高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 拓展资料：微积分建立的时代背景和历史意义
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案
§2微积分基本定理[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛12x d x 的值． 提示：⎠⎛12x d x ＝32.问题3：求F (2)－F (1)的值． 提示：F (2)－F (1)＝12×22－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？ 提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )| b a 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫b a f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40][例1] 计算下列各定积分： (1)∫10(2x ＋3)d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x )d x ；(3)∫31⎝⎛⎫2x －1x 2d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴∫0－π(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )| 0－π＝1－e－π. (3)∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2， ∴∫31⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x | 31＝7＋13＝223. [一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎛1e.1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln e －ln 1＝1. 答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ； (3)∫21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x＝x 33|21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x＝(－cos x )|π－sin x |π0＝2.(3)∫21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211x d x ＝12x 2|21＋ln x|21＝12×22－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：(1)20π⎰ sin 2x 2d x ；(2) ⎠⎛23(2－x 2)·(3－x )d x . 解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π2 ＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛23(6－2x －3x 2＋x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝⎛⎭⎫6×3－32－33＋14×34－⎝⎛⎭⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨] 按f (x )的分段标准，分成⎣⎡⎦⎤0，π2，⎣⎡⎦⎤π2，2，[2,4]三段积分求和． [精解详析]图像如图．⎠⎜⎛2π2⎠⎛04f (x )d x ＝20π⎰sin x d x ＋22π⎰d x ＋⎠⎛24(x －1)d x＝(－cos x ) |20π＋x|22π＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |42＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. [一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56. 答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |－1＋13x 3|10＝cos 1－53.[例3] 已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值． [精解详析] f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝⎛⎭⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t |x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________.解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪10＝k －1＝2 013，∴k ＝2 014. 答案：2 0147．已知函数f (a )＝∫a 0sin x d x ，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f (a )＝∫a 0sin x d x ＝－cos x |a＝－cos a ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx |10＝a 2＋b ＝1， 所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．[对应课时跟踪训练(十五)]1．下列积分值等于1的是( ) A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x 解析：∫101d x ＝x ⎪⎪10＝1.答案：C2．(福建高考)⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD.e ＋1解析：⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2) |1＝(e 1＋1)－e 0＝e.答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C.答案：C4．函数F (x )＝∫x 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________.解析：∫a－a x 2d x ＝x 33| a －a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3.答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a 03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1. 答案：17．求下列定积分： (1)∫212x 2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x . 解：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x＝∫21(2x ＋1x＋1)d x ＝∫212x d x ＋∫211x d x ＋∫211d x ＝x 2 |21＋ln x |21＋x |21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π02sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) |π0＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m /s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2 |200＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.。
2014-2015学年高二数学(北师大版选修2-2)教案第4章《简单几何体的体积》
简单几何体的体积一、教学目标1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、 学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。
三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。
2[()]ba V f x dx π=⎰ 典例分析例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。
求它的体积。
学生阅读课本P89页分析，教师引导。
解：圆锥体的体积为 12310033V x dx x πππ===⎰变式练习1、求曲线x y e =，直线0x =，12x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
答案：)(12-e π；例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。
将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。
则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。
