艺术生文化课补习 高三数学复习

高三一轮复习三 ----数 列一、复习要求1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式及性质；2、一般数列的通项及前n 项和计算。

二、学习指导1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。

研究数列，首先研究对应法则——通项公式：a n =f(n)，n ∈N +，要能合理地由数列前n 项写出通项公式，其次研究前n 项和公式S n ：S n =a 1+a 2+…a n ，由S n 定义，得到数列中的重要公式：⎩⎨⎧≥-==-2n S S 1n S a 1n n1n 。

一般数列的a n 及S n ,，除化归为等差数列及等比数列外，求S n 还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。

2、等差数列（1）定义，{a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d （常数），n ∈N +⇔2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +）； （2）通项公式：a n =a n +(n-1)d ，a n =a m +(n-m)d ； 前n 项和公式：2)a a (n d 2)1n (n na S n 11n +=-+=； （3）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差； S n =an 2+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…； 当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； 当n 为奇数时，S 2n-1=(2n-1)a n ；S 奇=21n +a 中，S 偶=21n -a 中。

3、等比数列 （1）定义：n1n a a +=q （q 为常数，a n ≠0）；a n 2=a n-1a n+1（n ≥2，n ∈N +）； （2）通项公式：a n =a 1q n-1，a n =a m q n-m;前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1q q 1q a a q 1)q 1(a 1q na S n 1n 11n ；（3）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…， 当2n=p+q 时，a n2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。

4、等差、等比数列的应用（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）；若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。

三、典型例题例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。

解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手 设{a n }首项为a 1，公差为d ∵ a 1，a 5，a 17成等比数列 ∴ a 52=a 1a 17∴（a 1+4d ）2=a 1(a 1+16d) ∴ a 1=2d设等比数列公比为q ，则3a d4a a a q 1n 15=+== 对n k a 项来说，在等差数列中：1n n 1k a 21k d )1k (a a n +=-+= 在等比数列中：1n 11n 1k 3a q a a n --== ∴ 132k 1n n -⋅=-∴ n )331(2)132()132()132(k k k 1n 1n 10n 21-+++=-⋅++-⋅+-⋅=++-- 1n 3n --=注：本题把k 1+k 2+…+k n 看成是数列{k n }的求和问题，着重分析{k n }的通项公式。

这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。

例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n 。

解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设{a n }首项为a 1，公差为d ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+==⨯+=75d 21415a 15S 7d 267a 7S 11517∴ ⎩⎨⎧=-=1d 2a 1∴ 2)1n (n 2S n -+-= ∴252n 21n 2n S n -=-+-= 此式为n 的一次函数 ∴ {nS n}为等差数列 ∴ n 4a n 41T 2n -=法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2+Bn∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯==+⨯=75B 1515A S 7B 77A S 21527解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==25B 21A∴ n 25n 21S 2n -=，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1）数列{a n }的通项公式； （2）设1n n n a a 1b +=，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 21<.解题思路分析：（I ）涉及到a n 及S n 的递推关系，一般都用a n =S n -S n-1（n ≥2）消元化归。

∵ 1a S 2n n += ∴ 4S n =(a n +1)2∴ 4S n-1=(a n-1+1)2（n ≥2） ∴ 4(S n -S n-1)=(a n +1)2-(a n-1+1)2∴ 4a n =a n 2-a n-12+2a n -2a n-1 整理得：(a n-1+a n )(a n -a n-1-2)=0 ∵ a n >0∴ a n -a n-1=2∴ {a n }为公差为2的等差数列 在1a S 2n n +=中，令n=1，a 1=1 ∴ a n =2n-1 （II ）)1n 211n 21(21)1n 2)(1n 2(1b n +--=+-=∴ 21a 2121)a 1a 1(21)]a 1a 1()a 1a 1()a 1a 1[(21B 1n 1n 11n n 3221n <-=-=-++-+-=+++注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4S n =(a n +1)2推出4S n-1=(a n-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。

在数列中一般用n-1，n+1等去代替n ，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n 的恒等式，代换就是对n 赋值。

例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。

分析：利用前奇数项和和与中项的关系 令m=2n-1，n ∈N +则 ⎩⎨⎧=-==-=-33a )1n (S 77a )1n 2(S n n 1n 2偶∴33771n 1n 2=-- ∴ n=4 ∴ m=7 ∴ a n =11 ∴ a 1+a m =2a n =22 又a 1-a m =18 ∴ a 1=20，a m =2 ∴ d=-3 ∴ a n =-3n+23例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=81，求等差数列的通项a n 。

解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列 ∴ {b n }为等比数列 从求解{b n }着手 ∵ b 1b 3=b 22∴ b 23=81∴ b 2=21 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+41b b 817b b 2131 ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==81b 2b 31 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==2b 81b 21 ∴ n 231n n 2)41(2b --== 或 5n 21n n 2481b --=⋅=∵ n a n )21(b =∴ n 21n b log a =∴ a n =2n-3 或 a n =-2n+5注：本题化归为{b n }求解，比较简单。

若用{a n }求解，则运算量较大。

例6、已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和， （1）用S n 表示S n+1；（2）是否存在自然数c 和k ，使得2cS cS k 1k >--+成立。

解题思路分析： （1）∵ )211(4S nn -=∴ 2S 21)211(4S n 1n 1n +=-=++ （2）0S c )2S 23(c 2c S c S kk k 1k <---⇔>--+（*） ∵ 4)211(4S kk <-=∴ 0S 212)2S 23(S k k k >-=--∴ 式（*）k k S c 2S 23<<-⇔ ①∵ S k+1>S k∴ 12S 232S 231k =-≥-又S k <4∴ 由①得：c=2或c=3 当c=2时 ∵ S 1=2∴ k=1时，c<S k 不成立，从而式①不成立 ∵ c 252S 232>=-∴ 由S k <S k+1得：2S 232S 231k k -<-+∴ 当k ≥2时，c 2S 23k >-，从而式①不成立当c=3时，S 12，S 2=3 ∴ 当k=1，2时，C<S k 不成立 ∴ 式①不成立∵ 2S 232S 23,c 4132S 231k k k -<->=-+∴ 当k ≥3时，c 2S 23k >-，从而式①不成立综上所述，不存在自然数c ，k ，使2cS cS k 1k >--+成立例7、某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为资金发给n 位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相等）从大到小，由1到n 排序，第1位职工得资金nb元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。

（1）设a k （1≤k ≤n ）为第k 位职工所得资金额，试求a 2，a 3，并用k ，n 和b 表示a k （不必证明）；（2）证明：a k <a k+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义。

解题思路分析：谈懂题意，理清关系，建立模型 第1位职工的奖金nb a 1= 第2位职工的奖金b )n 11(n 1a 2-= 第3位职工的奖金b )n11(n 1a 23-= ……第k 位职工的奖金b )n11(n 1a 1k k --=（2）0b )n 11(n1a a 1k 21k k >-=--+ 此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。