复化辛甫生求积公式的应用
matlab复化Simpson求积公式计算数值积分
,(k 0,1,...,n)k x a kh =+=b a h n-=2221222121(x)dx (x)dx [(x )4(x )(x )]3k k m a x b x k m k k k k f f h f f f -=--=≈≈++∑⎰⎰∑复化Simpson 求积公式计算数值积分一·复化Simpson 求积公式的数学理论如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用Simpson 公式计算积分近似值，就可导出复化Simpson 公式。
二·复化Simpson 求积公式的算法和流程图将积分区间[a,b]分成n=2m 等分，分点为,在每个小区间[222,x k k x -]（k=0,1,…,n-1）上。
用Simpson 公式求积分，则有2222222221222212(x)dx [(x )4(x )(x )]6[(x )4(x )(x )]3kk x k k k k k x k k k x x f f f f h f f f -------≈++=++⎰求和得整理后得到122111(x)dx [(a)(b)2(x )4(x )]3m m bk k a k k h f f f f f --==≈+++∑∑⎰ （5-21）式（5-21）称为复化Simpson 公式。
如果(4)(x)[a,b]f c ∈，则由Simpson 插值余项公式可得复化公式的截断误差为1221115(4)2221()(x)dx [(a)(b)2(x )4(x )]3(2h)()[x ,x ]2880m m bS k k a k k mk k k h R f f f f f f ξξ--==-==-+++=-∈∑∑⎰∑因为(4)f x 为连续，故存在[a,b]ξ∈，使得(4)(4)11()()m k k f f m ξξ==∑代入上式得5(4)4(4)1(2h)()()()(a,b)2880180m s k b a R f mf h f ξξξ=-=-=-∈∑ （5-22）式（5-22）表明，步长h 越小，截断误差越小。
复化求积公式的算法及其应用
摘要在数值计算中，低阶牛顿柯特斯求积方法存在很多缺陷，从余项公式可以看出其要求提高求积公式的代数精度，必须增加结点个数，会导致插值多项式出现龙格现象，且数值稳定性不能保证.基于以上原因，我们往往采用复化求积方法，此方法不仅可以克服以上缺点而且便于在计算机上实现，值得研究和学习.在本课程设计中，我们首先从复化求积公式的思想引入，然后详细介绍复化梯形求积公式、复化辛普森求积公式和复化柯特斯求积公式的推导过程和相关性质，再对三种求积公式进行比较和总结，其次画出三种求积公式的流程图，最后通过求解例题写出三种求积算法的程序设计.关键词复化求积算法;流程图;程序设计目录引言 0第一章复化求积算法 (2)§1.1复化求积公式 (2)§1.1复化求积公式的思想 (3)§1.2复化求积公式的构造 (3)§1.2复化梯形求积公式 (3)§1.2.1复化梯形求积公式的推导过程 (3)§1.2.2复化梯形求积公式的性质 (3)§1.3复化辛普森求积公式 (4)§1.3.1复化辛普森求积公式的推导过程 (4)§1.3.2复化辛普森求积公式的性质 (4)§1.4复化柯特斯求积公式 (5)§1.4.1复化柯特斯求积公式的推导过程 (5)§1.4.2复化柯特斯求积公式的性质 (5)§1.5三种复化求积公式的比较及总结 (6)第二章复化求积公式算法的流程图及其应用 (9)§2.1 流程图 (9)§2.2 应用 (12)参考文献 (15)附录A (16)附录B (17)附录C (18)引言积分计算在分析数学领域里是个古老的问题，在数值分析中已被广泛应用.但在计算机上却不能像在分析数学中那样，用原函数[满足)()('x f x F =的函数)(x F 就是函数)(x f 的原函数]计算积分.这是因为在实际问题中，函数关系往往是用列表数据或曲线给出的.即使知道了函数的表达式，求其一个原函数并非一个简单问题.许多函数难以用初等函数表示（如2,/sin x e x x -等）.在计算机上，通常利用函数的若干个离散值，以代数运算近似计算积分值，这类近似计算法称为数值积分法.设给定区间],[b a 上的函数)(x f .需要建立计算积分dx x f f I ba ⎰=)()(的近似方法.