则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代入),(44B 求得：2=p∴抛物线方程为：x y 42=（0≥y ）设直线AB 的方程为：12+=qy x ，代入),(44B 求得：2-=q∴直线AB 的方程为：621+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为：3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎰⎰ 变式练习2如图一，是火力发电厂烟囱示意图。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 平面图形的面积 参考教案
平面图形的面积一、教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
二、教学重难点：曲边梯形面积的求法及应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程1、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.2xy =y xABC D O分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|23x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 拓展资料：走出定积分运用的误区
走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．1．公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果)(x f 是区间[a ，b]上的连续函数，并且)(x F '=)(x f ，那么⎰ba dx x f )(=)()(a Fb F -． 例1．计算⎰+212)1(dx xx ． 错解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)21(3133-+)21(2-－)211(-=－629． 错解剖析：错误的原因在于对微积分基本定理记忆不准，定理的条件与对应的公式不清而导致错误．根据微积分基本定理，相应的公式是⎰ba dx x f )(=|)(b a x F =)()(a F b F -，而不是⎰ba dx x f )(=)()(b F a F -． 正解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)12(3133-+)12(2-－)121(-=629． 评注：利用微积分基本定理来计算时通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．2．几何意义出错我们知道，当函数)(x f 在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是以曲线)(x f 为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分⎰b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴，函数)(x f 的图象以及直线x=a ，x=b 之间各部分面积的代数和．例2．如图，函数)(x f y =在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为（ ）A ．⎰b a dx x f )(B ．⎰c a dx x f )(－⎰bc dx x f )(C ．―⎰c a dx x f )(―⎰b c dx x f )(D ．―⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(错解：选择答案：A 或B 或C ．错解剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或理解得不够透彻而导致出错．根据微积分的几何意义，若0)(≥x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =⎰b a dx x f )(；若0)(≤x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =－⎰ba dx x f )(． 正解：如图所示，在[a ，c ]上，0)(≤x f ；在[c ，b]上，0)(≥x f ；所以函数)(x f y =在区间[a ，b ]上的阴影部分的面积S =―⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(， 故选择答案：D ．评注：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．各部分面积的代数和即为：x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．3．实际应用出错利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等．例3．模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足24100)(t t a -=，求火箭前s 5内的位移．错解：由题设知，⎰=50)()5(dt t a s =⎰-502)4100(dt t =|503)34100(t t -=35345100⨯-⨯=31000， 即火箭前s 5内的位移为31000． 错解剖析：错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．一般地，变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v （t ）（v （t ）≥0）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s=⎰ba dt t v )(．而一般地，变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度v ，等于其加速度函数a =a （t ）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即v =⎰ba dt t a )(．正解：由题设知，00==t t ，0)0(=v ，0)0(=s ，所以⎰-=t dt t t v 02)4100()(=334100t t -， 那么⎰=50)()5(dt t v s =⎰-503)34100(dt t t =|5042)3150(t t -=33125， 即火箭前s 5内的位移为33125． 评注：先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数v （t ），再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移．。
高中数学北师大版选修2-2第4章2《微积分基本定理》ppt课件
在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一条切线，使之与曲线 以及 x 轴所围成图形的面积为112.试求切点 A 的坐标以及过切点 A 的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点 A(x0，y0)， 由 y′＝2x，过 A 点的切线方程为 y－y0＝ 2x0(x－x0)，即 y＝2x0x－x20.令 y＝0，得 x ＝x20，记切线与 x 轴的交点为 Cx20，0.设 由曲线和过点 A 的切线 x 轴所围成图形的
0
5. (2)由于 x3 的导函数是 3x2，根据微积分基本定理可得53x2dx
2
＝x3|52＝53－23＝117.
(3)由于－cosx 的导函数是 sinx，根据微积分基本定理可得π 0
sinxdx＝(－cosx)|π0＝(－cos π)－(－cos0)＝2. (4)由于 lnx 的导函数是1x，根据微积分基本定理可得31xdx
第四章 定积分
第四章 §2 微积分基本定理
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 4 课时作业
课前自主预习
• 1.通过实例，直观了解微积分基本定理的含义及意 义．
• 2．会用微积分基本定理求函数的定积分．
• 3．会用定积分求相关图形的面积、变速直线运动的 路程及变力做功问题．
• 本节重点：微积分基本定理．
a
的面积.
1.(2015·湖南理，11)2(x－1)dx＝________. 0
[答案] 0 [解析] 2(x－1)dx＝(x22－x)|20＝2－2＝0.
0
2．已知自由下落的物体的运动速度 v＝gt(g 为常数)，则当
t∈[1,2]时，物体下落的距离为( )
A．12g
B．g
[解析] 图形如图所示，
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 拓展资料：高考中的定积分
