思路。
这道数学题的题目如下：
设函数 f(x) = |3x - 2| + |4 - x|，其中 |x| 表示 x 的绝对值。
若方程 f(x) = k 有 3 个不同的实数根 x1, x2, x3，其中 x1 < x2 < x3，则 k 的取值范围是多少？
在解答这道题之前，我们首先需要了解绝对值函数的性质。
对于任意实数 x，有以下性质：
1. 若x ≥ 0，则 |x| = x；
2. 若 x < 0，则 |x| = -x；
现在我们来解答这道题。
根据函数 f(x) 的定义，可以将 f(x) 分成两个部分进行讨论。
1. 当x ≥ 2 时，3x - 2 ≥ 0，4 - x ≥ 0，则 f(x) = (3x - 2) + (4 - x) = 7x - 2；
2. 当 x < 2 时，3x - 2 < 0，4 - x ≥ 0，则 f(x) = -(3x - 2) + (4 - x) = -x + 6；
我们可以发现，在x ≥ 2 时，函数 f(x) 是一个关于 x 的一次递增函数，而在 x < 2 时，它是一个关于 x 的一次递减函数。
因此，方程 f(x) = k 在这两个区间内的解个数不会超过 1 个。
接下来，我们需要解方程 f(x) = k，找出 k 的取值范围使得方程有 3 个不同的实数根。
1. 对于x ≥ 2 的区间，根据一元一次方程的性质，f(x) = k 的解个数不会超过 1 个。
因此，我们可以排除x ≥ 2 这个区间。
2. 对于 x < 2 的区间，我们可以将 f(x) = k 代入函数中得到 -(3x - 2) + (4 - x) = k，进一步整理可得 -4x + 6 = k。
注意在这一步，我们使用了x < 2 这个条件对函数 f(x) 进行了替换。
这是因为在这个区间内，f(x) = -x + 6，而不是 7x - 2。
接下来，我们继续求解这个一元一次方程。
由于我们需要找到 3 个不同的实数根，即方程对应的直线与 x 轴有两个交点。
这意味着对于不同的 k 值，直线 -4x + 6 = k 与 x 轴的交点个数不会超过 2 个。
因此，我们可以求出直线 -4x + 6 = k 与 x 轴的交点，然后通过判断交点个数是否为 2 来确定 k 的取值范围。
综上所述，k 的取值范围应满足以下条件：
1. k < -2，此时方程 f(x) = k 在x ≥ 2 的区间内没有实数解；
2. -2 ≤ k < 6，此时方程 f(x) = k 在x ≥ 2 的区间内有 1 个实数解；
3. k = 6，此时方程 f(x) = k 在x ≥ 2 的区间内有 1 个实数解且在 x < 2 的区间内有 2 个实数解；
4. k > 6，此时方程 f(x) = k 在x ≥ 2 的区间内有 1 个实数解且在 x < 2 的区间内有 3 个实数解。
综上所述，k 的取值范围为 k < -2 或 -2 ≤ k < 6 或 k = 6 或 k > 6。
通过对这道数学题的解答，我们不仅复习了绝对值函数的性质和一元一次方程的解法，也提高了我们对数学问题的分析和解决能力。
希望这篇文章能对研究清华附中自主招生数学题有所帮助，并带给大家一些启发和思考。