数值积分的基本思想是试图用一个简单又易于积分的函数逼近)(x f ，以计算积分)(f I .显然插值多项式是一个很好的选择，因为插值多项式可由)(x f 的若干值构造出来，其积分很容易计算.为此，需将],[b a 分为n 等分n i x x i i ,,2,1],,[1 =+，其中b x x x x a n =<<<<=+1321 .分割步长h ，因此,1,3,2,/)1(1+=-+=n i h i x x i 对应的函数值)()(,),(),()(121b f x f x f x f a f n ==+ .显然)(f I 可以表示为所有小区间上各函数的积分的和，即)()(1f I f I ni i ∑==其中 dx x f I i ix x i ⎰+=1)(通常把为每个)(f I i 建立的计算公式简称为求积公式，而把)(f I 建立的求积公式称为复化求积公式.由于在实际计算时，不宜使用高阶的牛顿——柯特斯公式，但若积分区间较大，单独用一个低阶的牛顿——柯特斯公式来计算积分的近似值，显然精度不好，为了提高数值求积的精确度，可利用积分对区间的可加性来解决这个问题，这就是通常采用的复合求积法.而且使用这种方法之后，求积公式的收敛性和稳定性也得到了改善.第一章 复化求积算法牛顿—柯特斯公式的求积余项表明，求积节点n 越大，对应的求积公式精度越高，但由于牛顿—柯特斯公式在8>n 时数值不稳定，因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度.实用中常将求积区间],[b a 分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的牛顿—柯特斯公式求小区间上的定积分，最后把所有小区间上的计算结果相加来作为原定积分的近似值.采用这种方法构造的求积公式就称为复合求积公式.复合求积公式具有计算简单且可以任意逼近所求定积分值的特点，这是牛顿—柯特斯公式一般做不到的.常用的复合求积公式有复合梯形求积公式和复合辛普森求积公式以及复合柯特斯求积公式.以下我们将从三种复化求积算法的构造、余项、稳定性、收敛性等几方面进行讨论，并写出相应的流程图以及应用中所涉及到的算法的程序设计.§1.1复化求积公式§1.1.1 复化求积公式的思想n 很大时，牛顿——柯特斯求积公式出现了不稳定、不收敛现象，往往使用低阶牛顿——柯特斯求积公式，误差比较大，故将],[b a 若干等分，在每个子区间上反复使用低阶牛顿——柯特斯公式，进行累加.而构造出来的新的求积公式，称之为复化求积公式.在构造求积公式的过程中，我们将求积区间],[b a 进行等距细分：n i nab ia x i ,,1,0, =-+=，在每个小区间],[1i i x x -上用相同的“基本”求积公式(如梯形公式；中矩形公式；左(右)矩形公式或辛普森公式)计算出dx x f i i x x ⎰-1)(的近似值i S .§1.1.2 复化求积公式的的构造将定积分⎰ba dx x f )(的区间],[b a 划分为n 等分，各节点为kh a x k +=，n k ,,1,0 =，nab h -=，在子区间)1,,1,0](,[1-=+n k x x k k 上使用牛顿——柯特公式，将],[1+k k x x 分割为l 等份，步长为l h，节点为1,,2,,+=+++k k k k k x llhx l h x l h x x记121,,,,++++=k ll k lk lk k x xxxx为在],[1+k k x x 上作)(x f 的l 阶牛顿——柯特斯求积公式.∑∑⎰=++=+=-=≈+li li k l i li k li l i k k k i x x xf C h xf C x x I dx x f k)(0)(1)()()()()(1由积分区间的可加性，可得nli k n k li l i n k k l n k k k baI xf C h I dxx f dx x f ==≈=+-==-=-=+∑∑∑∑⎰⎰)()()(100)(1)(11§1.2 复化梯形求积公式§1.2.1 复化梯形求积公式的的推导过程将积分区间],[b a 划分等分，步长nab h -=，求积节点kh a x k +=，n k ,,1,0 =在每个小区间)1,,1,0](,[1-=+n k x x k k 上应用梯形公式)]()([2)(11++≈⎰+k k x x x f x f hdx x f k k然后将它们累加求和，作为所求积分I 的近似值.])