高考数学必考点专项第29练 椭圆(B)(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第29练椭圆（B ）一、单选题1. 设定点1(0,3)F -，2(0,3)F ，动点P 满足条件129||||(0)PF PF t t t+=+>，则点P的轨迹是( )A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段D. 双曲线2. 阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( )A.221362x y += B.2211816x y += C.221126x y += D. 22198x y += 3. 设B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ，则C 的离心率的取值范围是( )A. [,1)2B. 1[,1)2C. (0,2D. 1(0,]24. 已知椭圆2222:1(0)10x y C a a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是圆2226310x y ax a ++-=上一点，线段1PF 与椭圆C 交于点Q ，260PQF ︒∠=，2||1QF =，则椭圆C 的长轴长为( )A.2B.2+ C. 5± D. 45+5. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上存在两点M ，N 关于直线2310x y --=对称，且线段MN 中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( )A.13B.C.23D.36. 在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22143y x +=上的一个动点，点(1,1)A ，(0,1)B -，则||||PA PB +的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为2.5过点F 作直线l与椭圆E 交于A ，B 两点，与直线2y x =-交于点P ，若P 恰好是AB 的中点，则直线l 的斜率为( )A.52B.2150C.5 D. 25-8. 17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程222(0,1,0)a x ky k k a -=>≠≠表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P 向长轴(AB 异于A ，B 两点)引垂线，垂足为Q ，则2PQ AQ BQ⋅为常数．据此推断，此常数的值为( )A. 椭圆的离心率B. 椭圆离心率的平方C. 短轴长与长轴长的比D. 短轴长与长轴长比的平方二、多选题9. 已知P 是椭圆E ：22184x y +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF 的面积为3，则下列说法正确的是( )A. P 点纵坐标为3B. 122F PF π∠>C. 12F PF 的周长为1)D. 12F PF 的内切圆半径为31)2三、填空题10. 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm ，短轴长为20 cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为__________.cm11. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是__________.12. 已知1F ，2F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，则四边形12PF QF 的面积为__________ .13. 已知椭圆2222:1(0)x y N a b a b+=>>分别经过第一象限和第四象限的A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的右焦点，若四边形OABC 是边长为1的菱形，且60AOB ∠=︒，则a =__________.14. 已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线1l ：13y x=与2l ：13y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为_________15. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c 且b c >，若在椭圆上存在点P ，使得过点P 可作以12F F 为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为__________. 四、解答题16. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点，(1)若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．17. 已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心率为3(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =18. 已知椭圆L ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求椭圆L 的标准方程；(2)过点(0,2)Q 的直线l 与椭圆L 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及||AB 的大小．19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆短轴端点，若12AF F为直角三角形且周长为 4.+ (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线OM ，ON 斜率的乘积为22b a-，求OM ON ⋅的取值范围．20. 已知F 是椭圆E ：的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||2||PF QF =，且11cos .16PFQ ∠=-(1)求椭圆E 的离心率；(2)已知经过点(3,0)C 的直线与椭圆E 交于BD 两点，作B 关于x 轴的对称点A ，若直线AD 恒过定点，求椭圆E 的方程．22221(0)x y a b a b+=>>答案和解析1.【答案】C解：t 是正常数，9296t t∴+=， 当且仅当3t =时等号成立，当12||||6PF PF +=时，点P 的轨迹是线段； 当96t t+>时，点P 的轨迹是椭圆， 故选：.C2.【答案】D解：由题意可知，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则S ab π==，即ab =，①1223c a =⨯，即3a c =，②222a b c =+，③解得：3a =，b =，1c =，所以椭圆的标准方程为22198x y +=； 故选：.D3.