高考中的定积分定积分是微积分基本概念之一，应掌握其概念、几何意义、微积分基本定理以及简单应用．下面例析在高考中的考查方式．一、计算型是指给出定积分表达式，求其值，通常解法有：定义法，几何意义法，基本定理法及性质法等．例1计算以下定积分：⑴2211(2)x dx x -⎰；⑵30(sin sin 2)x x dx π-⎰． 分析：直接运用定义，找到一个原函数．解：⑴函数y ＝212x x -的一个原函数是y ＝32ln 3x x -． 所以2211(2)x dx x -⎰＝3212(ln )|3x x -＝162ln 233--＝14ln 23-． ⑵函数y ＝sin x －sin2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos2x ． 所以30(sin sin 2)x x dx π-⎰＝(－cos x ＋12cos2x )30|π＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14． 评注：利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数．对于被积函数是绝对值或分段函数时，应充分利用性质()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰，根据定义域，将积分区间分成若干部分，分别求出积分值，再相加．练习：计算以下定积分： ⑴322x dx x⎰；⑵21|32|x dx -⎰． (答案：⑴39ln22+；⑵12)． 二、逆向型 主要已知定积分的值，求定积分中参数．例2设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为 ．分析：本题是逆向思维题，可用求积分的一般方法来解决．解：112310001()()()3f x dx ax c dx ax cx =+=+⎰⎰ 203a c ax c =+=+． 03x =∴． 评注：常用方程思想加以解决．练习：已知a ＞0，且2a a x dx -•⎰＝18，求a 的值． (答案：3)三、应用型主要指求围成的平面图形的面积及旋转体的体积．例3由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．154 B ．174 C ．1ln 22D ．2ln 2 分析：可先画出图象，找出范围，用积分表示，再求积分即．解：如图，面积22112211ln |ln 2ln 2ln 22S x x ===-=⎰，故选(D)． 评注：用积分求围成面积，常常分四步：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上下限；④计算．练习：求由曲线y 2＝x ， y ＝x 2所转成的面积．(答案：13)．。
2013年高二数学同步课程课件第4章《微积分基本定理》(北师大版选修2-2)
2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃbaf(x)dx＝ S上 ．
1． (1＋cos x)dx等于
A．π
B．2
C．π－2
解析 ∵(x＋sin x)′1＋cos x，
(D)
D．π＋2
＝π2＋sin2π－－π2＋sin－π2＝π＋2.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2．若ʃa1(2x＋1x)dx＝3＋ln 2，则a的值是
(D)
A．5
B．4
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使 F′(x)＝f(x)? 答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实 数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
研一研·问题探究、课堂更高效 例1 计算下列定积分：
(1)ʃ211xdx；(2)ʃ31(2x－x12)dx；(3)ʃ0－π(cos x－ex)dx. 解 (1)因为(ln x)′＝1x， 所以ʃ 211xdx＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2. (2)因为(x2)′＝2x，(1x)′＝－x12， 所以ʃ31(2x－x12)dx＝ʃ312xdx－ʃ31x12dx＝x2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1) ＝232.
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练3
求曲线y＝sin
x与直线x＝－
π 2
，x＝
5 4
π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
2014-2015学年高二数学(北师大版选修2-2)教案第4章《定积分的概念》
1.5 定积分的概念1．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区【 】A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］2．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为【 】A ．320gtB ．20gtC ．220gtD ．620gt 3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是【 】 A .4 B . 52C .3D .2 4．dx e e x x ⎰-+10)(=【 】A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1- 5．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【 】A ．294e B ．22e C ．2e D ．22e 6．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是【 】A ．0.18B ．0.26C ．0.12D ．0.287．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为【 】A ．⎰32dx x ρB ．()⎰+212dx x ρC ．⎰10dx x ρD ．()⎰+321dx x ρ 8．将和式)21.........2111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ． 9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．10.设物体的速度v 与时间t 的函数关系为v ＝v (t)，那么它在时间段[a ，b ]内的位移s 用定积分表示为 .11．计算定积分21(1)x dx +ò.12.一物体按规律x＝b t3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．参考答案1.B2.C3.C4.D5.D6.A7.A8. dx x ⎰+10119. dx x ⎰-102)1( 10.()ba s v t dt =ò11.所求定积分是1,201x x y y x ====+，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=ò.12. 物体的速度233)(bt bt dtdx V ='==．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．当x =0时，t=0；当x =a 时，311)(ba t t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为3277130320302727727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微积分建立的时代背景和历史意义
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．
微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用． 积分的思想产生得很早，公元前200多年，希腊科学泰斗阿基米德
（Archimedes ，约公元前287~前212）就用积分的观点求得球体积公式34π3
V r =他用球体“薄片”的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用杠杆原理得到球体积公式．公元5世纪，中国数学家祖冲之、祖日恒 父子提出了“缘幂势既同，则积不容异”，也是积分概念的雏形．
微分观念的发生比积分大概迟了2000年．公元16世纪，伽利略发现了自由落体的运动规律21
2S gt =，落体的瞬时速度近似于()()S t t S t gt t +∆-≈∆． 当t ∆很小时，这个比值接近于时刻t 的瞬时速度，这是导数的启蒙．
同时，在探求曲线的切线的时候，人们发现，切线是割线的近似，割线的斜率是()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆，当x ∆很小时，y x
∆∆应该是切线斜率的近似，求瞬时速度及切线斜率，是产生导数观念的直接动因．
17世纪，法国数学家笛卡儿（Descartes ，1596~1650）建立了坐标系，使几何图形能够用函数来表示，从而为研究函数及其变化率提供了有力的工具．
在17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学．牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是建立了微积分基本定理()()()b
a F x dx F
b F a '=-⎰，它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起，揭示
了微分和积分的逆运算关系．所不同的是，牛顿（Newton ，1642~1727）创立的微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题，而莱布尼茨（Leibniz ，1646~1716）主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响．
19世纪，法国数学家柯西（Cauchy ，1789~1857）和德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass ，1815~1897）为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学成为一套
完整的、严谨的理论体系．
微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实践．数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分．。