()(2)([2)]())()()((2)([2)]()([2)()(11121011011∑∑∑⎰⎰---+-=-=++=+++++=+≈==+n i k n n k k n k n k x x bab f x f a f hx f x f x f x f x f hx f x f hdx x f dx x f I k k记n T )]()(2)([211b f x f a f hn i k ++=∑-=式为复化梯形求积公式，下标n 表示将区间n 等分，若把区间n 2等分，在每个小区间上仍用梯形求积公式，则可得到n n T T ,2和n H 间的关系为：)(212n n n H T T +=其中∑=--+=nk n nab k a f h H 1]2)12([ §1.2.2复化梯形求积公式的性质性质1.1复化梯形求积公式余项当)(x f 在],[b a 上有连续的二阶导数，则复化梯形公式的余项：)(12)()(''2ηf h a b T dx x f R n ba T --=-=⎰ ],[b a ∈η 性质1.2稳定性若],[,)(''b a x M x f ∈≤，则有估计式M na b R nT 2312)(-≤ 复化梯形求积公式的系数均大于零，且满足a b nh n hA ni i -==+-+=∑=]1)1(21[2因此，复化梯形求积公式的计算过程是数值稳定的.性质1.3收敛性可证复化梯形求积公式是收敛的. 性质1.4代数精度定义1.1 若积分⎰b adx x f )(的数值积分公式⎰badx x f )()(0k nk k x f A ∑=≈对于任意一个次数不高于m 次的多项式都精确成立，且存在一个1+m 次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精度为m .可证复化梯形求积公式的代数精度为2.§1.3 复化辛普森求积公式§1.3.1 复化辛普森求积公式的的推导过程将积分区间],[b a 划分等分，记子区间],[1+k k x x 的中点为h x x k k 2121+=+在每个小区间上应用辛普森公式，则有))()(2)(4)((6)444(6)]()(4)([6)()(101121211223112101211011b f x f x f a f hf f f f f f f f f hx f x f x f hdxx f dx x f I n k n k k k n n n k k k n k n k x x bak k+++=+++++++++=++≈==∑∑∑∑⎰⎰-=-=+--++-=-=+其中h x xk k 2121+=+记 )]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n k k n k k n +++=∑∑-=-=+式为复化辛普森求积公式§1.3.2复化辛普森求积公式的性质性质1.5复化辛普森求积公式余项当)(x f 在],[b a 上有连续的四阶导数，复化辛普森公式的求积余项为：)(2880)()2(180)4(4)4(4ηηf h a b f h a b R S --=--= ],[b a ∈η 性质1.6稳定性同复化梯形求积公式，复化辛普森求积公式的系数均大于零，且满足总和为a b - 因此，复化辛普森求积公式的计算过程是数值稳定的.性质1.7收敛性可证复化辛普森求积公式是收敛的. 性质1.8代数精度可证复化辛普森求积公式的代数精度为4.§1.4 复化柯特斯求积公式§1.4.1 复化柯特斯求积公式的的推导过程将积分区间],[b a 划分等分，若把每个子区间],[1+k k x x 四等份，内点依次记为432141,,+++k k k xxx，同理可得复化柯特斯求积公式)](7)(14)(32)(12)(32)(7[9010101143211041b f x f x f x f x f a f hC n k n k n k k k k n k k n +++++=∑∑∑∑-=-=-=++-=+(1-1)其中h x xh x x h x x k k k k k k 43;21;41432141+=+=+=+++ 记(1-1)为复化柯特斯求积公式§1.4.2复化柯特斯求积公式的性质性质1.9复化柯特斯求积公式余项当)(x f 在],[b a 上有连续的四阶导数，复化柯特斯公式的求积余项为：)()4(945)(2)6(6ηf h a b R c --= ],[b a ∈η性质1.10稳定性同复化梯形求积公式，复化柯特斯求积公式的系数均大于零，且满足总和为a b - 因此，复化柯特斯求积公式的计算过程是数值稳定的.