【答案】C解：设(cos ,sin )([0,2)P a b θθθπ∈ 由题意，得(0,)B b ，则2||2PB b =22222cos (sin 1)4,a b b θθ∴+-当cos 0θ=时,不等式成立； 当cos 0θ≠时,22223sin 2sin (sin 3)(sin 1)3sin 21cos (1sin )(1sin )1sin 1sin a b θθθθθθθθθθ-+--+-∴===+-+--，而2121sin θ+-，222a b ∴， 2222c e a ∴==， 又01e <<故椭圆离心率的取值范围是(0,2故选：.C4.【答案】C解：易知，圆2226310x y ax a ++-=的圆心为1(3,0)F a -，且1||PF =，由椭圆定义可得12||||QF QF +=，所以2||||1PQ QF ==， 在12QF F 中，1||1QF =-，12||6F F a =，12120F QF ︒∠=， 所以由余弦定理得2223611)1a=+-+-，整理得2410a-+=，解得a=， 所以椭圆C 的长轴长为5= 故选：.C5.【答案】B解：设1122(,),(,)M x y N x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+-+=， 即2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+， 线段MN 中点的纵坐标为23， 223103x ∴-⨯-=，解得32x =，于是223924b a -=-⋅，解得2223b a =，∴椭圆C 的离心率3e ==，故选.B6.【答案】D解：椭圆方程为22143y x +=， ∴焦点坐标为(0,1)B -和(0,1)B '，连接PB '、AB '，根据椭圆的定义，得||||24PB PB a +'==，可得||4||PB PB =-'，因此||||||(4||)4(||||)PA PB PA PB PA PB +=+-'=+-'，||||||PA PB AB -''，||||2||415PA PB a AB ∴++'=+=，当且仅当点P 在AB '延长线上时，等号成立， 综上所述，可得||||PA PB +的最大值为5. 故答案选：.D7.【答案】B解：设椭圆焦距为2 c ， 所以2.5c a = 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则002y x =-，且由①-②可得22221212220x x y y a b--+=， 即1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+-+=， 根据条件可得1202x x x +=，1202y y y +=， 故012012222()2()0x x x y y y a b --+=，由002y x =-，可得212212.2y y b x x a -=-因为22425c a =，所以222125b a =， 即直线l 的斜率为2221.250b k a == 故选.B8.【答案】D解：方程222(0,1,0)a x ky k k a -=>≠≠表示椭圆， 即22221(0,1,0)x y k k a a ak+=>≠≠，当1k >时，设椭圆上任意一点，则，当01k <<时，设椭圆上任意一点则，即故选.D9.【答案】CD解：椭圆E ：22184x y +=中，28a =，24b =，24c =， 则22, 2.a b c ===，解得，故A 错误；当P 在短轴端点时，222sin 222c OPF a ∠===，所以此时122F PF π∠=， 由A 知时，所以 122F PF π∠<，故B 不正确；12F PF 的周长为224244(21)a c +=+=+，故C 正确；设12F PF 的内切圆半径为r ，，解得33(21)2222r ==-+，故D 正确.故答案为.CD10.【答案】20解：在大椭圆中，20a =，10b =，则c =e = 因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等，所以在小椭圆中，2e '=，结合5b '=，得10a '=， 所以小椭圆的长轴长为20.cm 故答案为20.11.解：椭圆22195x y +=的3a =，5b =，2c =， 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆上， 连接AO ，可得||2||4PF AO '==，PFF '中，62PF PF =-'=，4FF '=，4PF '=， ∴由余弦定理得222cos 2PF FF PF PFF PF FF +'-'∠'=⨯'22242412244+-==⨯⨯，2115sin 1()44PFF ∴∠'=-=，tan 15PFF ∴∠'=，即直线PF 的斜率为15.故答案为15.12.【答案】8解：因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =， 所以四边形12PF QF 为矩形， 设1||PF m =，2||PF n =，由椭圆的定义可得12||||28PF PF m n a +=+==，所以22264m mn n ++=，因为2222221212||||||44()48PF PF F F c a b +===-=，即2248m n +=， 所以8mn =，所以四边形12PF QF 的面积为12||||8.PF PF mn == 故答案为：8.13. 解：如图，设AC 和OB 相交于点D ，3sin 602AD AO =︒=， 1cos602OD AO ∴=︒=，13(,).22A ∴ 21OB OD ==，∴椭圆N 的半焦距 1.c =设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF ，1||||2AF AB a +=， 即2213(1)(0)1222a --+-+=，解得31.2a += 故答案为：312+14.【答案】3解：设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-++， 直线PN 的方程为001.33x y x y =-+联立方程组00113313y x x y y x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,)2262x x y M y ++，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,)2262x x y N y --+，2222220000000033||||()()()()22262226x y x x y xPM PN y y ∴+=-+-++++ 2200559x y =+， 00(,)P x y 在椭圆上，22222200b x a y a b ∴+=，2200559x y +为定值， 2219b a ∴=，2222181.99a b e a -∴==-=e ∴=15.