性质1.11收敛性可证复化柯特斯求积公式是收敛的. 性质1.12代数精度可证复化柯特斯求积公式的代数精度为6.§1.5 三种复化求积公式的比较及总结为了更形象的表述三种复化求积公式之间的关系，我们通过一个例子来进行比较例1.1使用各种复化求积公式计算定积分dx xxI ⎰=10sin 为简单起见，依次使用8阶复化梯形公式、4阶复化辛普森公式和2阶复化柯特斯公式,可得各节点的值如下表表1-1节点值94569086.0)]1()(2)0([161718=++=∑=f x f f T k k 94608331.0)]1()(2)(4)0([2413031214=+++=∑∑==+f x f x f f S k k k k 94608307.0)]1(7)(14)](32)(12)(32[)0(7[180111104342412=+++++=∑∑==+++f x f x f x f x f f C k k k k k k 比较三个公式的结果：精度最低 94569086.08=T 精度次高 94608331.04=S 精度最高 94608307.02=C原积分的精确值为6719460830703.0sin 10==⎰dx xxI . 我们知道，三种求积公式的余项分别如表1-2表1-2 复化梯形、辛普森、柯特斯求积公式的余项定义1.2对于复化求积公式n I 若存在0>p 及0≠c ，使其余项n I I -满足c h I I pnh =-→0lim则称复化求积公式n I 是p 阶收敛的 P 阶收敛性的意义：对于一个数值求积公式来说，收敛阶越高，近似值n I 收敛到真值dx x f ba ⎰)(的速度就越快.由于三种求积公式的余项分别是h 的2,4,6阶无穷小量 所以n n n C S T ,,趋于定积分I 的速度依次更快.从这三种求积公式的构造过程中可以看出，它们都属于机械求积公式，但不属于插值行和牛顿柯特斯公式.都具有稳定性和收敛性，且收敛速度一个比一个快，一个比一准确.在使用函数值个数相等的情况下，248,,C S T 的精度逐渐升高.第二章复化求积公式算法的流程图及其应用§2.1 流程图1.复化梯形求积公式图2.1 复化梯形求积公式算法的流程图Step1给出被积函数)(x f 、区间],[b a 端点b a ,和等分数n ； Step2求出,kh x k =nab h -=； Step3计算∑-=1)(),(),(n k k x f b f a f ；Step4得)]()()([211b f x f a f h T n k k n ++=∑-=2. 复化辛普森求积公式图2.2 复化辛普森求积公式算法的流程图Step1 给出被积函数)(x f 、区间],[b a 端点b a ,和等分数n ； Step2求出,kh x k =nab h -=； Step3计算∑∑-=+-=1211)(,)(),(),(n k k n k k xf x f b f a f ；Step4得)]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n k k n k k n +++=∑∑-=-=+3. 复化柯特斯求积公式图2.3 复化柯特斯求积公式算法的流程图Step1给出被积函数)(x f 、区间],[b a 端点b a ,和等分数n ； Step2求出,kh x k =nab h -=； Step3计算∑∑∑∑-=-=+-=+-=+11143121141)(,)(,)(,)(),(),(n k k n k k n k k n k k x f xf xf xf b f a f ；Step4得)](7)(14)(32)(12)(32)(7[9010101143211041b f x f x f x f x f a f hC n k n k n k k k k n k k n +++++=∑∑∑∑-=-=-=++-=+§2.2 应用例2.1.分别用复化梯形，复化辛普森，复化柯特斯公式计算函数32)(x x x f -=在区间]1,0[上的弧长S .(要求写出源程序和运行结果) *注 在],[b a 上的弧长dx x f S ba⎰+=2'))((11.用复化梯形公式计算S 的过程：(1).写出变量说明表2-1 复化梯形求积公式程序设计的变量说明Step1 输入n ，nab h -=，被积函数0),(1=s x f ； Step2 for 1=k to 1-n ；{计算11)(s kh a f s →++}))(2)((21b f s a f hs ++=； Step3 输出近似值s .(3) 写出源程序和运行结果(见附录A) 2.用复化辛普森公式计算S 的过程: (1).写出变量说明表2-2 复化辛普森求积公式程序设计的变量说明Step1:输入n ，nab h -=，被积函数0),(1=s x f 0,2=s ； Step2:for 1=i to 1-n ，2+=i i ；{计算11)2/*(s h i a f s →++} Step3:for 2=j to 1-n ，2+=j j ； {计算22)2/*(s h j a f s →++}))(24)((621b f s s a f hs +++=； Step4:输出近似值s .(3).写出源程序和运行结果(见附录B) 3.用复化柯特斯公式计算S 的过程: (1).写出变量说明表2-3 复化柯特斯求积公式程序设计的变量说明Step1输入n ，nab h -=，被积函数0),(1=s x f 0,2=s 0,3=s ； Step2 for 1=i to 1-n ，2+=i i ；{计算11)4/*(s h i a f s →++} Step3:for 2=j to 1-n ，4+=j j ； {计算22)4/*(s h j a f s →++} Step4: for 4=k to 2-n ，2+=k k ； {计算33)4/*(s h k a f s →++}))(141232)((90321b f s s s a f hs ++++=； Step5:输出近似值s .(3).写出源程序和运行结果(见附录C)根据运行结果可知，由三种复化求积公式求得的S 的值分别为064837.1、061199.1、061189.1，精度逐渐升高.参考文献[1] 薛毅，耿美英.数值分析[M]. 北京:北京工业大学出版社.2003年. [2] 刘长安.数值分析教程[M].西安:西北工业大学出版社.2005年.[3] 朝伦巴根，贾德彬.数值计算方法[M].北京:中国水利水电出版社.2007年.[4] 韩旭里，万中.数值分析与实验[M].北京: 科学出版社.2006年.[5] 林成森.数值分析[M].北京: 科学出版社.2007年.[6] 封建湖，车刚明，聂玉峰.数值分析原理. 北京: 科学出版社.2001年.附录A1.复化梯形求积公式的程序设计：(1).源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){double z;z=sqrt(1+pow((2*x-3*pow(x,2)),2));return z;}main(){ int n,k;float h;float a;float b;double s=0.0;double s1=0.0;double t;printf("Please input the deng fen ;");scanf("%d",&n);printf("Please input qujian a ;");scanf("%f",&a);printf("Please input qujian b ;");scanf("%f",&b);h=(b-a)/n;for (k=1;k<n;k++){ t=a+k*h;s1=s1+f(t);}s=(h/2)*(f(a)+2*s1+f(b));printf("%f\n",s);}(2).运行结果：图1 复化梯形求积公式计算弧长结果附录B2.复化辛普森求积公式的程序设计：(1).源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){double z;z=sqrt(1+pow((2*x-3*pow(x,2)),2));return z;}main(){ int n,i,j;float h;float a;float b;double s=0.0;double s1=0.0,s2=0.0;double t,l;printf("Please input the deng fen ;");scanf("%d",&n);printf("Please input qujian a ;");scanf("%f",&a);printf("Please input qujian b ;");scanf("%f",&b);h=(b-a)/n;for(i=1;i<8;i=i+2){t=a+i*h/2;s1=s1+4*f(t);}for(j=2;j<8;j=j+2){l=a+j*h/2;s2=s2+2*f(l);}s=(h/6)*(f(a)+s1+s2+f(b));printf("%f\n",s);}(2).