【答案】 解：根据题目所给的条件可知，以12F F 为直径的圆存在两条相互垂直的切线； 因为两条切线均垂直于过切点的半径，且切线互相垂直，则切线的交点为半径的一个圆，设该圆的方程为222002x y c +=，由题意得222002x y c +有解，即，因为2222222220022b c x y x b x x b a a+=+-=+，所以00(,)P x y即2222a c c -，所以213e 又222a c c ->，212e ∴<，故椭圆离心率e 2.2e <故答案为216.【答案】解：(1)连接1PF ，由2POF 为等边三角形可知在12F PF 中，1290F PF ︒∠=，2||PF c =，1||PF ，于是122||||1)a PF PF c =+=，故曲线C 的离心率 1.ce a== (2)由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当：1||2162y c ⋅=，1y y x c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =①222x y c += ②22221x y a b+=③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =，由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b ，从而2222232a b cb =+=，故42a ，当4b =，42a 时，存在满足条件的点.P所以4b =，a 的取值范围为).+∞17.【答案】(1)解：由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=； (2)证明：由(1)得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不满足M ，N ，F 三点共线； 当直线MN 的斜率存在时，设， 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线即20kx y k --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得，解得1k =±，联立可得246230x x -+=，0∆>，所以1212323,24x x x x +=⋅=， 所以，所以必要性成立； 充分性： 设直线即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得，所以221b k =+，联立可得，22212(31)240k b k ∆=-+=>，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++， 所以== 化简得，所以1k =±，1122(,),(,)M x y N x y所以或，所以直线:2MN y x =-或2y x =-+，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =18.【答案】解：(1)由22222222314c a b b e a a a -===-=得224a b =， 又短轴长为2，可得1b =，24a =，∴椭圆L 的标准方程为：2214x y +=；(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为：2y kx =+，联立，消y 得：22(41)16120k x kx +++=，222161648(41)16(43)0k k k ∆=⨯-+=->，即234k >， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1221641k x x k -∴+=+，1221241x x k ⋅=+， 由题意可知OA OB ⊥，0OA OB ⋅=， 即：12121212(2)(2)x x y y x x kx kx ⋅+⋅=⋅++⋅+21212(1)2()40k x x k x x =+⋅+++=，222212(1)32401414k k k k +∴-+=++，解得2344k =>， 222121212||1||1()4AB k x x k x x x x ∴=+-=+⋅+-⋅22244346511417k k k -=+⋅=+，综上，直线l 的方程为：22y x =±+，465||.17AB =19.【答案】解：(1)因为12AF F 为直角三角形，所以b c =，2a c =，又12AF F 周长为224+，所以22(222)224a c c +=+=+， 故2c =，24a =，22b =，所以椭圆22: 1.42x y C += (2)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，当直线l 斜率不存在时，121212OM ON y y k k x x ⋅==-， 12x x =，12y y =-，所以212112OM ONy k k x ⋅=-=-，又2211142x y +=， 解得22112,1x y ==，22121211 1.OM ON x x y y x y ⋅=+=-=当直线l 斜率存在时，设直线方程为:l y kx m =+，由，得222(12)4240k x kmx m +++-=，0∆>，得2222164(12)(24)0k m k m -+->，即2242m k <+，，1212()()y y kx m kx m =++2222121224()12m k k x x km x x m k -=+++=+，由121212OM ON y y k k x x ⋅==-，得22222411224212m k k m k -+=--+，即2221m k =+， 所以12121212OM ON x x y y x x ⋅=+=2222222121[1,1).121212m k k k k--===-∈-+++ 所以[1,1]OM ON ⋅∈- .20.【答案】解：(1)设2F 是椭圆E 的右焦点，连接22,PF QF ，得到12PF QF 是平行四边形，则， 又，得，在2PFF ∆中，因为11cos 16PFQ ∠=-，所以211cos FPF 16∠=，222216441199cos 2416233a a c FPF a a +-∠==⋅⋅，解得12e =(2)由(1)可知设椭圆的方程为2222143x y c c+=，易知AD 的斜率存在，设AD 的方程为y kx m =+，设112211(,),(,),(,)A x y D x y B x y -， 联立椭圆与直线AD 的方程，得2222(34)84120,k x kmx m c +++-=221212228412,3434km m c x x x x k k--+==++， 又,,B D C 三点共线，1212,33BC DC y y k k x x -==--， 所以121233y y x x -=--， 所以2112()(3)()(3)0,kx m x kx m x +-++-= 即12122(3)()60kx x m k x x m +-+-=即222241282(3)603434m c km k m k m k k --+--=++，解得243m c k =-， 于是直线AD 的方程为243y kx c k =-， 又直线过定点，于是1c =，故椭圆方程为221.43x y +=。