运行结果：图2 复化辛普森求积公式计算弧长结果附录C3.复化柯特斯求积公式的程序设计：(1).源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){double z;z=sqrt(1+pow((2*x-3*pow(x,2)),2));return z;}main(){int n,i,j,k;float h;float a;float b;double s=0.0;double s1=0.0,s2=0.0,s3=0.0;double t,l,m;printf("Please input the deng fen ;"); scanf("%d",&n);printf("Please input qujian a ;");scanf("%f",&a);printf("Please input qujian b ;");scanf("%f",&b);h=(b-a)/n;for(i=1;i<8;i=i+2){t=a+i*h/4;s1=s1+32*f(t);}for(j=2;j<7;j=j+4){l=a+j*h/4;s2=s2+12*f(l);}for(k=4;k<6;k=k+2){m=a+k*h/4;s3=s3+14*f(m);}s=(h/90)*(7*f(a)+s1+s2+s3+7*f(b)); printf("%f\n",s);}(2).运行结果：图3 复化柯特斯求积公式计算弧长结果。
《复化辛甫生公式及其应用》教学设计
③熟悉曲线上一点切线方位角计算原理；
④了解缓和曲线参数方程使用极限性；
3.小组组长汇报对知识关键点学习情况；
4.结合利用复化辛甫生公式计算综合曲线任务,通过教师讲解、答疑、讨论达到如下要求：
①懂得复化辛甫生公式计算线路中线逐桩坐标需要的已知条件；
项目资料
1、直线、曲线转角表；
2、Excel操作手册；
3、复化辛甫生公式及应用PPT;
4、复化辛甫生公式及应用授课视频；
5、复化辛甫生公式及应用讲义。
使用仪器
投影仪、微机、计算器等若干。
工作地点
多媒体教室、计算机机房。
技能目标
结合综合曲线案例，能编写EXCEL程序。
知识目标
会利用复化辛甫生公式计算特殊曲线逐桩坐标；掌握EXCEL编程技巧。
以组为单位，先熟悉Excel表,度分秒与弧度的转化以及逻辑判断语句的使用；然后在实施Excel编程设计方案。根据设计资料利用编写的复化辛甫生公式Excel程序计算综合曲线逐桩坐标；对计算结果进行分析，查找程序存在的问题，提出程序编写改进的建议；
③第三阶段（课内10m，课外2h）
完善Excel程序，并继续实施，直至能计算出正确的结果。
素质目标
结合本工作任务，与工作小组成员一起选择合适EXCEL编程方法，能借助学校现有计算机资源组织实施EXCEL编程。
构思
（课内2h,课外4h)
1.组长召集小组成员，布置小组分工；
2.课前以小组为单位，通过网络、讲义、《规范》、案例、思考、讨论、督促、预习如下内容：
①直线元、圆曲线元、缓和曲线元的曲率；
根据实习报告质量进行评定；综合以上评价，占25%。
复化辛普森公式在路线中的应用
复化辛普森公式在路线中的应用
复化辛普森公式是数值积分中一种计算积分的方法。
在对一个区间上的函数进行数值积分时，我们可以将这个区间划分成若干个小区间，然后对每个小区间内的函数进行逼近。
复化辛普森公式可以通过将每个小区间内的函数用二次多项式进行逼近，然后对所有小区间进行加权求和，得到整个区间上的积分值。
在路线中，复化辛普森公式可以应用于求解车辆行驶的路程和速度。
我们可以将车辆行驶的路线分成若干个小区间，然后对每个小区间内的速度进行逼近，得到每个小区间内的路程。
然后对所有小区间内的路程进行加权求和，得到整个路线上的总路程。
同时，我们还可以对每个小区间内的速度进行逼近，得到整个路线上的平均速度。
复化辛普森公式的优点在于它的精度比较高，特别是在小区间数量较多时，积分值的误差会比较小。
因此，在路线中使用复化辛普森公式可以得到比较准确的行驶路程和平均速度数据，有利于对车辆的行驶情况进行分析和评估。
复化simpson公式
复化simpson公式
Simpson公式是一种有助于解决微积分计算问题的数学方法，它可以帮助我们计算定积分的大小。
Simpson公式也叫Simpson积分公式，它是由英国数学家Thomas Simpson在18th世纪提出的。
Simpson公式主要用于计算定积分，它将一个积分拆分成n个等距小段，然后用几何技巧计算每一小段的定积分值。
具体地说，Simpson公式分成两部分，一部分用于计算较小的积分，另一部分则用于计算较大的积分。
这两部分积分分别称为Simpson公式上半部分和Simpson公式下半部分。
Simpson公式的优点在于它可以更准确地计算定积分的大小，而且它的计算速度比传统的计算方法更快。
此外，Simpson公式还可以计算非定义积分，这在一些更复杂的问题中是非常有用的。
Simpson公式也可以用于求解更复杂的问题，比如拟合多项式，解决微分方程和求解微分方程组，以及求解复杂函数的极值问题。
总之，Simpson公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们计算定积分的大小，并且可以用于解决更复杂的数学问题。
辛普松求积公式在中学几何课程中的作用
辛普松求积公式在中学几何课程中的作用辛普松求积公式（SimpsonRule）是求积分数学问题中的一个重要工具，它能够帮助我们解决求一段区间内函数的积分问题。
在中学几何课程中，辛普松求积公式的作用不容小视，它可以有效的帮助学生更好的理解几何模型，掌握几何证明技巧，探究几何定理的真谛，以及实时解决教学中的实际习问题。
一、辛普松求积公式可以帮助学生理解几何模型辛普松求积公式可以用来帮助学生更具体更加深入的理解几何模型。
在通过求积公式解决几何问题时，学生要学会分解几何问题，把它拆分成多个小问题，求解每个小问题，然后最终把求解结果得到几何问题的最终答案。
这样，学生可以深入了解几何模型，把它们整合起来，以及关联几何模型中的概念，从而更好的理解几何模型。
二、辛普松求积公式可以帮助学生掌握几何证明技巧几何证明技巧是几何问题的解决基础。
辛普松求积公式可以帮助学生学习几何证明技巧。
学生可以用辛普松求积公式完成几何模型的数学处理，从而掌握几何证明技巧。
学生可以把这种掌握的几何证明技巧应用于解决实际几何问题，从而提高几何问题的解决能力。
三、辛普松求积公式可以帮助学生探究几何定理的真谛辛普松求积公式可以帮助学生探究几何定理的真谛。
学生可以用辛普松求积公式完成几何模型的数学处理，从而掌握几何定理的真谛。
学生可以理解几何定理的本质，从而更加深入的探究数学知识背后的逻辑推理，进而发展自己独到的数学观点。
四、辛普松求积公式可以帮助学生实时解决教学中的实际练习问题辛普松求积公式可以帮助学生实时解决教学中的实际练习问题。
当学生在计算解决实际几何问题时，可以用辛普松求积公式计算出结果，从而辅助学生进行实时解决实际几何问题的任务。
综上所述，辛普松求积公式在中学几何课程中发挥着重要的作用。
它可以帮助学生更好的理解几何模型，掌握几何证明技巧，探究几何定理的真谛，以及实时解决教学中的实际练习问题。
因此，应该充分发挥辛普松求积公式在中学几何课程中的作用，为学生提供更好的数学认知服务。
4-3复化求积公式
1 n1 min f ( x ) f ( k ) max f ( x ) a xb a xb n k 0
故存在 [a , b] 使
1 n1 f ( ) f ( k ) n k 0
所以复化梯形公式的积分余项为
h3 RTn I Tn nf ( ) 12 ba 2 h f ( ) 12 3 b a [a , b] f ( ) 2 12n
由此解得
n 6616.67
2
所以
n 79
即至少要把区间[1，2]分为79等份。
对本例题的进一步思考：h是否越小越好？
前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之 有效的，但使用前必须给出合适的步长h。
h太小则计算量增加
误差有积累，更需计算稳定
h太大则精度不满足
（收敛性）
计算方案：事先估计法 变步长（事后估计） 自适应步长法
2.系数Ak >0,满足 Ak b a ,故方法是稳定的.
k 0
n
三、例题
x
0
f(x)
1 0.9973978
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin x 举例 对于函数 f ( x ) x ， 1/8
试利用下表计算积分
I
1 sin
1/4
3/8 1/2 5/8 3/4 7/8
0.9896158
0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925
3*. 复化柯特斯公式 如果将每个小区间[xk，xk+1]四等分，内分点 依次记为 xk 1 , xk 1 , xk 3 ,
4 2 4
则相应地可得复化柯特斯公式。
复化辛甫生求积法
复化辛甫生公式求积法一．题目用复化辛甫生求积法求解下列积分dx xx I ⎰=10sin 二．引言积分是一种常见的运算，在实际应用中随处可见。
高等数学中提供了计算积分的常用方法，即“牛莱公式”，其基本思想是找出被积函数的原函数。
但在有时候，要找出它绝非易事，这就需要我们另辟新径，而计算机，为我们提供了方便。
利用计算机计算积分的基本思想是将连续的积分化为离散的求和，再根据精度需要，计算出结果。
复化辛甫生公式便是常用的一种方法。
（1）目的：可以计算出用非初等函数表示的原函数的函数的积分，另外，如果f(x)是由实验测量或数值计算给出的一张数据表时，可以很容易的计算出来。
（2）意义：可以很方便地通过数值模拟的方式来计算一些不易计算的积分，在科学研究中具有重要的意义。
三．算法的建立一般的，取[a ，b]内若干个节点x k 处的高度为f （x k ），通过加权平均的方法近似的得出平均高度f(),这类求积公式的一般形式为∑⎰=≈nk kK b a x f A dx x f 0)()( 其中上式中的x k 为节点，A k 称为求积系数。
由上述方法我们得到具有三次代数精度的辛甫生公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≈⎰)(24)(6)(b f b a f a f a b dx x f ba 用这种方法得到的数值积分有效数位较少，且代数精度不高，为此我们对上述算法进行下列改进：将[a ，b]划分为n 等分，步长为h=（b-a ）／n ，分点为x k =a+kh(k=0,1,2,…..n),所谓复化求积法，就是先用低阶的求积公式得到每个字段[x k ，x k+1]上的积分值I k ，然后将他们累加求和作为所求积分的近似值。
记每个字段[x k ，x k+1]的中点为x k+0.5 复化辛甫生求积公式为：[][])()(2)(2)()(211110b f x f a f h x f x f h T n k k k k n k n ++=+=∑∑-=+-=流程图如下所示：四．程序和结果1.程序!数值积分SINX/Xprogram shuzhijifenimplicit noneinteger k,nreal a,b,h,s,x!参量赋初值n=4a=0.0000001b=1.0h=(b-a)/ns=sin(b)/b-sin(a)/ax=a!主程序do k=0,n-1s=s+2*sin(x)/xx=x+h/2s=s+4*sin(x)/xx=x+h/2end dowrite(*,*) h/6*sstopend2.结果0.9460832五．算法评价用复化辛甫生求积法和复化梯形求积法工作量基本相同，但他们的精度相差比较大，复化辛甫生求积法可以大大提高计算精度。
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真实值为： s*=0.9460830 绝对误差： ∣s*-s∣=∣0.9460830- 0.9460833∣=0.00000003<a 算法评价： 优点：精度达不到需增加节点时，只需计算新分点的值，避免 重复计算。 缺点：精度低，收敛慢。
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复化辛普生公式求积的应用
1． 题目 用函数f(x）=sin(x）/x 的数据表计算积分 2． 复化辛甫生求积公式的目的及意义。 实际问题中常常需要计算积分。有些数值方法，如微分方程和积分 方程的求解，也都和积分计算相联系。依据人们所熟知的微积分基本定 理，根据牛顿——莱布尼兹公式，只要找到被积函数的原函数即可。不 过，这种方法在原则上虽然可行，但实际运用往往有困难。因为大量的 被积函数，找不到用初等函数表示的原函数；另外，当f(x)是由实验测 量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿——莱布尼兹公式也不能直接 应用。而复化辛甫生求积公式的应用在对上述的难题是非常有用的。 3． 算法描述。 1. 输入计算所需要的数据。 2. 求出步长h=(b-a)/n，f(b)-f(a)=s,x=a 3. 对计算次数进行循环，在每次循环中，x=x+h/2,s=s+4f(x),对x进 行重新赋值，x=x+h/2,s=s+2f(x)，直到k=n时停止。 4. 输出结果s=(h*s)/6. 流程图如下所示： 输入a,b,n h=(b-a)/n s=f(a)-f(b） x=a K=0,1,2,3.......n-1 S=s+2f(x） X=x+h/2 S=s+4f(x） X=x+h/2 输出s=(h*s)/6 四．程序设计 program di4 implicit none real :: a=0.0000001 integer ::b=1 integer :: n=4 real h,s ,x,k,f
f(x)=sin(x)/x h=(a+b)/n s=f(b)-f(a) x=a do k=0,n-1 s=s+2*f(x) x=x+h/2 s=s+4*f(x) x=x+h/2 end do s=h/6*s write(*,*) s stop end 0.9460833 Press any key to continue 五. 结果及误差分析